15.(本小题满分10分)如图，$△ ABC$在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(-3,1)$。
(1)请在图中作出$△ ABC$关于x轴对称的$△ A'B'C'$；
(2)写出点$A',B',C'$的坐标。

15. 解:(1)如图，$△ A'B'C'$即为所求作。
(2)点$A'$的坐标为$(-3,-1)$,点$B'$的坐标为$(4,-2)$,点$C'$的坐标为$(-1,-5)$.

【分析】
要解决这道题，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。对于第(1)问作图，可分三步进行：第一步先确定原△ABC三个顶点的坐标，第二步根据坐标规律求出三个顶点关于x轴的对称点的坐标，第三步在坐标系中描出这三个对称点，再顺次连接即可得到所求的对称三角形。对于第(2)问，直接根据对称点的坐标规律，或者读取描出的对称点的坐标即可得到答案。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 先读取原△ABC各顶点坐标：已知A(-3,1)，结合网格可得B(4,2)，C(-1,5)；
② 根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数”，计算得对称点坐标：A'(-3,-1)，B'(4,-2)，C'(-1,-5)；
③ 在平面直角坐标系中依次描出A'、B'、C'三个点，再顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 结合上述计算或网格读取，可得三个点的坐标：A'(-3,-1)，B'(4,-2)，C'(-1,-5)。
【答案】
(1)如图，$△ A'B'C'$即为所求作。
(2)点$A'$的坐标为$(-3,-1)$,点$B'$的坐标为$(4,-2)$,点$C'$的坐标为$(-1,-5)$.
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；轴对称作图；平面直角坐标系点的坐标读取
【点评】
本题是基础类题型，重点考查轴对称变换在平面直角坐标系中的应用，牢记关于x轴对称的点“横同纵反”的坐标变化规律是解题的核心，作图时要注意描点准确、连线顺序正确，避免失误。
【难度系数】
0.85

16.(本小题满分12分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$,垂足为$G$,且$AD=AB$,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,$∠ EDF=60°$,连接$BD$.
(1)求证:$△ ABD$是等边三角形；
(2)求证:$BE=AF$.

16. 证明:(1) $\because AB=AC, AD ⊥ BC, \therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 60°. \because AD=AB, \therefore △ ABD$是等边三角形.
(2)由(1)可知$△ ABD$是等边三角形，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°, BD=AD. \because ∠ EDF=60°, \therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE$,即$∠ BDE=∠ ADF$. 在$△ BDE$ 和 $△ ADF$ 中, $\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF(\mathrm{ASA}). \therefore BE=AF$.

【分析】
(1)要证明△ABD是等边三角形，已知AD=AB，即△ABD为等腰三角形，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，仅需证明∠BAD=60°即可。由AB=AC、AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°即可求出∠BAD的度数。
(2)要证明BE=AF，可通过证明两条边所在的△BDE和△ADF全等来推导。由(1)的等边三角形结论可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再结合∠EDF=60°，通过角的和差关系可推出∠BDE=∠ADF，满足ASA全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC, AD ⊥ BC, \therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×120°=60°. \because AD=AB, \therefore △ ABD$是等边三角形。
(2) 证明：由(1)可知$△ ABD$是等边三角形，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°, BD=AD. \because ∠ EDF=60°, \therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE$,即$∠ BDE=∠ ADF$. 在$△ BDE$ 和 $△ ADF$ 中, $\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF(\mathrm{ASA}). \therefore BE=AF$.
【答案】
(1) △ABD是等边三角形，证明成立；
(2) BE=AF，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了等腰三角形、等边三角形以及全等三角形的相关定理，解题的关键是利用角的和差关系找到全等三角形的对应角相等，熟练掌握相关几何定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

17.(本小题满分12分)某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销.由于销售状况良好,超市又调拨11 000元资金再购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,且购进苹果的质量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?两次共购进苹果多少千克?
(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的500 kg按定价的六折售完,那么超市在第二次苹果销售中盈利多少元?

17. 解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克$x$元,则该品种苹果第二次进货的价格是每千克$(x+0.5)$元.根据题意,得$\frac{5000}{x} × 2 = \frac{11000}{x+0.5}$,解得$x=5$.
经检验,$x=5$是所列分式方程的解,且符合题意. $\therefore$ 两次共购进苹果$\frac{5000}{5}+\frac{11000}{5+0.5}=3000(\mathrm{kg})$.答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元,两次共购进苹果3 000 kg.
(2)由(1)可知$\frac{11000}{5+0.5}=2000(\mathrm{kg}), \therefore 10 × (2000-500)+10 × 0.6 × 500 - 11000=7000(\mathrm{元})$.
答:超市在第二次苹果销售中盈利7 000元.

【分析】
解决第一问时，先明确核心等量关系：第二次购进苹果的质量是试销时的2倍，而购进质量=进货总金额÷进货单价，因此设试销时进货价为未知数，即可根据等量关系列出分式方程，求解后注意检验根是否满足分式方程和实际意义，再分别计算两次进货量求和得到总质量。解决第二问时，盈利=第二次销售总金额-第二次进货总成本，先求出第二次的进货总量，再分别计算正常销售部分和打折销售部分的销售额，求和得到总销售额后减去第二次进货成本即可得到盈利。
【解析】
(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克$x$元，则第二次进货的价格是每千克$(x+0.5)$元。
根据题意列方程：
$\frac{5000}{x} × 2 = \frac{11000}{x+0.5}$
去分母得：$10000(x+0.5)=11000x$
解得$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+0.5)≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解，且符合题意。
两次共购进苹果质量：$\frac{5000}{5}+\frac{11000}{5+0.5}=1000+2000=3000(\mathrm{kg})$
(2)由(1)得第二次购进苹果质量为$\frac{11000}{5+0.5}=2000(\mathrm{kg})$
第二次销售总金额为：$10 × (2000-500)+10 × 0.6 × 500=15000+3000=18000(\mathrm{元})$
第二次销售盈利为：$18000-11000=7000(\mathrm{元})$
【答案】
(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克5元，两次共购进苹果3000 kg；
(2)超市在第二次苹果销售中盈利7000元。
【知识点】
分式方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是找准数量间的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义，计算利润时要明确不同售价对应的销量，不要混淆两次进货的成本。
【难度系数】
0.7