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18.(本小题满分12分)在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ C=120°$，$D$为边$AB$的中点，$∠ EDF=60°$，$DE$，$DF$分别交$AC$，$BC$于点$E$，$F$，连接$EF$.
(1)如图①，若$EF// AB$，求证:$DE=DF$.
(2)如图②，当$EF$与$AB$不平行时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)若$AB=a$，则$EF$的最小值为$\underline{\hspace{2cm}}$.(用含$a$的式子表示)
(1)如图①，若$EF// AB$，求证:$DE=DF$.
(2)如图②，当$EF$与$AB$不平行时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)若$AB=a$，则$EF$的最小值为$\underline{\hspace{2cm}}$.(用含$a$的式子表示)
答案
(1)证明: $\because ∠ C=120°, AC=BC, \therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ C)=30°. \because EF // AB, \therefore ∠ FEC=∠ A=30°, ∠ EFC=∠ B=30°. \therefore ∠ FEC=∠ EFC. \therefore EC=FC. \therefore AC-EC=BC-FC$,即$AE=BF. \because D$为$AB$的中点, $\therefore AD=BD$. 在$△ ADE$ 和 $△ BDF$ 中, $\begin{cases} AE=BF, \\ ∠ A=∠ B, \\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BDF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=DF$.
(2)解:成立.证明如下:连接$CD$,在线段$AC$上取点$F'$,使$CF'=CF$,连接$F'D$(图略). $\because AC=BC,D$为$AB$的中点,$\therefore ∠ BCD=∠ ACD$. 在$△ CDF$ 与 $△ CDF'$ 中, $\begin{cases} CD=CD, \\ ∠ FCD=∠ F'CD, \\ CF=CF', \end{cases}$
$\therefore △ CDF ≌ △ CDF'(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CFD=∠ CF'D, DF=DF'$. 在四边形$CEDF$中, $∠ ECF=120°, ∠ EDF=60°, \therefore ∠ CED+∠ CFD=360°-∠ ECF-∠ EDF=180°. \because ∠ CED+∠ F'ED=180°, \therefore ∠ F'ED=∠ CFD. \therefore ∠ F'ED=∠ CF'D$.
$\therefore DE=DF'. \therefore DE=DF$.
(3)解: $\frac{a}{4}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BDF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=DF$.
(2)解:成立.证明如下:连接$CD$,在线段$AC$上取点$F'$,使$CF'=CF$,连接$F'D$(图略). $\because AC=BC,D$为$AB$的中点,$\therefore ∠ BCD=∠ ACD$. 在$△ CDF$ 与 $△ CDF'$ 中, $\begin{cases} CD=CD, \\ ∠ FCD=∠ F'CD, \\ CF=CF', \end{cases}$
$\therefore △ CDF ≌ △ CDF'(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CFD=∠ CF'D, DF=DF'$. 在四边形$CEDF$中, $∠ ECF=120°, ∠ EDF=60°, \therefore ∠ CED+∠ CFD=360°-∠ ECF-∠ EDF=180°. \because ∠ CED+∠ F'ED=180°, \therefore ∠ F'ED=∠ CFD. \therefore ∠ F'ED=∠ CF'D$.
$\therefore DE=DF'. \therefore DE=DF$.
(3)解: $\frac{a}{4}$
解析
【分析】
(1) 首先根据等腰三角形$AC=BC$、$∠ C=120°$，计算出底角$∠ A=∠ B=30°$；结合$EF// AB$的性质推出$∠ FEC=∠ EFC=30°$，得到$EC=FC$，进一步推导得$AE=BF$；再利用$D$是$AB$中点得$AD=BD$，通过SAS判定$△ ADE≌△ BDF$，即可证得$DE=DF$。
(2) 结论仍然成立。利用等腰三角形三线合一可知$CD$平分$∠ ACB$，构造辅助线：在$AC$上截取$CF'=CF$，先证$△ CDF≌△ CDF'$，得到$DF=DF'$、$∠ CFD=∠ CF'D$；再结合四边形内角和为$360°$，推导得$∠ F'ED=∠ CF'D$，得到$DE=DF'$，等量代换即可得$DE=DF$。
(3) 由$DE=DF$且$∠ EDF=60°$，可知$△ EDF$是等边三角形，因此$EF=DE$，要使$EF$最小只需$DE$最短；根据垂线段最短，当$DE⊥ AC$时$DE$取得最小值，结合$AB=a$得$AD=\frac{a}{2}$，利用直角三角形中$30°$角所对直角边为斜边一半，即可求出$DE$的最小值，也就是$EF$的最小值。
【解析】
(1) 证明: $\because ∠ C=120°, AC=BC, \therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ C)=30°$.
$\because EF // AB, \therefore ∠ FEC=∠ A=30°, ∠ EFC=∠ B=30°$, $\therefore ∠ FEC=∠ EFC$, $\therefore EC=FC$.
$\therefore AC-EC=BC-FC$,即$AE=BF$.
$\because D$为$AB$的中点, $\therefore AD=BD$.
在$△ ADE$ 和 $△ BDF$ 中, $\begin{cases} AE=BF, \\ ∠ A=∠ B, \\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BDF(\mathrm{SAS})$, $\therefore DE=DF$.
(2) 解:成立.证明如下:
连接$CD$,在线段$AC$上取点$F'$,使$CF'=CF$,连接$F'D$.
$\because AC=BC,D$为$AB$的中点,$\therefore ∠ BCD=∠ ACD$.
在$△ CDF$ 与 $△ CDF'$ 中, $\begin{cases} CD=CD, \\ ∠ FCD=∠ F'CD, \\ CF=CF', \end{cases}$
$\therefore △ CDF ≌ △ CDF'(\mathrm{SAS})$, $\therefore ∠ CFD=∠ CF'D, DF=DF'$.
在四边形$CEDF$中, $∠ ECF=120°, ∠ EDF=60°$,
$\therefore ∠ CED+∠ CFD=360°-∠ ECF-∠ EDF=180°$.
$\because ∠ CED+∠ F'ED=180°, \therefore ∠ F'ED=∠ CFD$, $\therefore ∠ F'ED=∠ CF'D$,
$\therefore DE=DF'$, $\therefore DE=DF$.
(3) 解：由(2)可知$DE=DF$，又$\because ∠ EDF=60°$，$\therefore △ EDF$为等边三角形，$\therefore EF=DE$.
要使$EF$最小，即$DE$最小，根据垂线段最短，当$DE⊥ AC$时，$DE$取得最小值.
$\because AB=a$，$D$为$AB$中点，$\therefore AD=\frac{a}{2}$.
在$Rt△ ADE$中，$∠ A=30°$，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}=\frac{a}{4}$，即$EF$的最小值为$\frac{a}{4}$.
【答案】
(1) 证明见解析，$DE=DF$成立；
(2) 结论仍然成立，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{a}{4}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形背景的几何综合题，既考查了基础的全等三角形证明，也考查了辅助线构造、最值转化的数学思维，解题时要注意结合已知条件灵活运用等腰三角形三线合一、特殊三角形的性质简化推导，第三问的最值转化体现了几何问题中“化动为静”的思路。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据等腰三角形$AC=BC$、$∠ C=120°$，计算出底角$∠ A=∠ B=30°$；结合$EF// AB$的性质推出$∠ FEC=∠ EFC=30°$，得到$EC=FC$，进一步推导得$AE=BF$；再利用$D$是$AB$中点得$AD=BD$，通过SAS判定$△ ADE≌△ BDF$，即可证得$DE=DF$。
(2) 结论仍然成立。利用等腰三角形三线合一可知$CD$平分$∠ ACB$，构造辅助线：在$AC$上截取$CF'=CF$，先证$△ CDF≌△ CDF'$，得到$DF=DF'$、$∠ CFD=∠ CF'D$；再结合四边形内角和为$360°$，推导得$∠ F'ED=∠ CF'D$，得到$DE=DF'$，等量代换即可得$DE=DF$。
(3) 由$DE=DF$且$∠ EDF=60°$，可知$△ EDF$是等边三角形，因此$EF=DE$，要使$EF$最小只需$DE$最短；根据垂线段最短，当$DE⊥ AC$时$DE$取得最小值，结合$AB=a$得$AD=\frac{a}{2}$，利用直角三角形中$30°$角所对直角边为斜边一半，即可求出$DE$的最小值，也就是$EF$的最小值。
【解析】
(1) 证明: $\because ∠ C=120°, AC=BC, \therefore ∠ A=∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ C)=30°$.
$\because EF // AB, \therefore ∠ FEC=∠ A=30°, ∠ EFC=∠ B=30°$, $\therefore ∠ FEC=∠ EFC$, $\therefore EC=FC$.
$\therefore AC-EC=BC-FC$,即$AE=BF$.
$\because D$为$AB$的中点, $\therefore AD=BD$.
在$△ ADE$ 和 $△ BDF$ 中, $\begin{cases} AE=BF, \\ ∠ A=∠ B, \\ AD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BDF(\mathrm{SAS})$, $\therefore DE=DF$.
(2) 解:成立.证明如下:
连接$CD$,在线段$AC$上取点$F'$,使$CF'=CF$,连接$F'D$.
$\because AC=BC,D$为$AB$的中点,$\therefore ∠ BCD=∠ ACD$.
在$△ CDF$ 与 $△ CDF'$ 中, $\begin{cases} CD=CD, \\ ∠ FCD=∠ F'CD, \\ CF=CF', \end{cases}$
$\therefore △ CDF ≌ △ CDF'(\mathrm{SAS})$, $\therefore ∠ CFD=∠ CF'D, DF=DF'$.
在四边形$CEDF$中, $∠ ECF=120°, ∠ EDF=60°$,
$\therefore ∠ CED+∠ CFD=360°-∠ ECF-∠ EDF=180°$.
$\because ∠ CED+∠ F'ED=180°, \therefore ∠ F'ED=∠ CFD$, $\therefore ∠ F'ED=∠ CF'D$,
$\therefore DE=DF'$, $\therefore DE=DF$.
(3) 解：由(2)可知$DE=DF$，又$\because ∠ EDF=60°$，$\therefore △ EDF$为等边三角形，$\therefore EF=DE$.
要使$EF$最小，即$DE$最小，根据垂线段最短，当$DE⊥ AC$时，$DE$取得最小值.
$\because AB=a$，$D$为$AB$中点，$\therefore AD=\frac{a}{2}$.
在$Rt△ ADE$中，$∠ A=30°$，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}=\frac{a}{4}$，即$EF$的最小值为$\frac{a}{4}$.
【答案】
(1) 证明见解析，$DE=DF$成立；
(2) 结论仍然成立，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{a}{4}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形背景的几何综合题，既考查了基础的全等三角形证明，也考查了辅助线构造、最值转化的数学思维，解题时要注意结合已知条件灵活运用等腰三角形三线合一、特殊三角形的性质简化推导，第三问的最值转化体现了几何问题中“化动为静”的思路。
【难度系数】
0.6
