7 如图，$AB=8$，$AD=AC=4$，$AE=2$，$∠ BAD=∠ CAE$，$AM⊥ BC$，$AN⊥ DE$，则$AM:AN$的值为.

7. 2 【解析】 $\because \frac{AB}{AD}=\frac{8}{4}=2,\frac{AC}{AE}=\frac{4}{2}=2,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}.$
$\because ∠BAD=∠CAE,\therefore ∠BAC=∠DAE. \therefore △ABC∽ △ADE. \because AM⊥BC,AN⊥DE,\therefore \frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}=2.$

8 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=3$，$AC=4$，$PQ// AB$，点$P$在$AC$上（不与点$A$，$C$重合），点$Q$在$BC$上. 当$△ CPQ$的边$PQ$上的高为$\frac{3}{5}$时，求$△ CPQ$的周长.

8. $\because AB=5,AC=4,BC=3,\therefore AB^2=AC^2+BC^2. \therefore △ABC$为直角三角形,其斜边 AB 上的高为$\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}. \because PQ// AB,\therefore △PQC∽ △ABC$,相似比$=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{1}{4}. \therefore △CPQ$的周长：$△CAB$的周长$=1:4. \because △CAB$的周长$=3+4+5=12$,$\therefore △CPQ$的周长$=\frac{1}{4}×12=3$

9 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$分别是$BC$和$CB$延长线上的点，且$\frac{BE}{AB}=\frac{AC}{CD}$，连接$AD$，$AE$，$BM$，$CN$分别是$△ ABE$和$△ ACD$的高线，垂足分别为$M$，$N$，$BG$，$CH$分别是$∠ ABE$和$∠ ACD$的平分线，分别交$AE$，$AD$于点$G$，$H$。求证：$\frac{BM}{CN}=\frac{BG}{CH}$。

9. $\because △ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ABC=∠ACB=60°.$
$\therefore ∠ABE=∠DCA=120°. \because \frac{BE}{AB}=\frac{AC}{CD}$,即$\frac{BE}{CA}=\frac{AB}{DC}$,$\therefore △ABE∽ △DCA. \because BM$ 和 CN,BG 和 CH 分别是$△ABE$和$△DCA$的对应高线和对应角平分线,$\therefore \frac{BA}{CD}=\frac{BM}{CN}=\frac{BG}{CH}$

10 求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:
(1) 根据如图所示的$△ ABC$及线段$A'B'$,$∠ A'(∠ A'=∠ A)$,以线段$A'B'$为一边,在图形上用尺规作出$△ A'B'C'$,使得$△ A'B'C' ∽ △ ABC$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.

10. (1) 如图,$△A'B'C'$即为所求
(2) 画中线不唯一,如已知:如图,$△A'B'C'∽ △ABC$,且相似比为 k,D 是 AB 的中点,$D'$是$A'B'$的中点.求证:$\frac{C'D'}{CD}=k.$
$\because D$ 是 AB 的中点,$D'$是$A'B'$的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB,A'D'=\frac{1}{2}A'B'. \therefore \frac{A'D'}{AD}=\frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB}=\frac{A'B'}{AB}. \because △A'B'C'∽ △ABC$,且相似比为 k,$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=k,∠A'=∠A. \therefore \frac{A'D'}{AD}=\frac{A'C'}{AC}. \therefore △A'C'D'∽ △ACD.$
$\therefore \frac{C'D'}{CD}=\frac{A'C'}{AC}=k. \therefore$ 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比