8.关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 -1 =0$的根的情况是()。

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数$a$的取值有关

8. C

9.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 3x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的值可以是（）。

A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$

9. B

10.若关于$x$的一元二次方程$(1 - k)x^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）。

A.$k ＞ 2$
B.$k ＜ 2$
C.$k ＜ 2$且$k ≠ 1$
D.$k ＞ -2$且$k ≠ 1$

10. C

11.关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx +1=0$有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数$a$，$b$的值：$a=$，$b=$。

11. 1 2（答案不唯一）

12.(1)我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的,因此,用配方法解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,可以得到一元二次方程的求根公式。一般地,对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,当时,它的根是。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
(2)小明在用公式法解方程$x^2-5x=1$时出现了错误,解答过程如下:
$\because a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×1=21$。(第二步)
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$。(第三步)
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。(第四步)
小明的解答过程是从第步开始出错的,其错误原因是。
(3)请你写出此题正确的解答过程。

12. 解:
(1) $b^2 - 4ac ≥ 0$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(2) 一 方程没有化成一般式
(3) 方程化为 $x^2 - 5x - 1 = 0$。
$\because a=1,b=-5,c=-1,$
$\therefore b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×1×(-1)=29。$
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}。$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}。$

13.阅读下面的材料：
已知方程$x^2 + x -5=0$，求一个一元二次方程，使得它的实数根是已知方程的实数根的3倍。
解：设所求方程的实数根为$y$，则$y=3x$，即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程，得$(\frac{y}{3})^2 + \frac{y}{3} -5=0$。
化简，得$y^2 +3y -45=0$。
故所求方程为$y^2 +3y -45=0$。
这种利用方程的根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用“换根法”求新方程。（要求：把所求方程化为一般形式）
(1)已知方程$x^2 +x -3=0$，求一个一元二次方程，使它的实数根是已知方程的实数根的2倍，则所求方程为；
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$有两个不等于0的实数根，求一个一元二次方程，使它的实数根是已知方程的实数根的相反数。

(1) $y^2+2y-12=0$
(2) 设所求方程的根为 y,则 $y=-x(x≠0)$,于是$x=-y(y≠0)$。
把$x=-y$代入一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$,得 $a(-y)^2+b·(-y)+c=0$。
化简,得 $ay^2-by+c=0$。
若 $c=0$,有 $ax^2+bx=0$,于是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有一个根为 0,不符合题意。
$\therefore c≠0$。
$\therefore$ 所求方程为 $ay^2-by+c=0(a,c≠0)$。