登录
二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 计算$(-3)^0$的结果为
9. 计算$(-3)^0$的结果为
1
.答案
9. 1
解析
【分析】
本题考查零指数幂的运算，解题时首先回忆零指数幂的运算规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1。第一步先判断底数是否为0，本题底数是-3，不为0，直接套用规则计算即可。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$），
因为底数$-3 ≠ 0$，
所以$(-3)^0 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记零指数幂的运算前提是底数不为0，只要掌握零指数幂的运算性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查零指数幂的运算，解题时首先回忆零指数幂的运算规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1。第一步先判断底数是否为0，本题底数是-3，不为0，直接套用规则计算即可。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$），
因为底数$-3 ≠ 0$，
所以$(-3)^0 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记零指数幂的运算前提是底数不为0，只要掌握零指数幂的运算性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
10.分解因式:$3m^2n - 3n=$
$3n(m+1)(m-1)$
.答案
10. $3n(m+1)(m-1)$
解析
【分析】
分解因式可按照“一提二套三查”的思路逐步推导：第一步先观察多项式各项的公因式，本题两项的系数最大公约数是3，且都含有字母n，因此优先提取公因式3n；第二步提取公因式后得到因式$m^2-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后验证分解后的各因式是否无法再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$3m^2n - 3n$
$\begin{aligned}&= 3n(m^2 - 1)\\&= 3n(m+1)(m-1)\end{aligned}$
【答案】
$3n(m+1)(m-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的操作步骤，提取公因式后要注意判断剩余因式是否还能套用公式分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式可按照“一提二套三查”的思路逐步推导：第一步先观察多项式各项的公因式，本题两项的系数最大公约数是3，且都含有字母n，因此优先提取公因式3n；第二步提取公因式后得到因式$m^2-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后验证分解后的各因式是否无法再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$3m^2n - 3n$
$\begin{aligned}&= 3n(m^2 - 1)\\&= 3n(m+1)(m-1)\end{aligned}$
【答案】
$3n(m+1)(m-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的操作步骤，提取公因式后要注意判断剩余因式是否还能套用公式分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
11.如图，在$△ ABC$中，$BC=8$，边$AB$，$AC$的垂直平分线与$BC$分别交于$E$，$F$两点，则$△ AEF$的周长为
8
。答案
11. 8
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。本题中，E是AB垂直平分线与BC的交点，因此EA=EB；F是AC垂直平分线与BC的交点，因此FA=FC。△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF等量替换为EB、FC后，周长可转化为EB+EF+FC，也就是BC的长度，代入已知的BC长度即可得到结果。
【解析】
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE = BE，
∵点F在AC的垂直平分线上，
∴AF = CF，
∴△AEF的周长 = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC，
又
∵BC=8，
∴△AEF的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知长度的线段，不需要额外计算，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。本题中，E是AB垂直平分线与BC的交点，因此EA=EB；F是AC垂直平分线与BC的交点，因此FA=FC。△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF等量替换为EB、FC后，周长可转化为EB+EF+FC，也就是BC的长度，代入已知的BC长度即可得到结果。
【解析】
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE = BE，
∵点F在AC的垂直平分线上，
∴AF = CF，
∴△AEF的周长 = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC，
又
∵BC=8，
∴△AEF的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知长度的线段，不需要额外计算，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$BE$，$CD$为$△ ABC$的角平分线，$BE$，$CD$交于点$F$，$FG$平分$∠ BFC$.有下列结论：①$∠ BFC=120°$；②$BD=BG$；③$△ BDF≌△ CEF$；④$BC=BD+CE$.其中正确的有
①②④
.(填序号)答案
12. ①②④
解析
【分析】
我们需要逐一验证四个结论是否正确：1. 计算∠BFC的度数，可利用三角形内角和定理结合角平分线的性质推导；2. 判断BD=BG，可通过证明△BDF和△BGF全等来验证；3. 判断△BDF和△CEF是否全等，需看是否有对应边相等的条件，题目未说明△ABC为等腰三角形，无对应边相等的依据；4. 判断BC=BD+CE，可通过全等分别得到BD=BG、CE=CG，结合线段和即可推导。
【解析】
1. 验证结论①：
在△ABC中，∠A=60°，由三角形内角和得∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵BE、CD是△ABC的角平分线，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=120°，故①正确。
2. 验证结论②：
∵∠BFC=120°，
∴邻补角∠BFD=180°-120°=60°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=$\frac{1}{2}$∠BFC=60°，
∴∠BFD=∠BFG。
在△BDF和△BGF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBF=∠GBF（BE是角平分线）\\BF=BF（公共边）\\∠BFD=∠BFG\end{array} $
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，故②正确。
3. 验证结论③：
△BDF和△CEF中，仅能得到对应角相等，题目未给出AB=AC等对应边相等的条件，无法证明全等，故③错误。
4. 验证结论④：
同理可得∠CFG=∠CFE=60°，
在△CFG和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠FCG=∠FCE（CD是角平分线）\\CF=CF（公共边）\\∠CFG=∠CFE\end{array} $
∴△CFG≌△CFE（ASA），
∴CG=CE，
∵BC=BG+CG，且BD=BG，
∴BC=BD+CE，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形角平分线与全等三角形结合的典型题型，需要逐一推导每个结论，注意不要默认三角形为等腰三角形，在证明线段和关系时，常采用截长补短的思路通过全等转化线段。
【难度系数】
0.6
我们需要逐一验证四个结论是否正确：1. 计算∠BFC的度数，可利用三角形内角和定理结合角平分线的性质推导；2. 判断BD=BG，可通过证明△BDF和△BGF全等来验证；3. 判断△BDF和△CEF是否全等，需看是否有对应边相等的条件，题目未说明△ABC为等腰三角形，无对应边相等的依据；4. 判断BC=BD+CE，可通过全等分别得到BD=BG、CE=CG，结合线段和即可推导。
【解析】
1. 验证结论①：
在△ABC中，∠A=60°，由三角形内角和得∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵BE、CD是△ABC的角平分线，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=120°，故①正确。
2. 验证结论②：
∵∠BFC=120°，
∴邻补角∠BFD=180°-120°=60°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=$\frac{1}{2}$∠BFC=60°，
∴∠BFD=∠BFG。
在△BDF和△BGF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBF=∠GBF（BE是角平分线）\\BF=BF（公共边）\\∠BFD=∠BFG\end{array} $
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，故②正确。
3. 验证结论③：
△BDF和△CEF中，仅能得到对应角相等，题目未给出AB=AC等对应边相等的条件，无法证明全等，故③错误。
4. 验证结论④：
同理可得∠CFG=∠CFE=60°，
在△CFG和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠FCG=∠FCE（CD是角平分线）\\CF=CF（公共边）\\∠CFG=∠CFE\end{array} $
∴△CFG≌△CFE（ASA），
∴CG=CE，
∵BC=BG+CG，且BD=BG，
∴BC=BD+CE，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形角平分线与全等三角形结合的典型题型，需要逐一推导每个结论，注意不要默认三角形为等腰三角形，在证明线段和关系时，常采用截长补短的思路通过全等转化线段。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)分解因式:$3m^2n -12mn +12n$;
(2)计算:$(x+3)(2x-1)-3(x+1)(x-1)$.
13.(本小题满分10分)(1)分解因式:$3m^2n -12mn +12n$;
(2)计算:$(x+3)(2x-1)-3(x+1)(x-1)$.
答案
13. 解:(1)原式$=3n(m^2 -4m +4)=3n(m-2)^2$.
(2)原式$=2x^2 -x +6x -3 -3(x^2 -1)=2x^2 -x +6x -3 -3x^2 +3=-x^2 +5x$.
(2)原式$=2x^2 -x +6x -3 -3(x^2 -1)=2x^2 -x +6x -3 -3x^2 +3=-x^2 +5x$.
解析
【分析】
本题分为因式分解和整式运算两小问，解题思路如下：
(1) 分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项的公因式，先提取公因式3n，再观察剩余的二次三项式是否符合完全平方公式的特征，套用公式完成分解，最后检查是否分解彻底。
(2) 整式混合运算遵循先乘除后加减的顺序：先分别计算两个乘法式子，其中$(x+1)(x-1)$可以直接套用平方差公式简化计算，再去括号，最后合并同类项得到结果，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 分解因式：
先提取各项的公因式$3n$，可得：
原式$=3n(m^2 -4m +4)$
再观察剩余的二次三项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m$，$b=2$），因此进一步分解得：
$=3n(m-2)^2$
(2) 整式计算：
先分别计算多项式乘法，其中$(x+1)(x-1)$利用平方差公式计算：
原式$=2x^2 -x +6x -3 -3(x^2 -1)$
去括号（括号前为负号，括号内各项需变号）：
$=2x^2 -x +6x -3 -3x^2 +3$
合并同类项：
$=-x^2 +5x$
【答案】
(1) $3n(m-2)^2$；(2) $-x^2 +5x$
【知识点】
因式分解、整式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查常规运算规则的掌握情况，计算时注意严格按照运算顺序求解，分解因式要确保分解彻底，整式运算去括号时注意符号变化，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题分为因式分解和整式运算两小问，解题思路如下：
(1) 分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项的公因式，先提取公因式3n，再观察剩余的二次三项式是否符合完全平方公式的特征，套用公式完成分解，最后检查是否分解彻底。
(2) 整式混合运算遵循先乘除后加减的顺序：先分别计算两个乘法式子，其中$(x+1)(x-1)$可以直接套用平方差公式简化计算，再去括号，最后合并同类项得到结果，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 分解因式：
先提取各项的公因式$3n$，可得：
原式$=3n(m^2 -4m +4)$
再观察剩余的二次三项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m$，$b=2$），因此进一步分解得：
$=3n(m-2)^2$
(2) 整式计算：
先分别计算多项式乘法，其中$(x+1)(x-1)$利用平方差公式计算：
原式$=2x^2 -x +6x -3 -3(x^2 -1)$
去括号（括号前为负号，括号内各项需变号）：
$=2x^2 -x +6x -3 -3x^2 +3$
合并同类项：
$=-x^2 +5x$
【答案】
(1) $3n(m-2)^2$；(2) $-x^2 +5x$
【知识点】
因式分解、整式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查常规运算规则的掌握情况，计算时注意严格按照运算顺序求解，分解因式要确保分解彻底，整式运算去括号时注意符号变化，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
14. (本小题满分8分)先化简,再求值:$(1+\dfrac{3}{x-3})÷\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9}$,其中$x=6.$
答案
14. 解:原式$=\frac{x-3+3}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)} = \frac{x}{x-3} · \frac{x-3}{x+3} = \frac{x}{x+3}$. 当$x=6$时,原式$=\frac{6}{6+3}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰可遵循三步推进：第一步先处理括号内的分式加法，把整数1通分为分母是$x-3$的分式，再和$\frac{3}{x-3}$合并；第二步将除法运算转换为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），同时对分子、分母里的多项式因式分解，$x^2-9$用平方差公式分解，$x^2-6x+9$用完全平方公式分解；第三步对分式约分得到最简结果，最后把$x=6$代入最简式计算数值即可，运算中要注意隐含条件：分式所有分母不能为0。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x-3+3}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}\\&= \frac{x}{x-3} · \frac{x-3}{x+3}\\&= \frac{x}{x+3}\end{aligned}$
再代入$x=6$求值：
当$x=6$时，原式$=\frac{6}{6+3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考察分式化简的常规操作步骤，计算时要注意通分、因式分解的准确性，约分要彻底，代入数值前可先验证$x$的取值是否让原分式有意义，避免无效运算。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰可遵循三步推进：第一步先处理括号内的分式加法，把整数1通分为分母是$x-3$的分式，再和$\frac{3}{x-3}$合并；第二步将除法运算转换为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），同时对分子、分母里的多项式因式分解，$x^2-9$用平方差公式分解，$x^2-6x+9$用完全平方公式分解；第三步对分式约分得到最简结果，最后把$x=6$代入最简式计算数值即可，运算中要注意隐含条件：分式所有分母不能为0。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x-3+3}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}\\&= \frac{x}{x-3} · \frac{x-3}{x+3}\\&= \frac{x}{x+3}\end{aligned}$
再代入$x=6$求值：
当$x=6$时，原式$=\frac{6}{6+3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考察分式化简的常规操作步骤，计算时要注意通分、因式分解的准确性，约分要彻底，代入数值前可先验证$x$的取值是否让原分式有意义，避免无效运算。
【难度系数】
0.8
