1.等腰三角形的周长为 15 cm，其中一边长为 3 cm，则该等腰三角形的腰长为 （）

A.3 cm
B.6 cm
C.3 cm 或 6 cm
D.3 cm 或 9 cm

1. B

【分析】
解决本题需要先明确等腰三角形的边分为腰和底边，题目未说明3cm的边是腰还是底，因此要分两种情况讨论，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到腰长。
【解析】
已知等腰三角形周长为15cm，分两种情况讨论：
1. 若边长为3cm的边是腰：
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 15 - 2×3 = 9cm，此时三角形三边长为3cm，3cm，9cm。
验证三边关系：3 + 3 = 6 ＜ 9，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此该情况不成立，舍去。
2. 若边长为3cm的边是底边：
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (15 - 3)÷2 = 6cm，此时三角形三边长为6cm，6cm，3cm。
验证三边关系：3 + 6 = 9 ＞ 6，6 + 6 = 12 ＞ 3，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，该等腰三角形的腰长为6cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的常见易错题，解题时需注意对已知边长的类型进行分类讨论，同时不要遗漏用三角形三边关系验证构造的三角形是否成立，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6

2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和15两部分，则这个等腰三角形的腰长为.

2. 10

【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形的性质，腰上的中线会将其中一条腰分为长度相等的两段。由于周长被分成的两部分没有明确对应关系，因此需要分两种情况讨论：①腰长与半腰长的和为9；②腰长与半腰长的和为15。计算出边长后，还需要根据三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合要求的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x$，底边长为$y$，腰上的中线将腰分为两段长度均为$x$的线段，分两种情况讨论：
1. 当$2x + x = 9$，$x + y =15$时：
解$3x=9$得$x=3$，代入$x + y =15$得$y=12$。
此时三角形三边长为$6,6,12$，因为$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去该情况。
2. 当$2x + x =15$，$x + y =9$时：
解$3x=15$得$x=5$，代入$x + y =9$得$y=4$。
此时三角形三边长为$10,10,4$，满足$10+4＞10$、$10+10＞4$，符合三角形三边关系。
综上，等腰三角形的腰长为10。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形的易错题，解题的关键是结合未知条件合理分类讨论，切记求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

3.若等腰三角形的一个内角为$94°$,则它的顶角的度数为.
【变式题1】等腰三角形的一个内角为$50°$,则这个等腰三角形的底角的度数为.
【变式题2】在等腰三角形$ABC$中,$∠ A=50°$,则$∠ B$的度数为.
思维呈现:

3. 94° 【变式题1】50°或 65° 【变式题2】50°或 65°或 80°

【分析】
解决等腰三角形角度问题需抓住两个核心依据：①等腰三角形两底角相等；②三角形内角和为180°，且底角一定为锐角（否则两个底角之和超过180°，不符合内角和定理），解题时要对已知角的类型分类讨论：
1. 第3题：94°是钝角，不可能作为底角，因此只能是顶角，可直接得到结果。
2. 变式题1：50°是锐角，既可能是底角也可能是顶角，分两种情况计算，验证均符合内角和定理，都需保留。
3. 变式题2：已知∠A=50°，需两层分类：先分∠A是顶角还是底角，当∠A是底角时，再分∠B是底角还是顶角，分别计算后验证合理性，得到所有符合的结果。
【解析】
第3题
解：若94°为底角，则两个底角和为$94°×2=188°＞180°$，不符合三角形内角和定理，因此94°只能为顶角。
变式题1
解：分两种情况讨论：
① 若50°为底角，底角度数即为$50°$；
② 若50°为顶角，底角度数为$\frac{180°-50°}{2}=65°$。
两种情况均符合内角和定理，均成立。
变式题2
解：分三类情况讨论：
① 若∠A为顶角，∠B为底角：$∠ B=\frac{180°-50°}{2}=65°$；
② 若∠A为底角，∠B为底角：$∠ B=∠ A=50°$；
③ 若∠A为底角，∠B为顶角：$∠ B=180°-50°×2=80°$。
三种情况均符合内角和定理，均成立。
【答案】
3. $94°$；【变式题1】$50°$或$65°$；【变式题2】$50°$或$65°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
此类题型是等腰三角形角度计算的高频易错点，解题关键是对已知角的归属（顶角/底角）进行不重不漏的分类讨论，每类结果都要验证是否符合三角形内角和定理，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

4.若等腰三角形的一个内角是$50°$,则它的一腰上的高与底边的夹角的度数是.

4. 25°或 40°

【分析】
题目未明确50°的内角是等腰三角形的顶角还是底角，需分两种情况分类讨论：①50°为顶角；②50°为底角。先根据等腰三角形两底角相等的性质求出对应情况下的底角度数，再结合腰上的高与腰垂直形成直角，在高、底边和部分腰构成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余即可求出腰上的高与底边的夹角。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当50°的角为等腰三角形的顶角时：
等腰三角形的底角度数为 $\frac{180° - 50°}{2}=65°$。
因为腰上的高与腰垂直，夹角为90°，在高、底边、腰的下半段组成的直角三角形中，两个锐角分别为底角和所求夹角，因此所求夹角为 $90° - 65°=25°$。
2. 当50°的角为等腰三角形的底角时：
同理，在上述直角三角形中，所求夹角为 $90° - 50°=40°$。
综上，该夹角的度数是25°或40°。
【答案】
25°或40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是注意未明确类型的等腰三角形内角需分顶角、底角两种情况讨论，考虑问题要全面，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

5.如图，$∠ AOB=60°$，点C在$∠ AOB$的平分线上，点E在射线OA上运动(不与点O重合)，当$△ OCE$为等腰三角形时，$∠ OEC$的度数为。
思维呈现：
$△ OCE$
为等腰 $\xrightarrow{分类讨论}$ $\begin{cases} OE=CE \to ∠ COE=∠ OCE \\ OC=$$ \to ∠ OEC=∠ OCE \\ OC=CE \to ∠ OEC=∠ COE \end{cases}$
三角形

5. 120°或 75°或 30°

【分析】
解决本题的核心思路是：①先利用角平分线的定义求出∠COE的度数，这是计算角度的基础；②由于等腰三角形未明确腰和底边，需分三种情况分类讨论三边的相等关系：OE=CE、OC=OE、OC=CE；③每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形内角和为180°计算∠OEC的度数，最后验证所有结果符合“点E在射线OA上且不与点O重合”的条件即可。
【解析】
已知OC平分∠AOB，∠AOB=60°，因此：
$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，根据等边对等角得$∠ COE=∠ OCE=30°$，
由三角形内角和定理：$∠ OEC=180°-∠ COE-∠ OCE=180°-30°-30°=120°$；
2. 当$OC=OE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ OCE$，
则$∠ OEC=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$；
3. 当$OC=CE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ COE=30°$。
以上三种情况均符合点E的运动要求，均成立。
【答案】
$120°$或$75°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形的典型分类讨论问题，解题的关键是明确未指明腰和底边的等腰三角形需分情况讨论，避免漏解，同时要注意结合题目的限制条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.6

6.有一张三角形纸片$ABC$.$∠A=68°$,$D$是边$AC$上的点,沿$BD$将三角形纸片$ABC$剪开后,发现所得两部分均为等腰三角形,则$∠C$的度数为.
思维呈现:
分三种情况讨论:
①若$AB=BD$,$BD=CD$,如图①;
②若$AB=AD$,$BD=CD$,如图②;
③若$AD=BD$,$BD=CD$,如图③.

6. 34°或 28°或 22°

【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解，由于剪开后得到的△ABD和△BCD均为等腰三角形，且等腰三角形的腰和底未明确，因此需按照题目给出的三种情况分别讨论：先推导△ABD的内角度数，再结合△BCD是等腰三角形的条件，求出对应∠C的度数。
【解析】
分三种情况计算：
① 如图①，$AB=BD$，$BD=CD$：
由$AB=BD$，根据等边对等角得$∠ BAD=∠ BDA=68°$，
因此$∠ BDC=180°-∠ BDA=180°-68°=112°$，
由$BD=CD$得$∠ DBC=∠ C$，
在$△ BDC$中，由三角形内角和为$180°$得：$112°+2∠ C=180°$，
解得$∠ C=\frac{180°-112°}{2}=34°$。
② 如图②，$AB=AD$，$BD=CD$：
由$AB=AD$得$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-68°}{2}=56°$，
因此$∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-56°=124°$，
由$BD=CD$得$∠ DBC=∠ C$，
在$△ BDC$中，$124°+2∠ C=180°$，
解得$∠ C=\frac{180°-124°}{2}=28°$。
③ 如图③，$AD=BD$，$BD=CD$：
由$AD=BD$得$∠ A=∠ ABD=68°$，
因此$∠ ADB=180°-68°×2=44°$，
$∠ BDC=180°-44°=136°$，
由$BD=CD$得$∠ DBC=∠ C$，
在$△ BDC$中，$136°+2∠ C=180°$，
解得$∠ C=\frac{180°-136°}{2}=22°$。
【答案】
$34°$或$28°$或$22°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题核心是明确等腰三角形腰、底不唯一时需要分类讨论，结合角度性质逐步推导，注意不要遗漏讨论情况导致漏解。
【难度系数】
0.4

7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$,则它的底角的度数为.

7. 75°或 15°

【分析】
解题时首先要明确等腰三角形腰上的高的位置不确定，需分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部。先结合直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。
∵高与腰垂直，夹角为90°，且高与另一腰的夹角为60°，
∴等腰三角形的顶角 = 90° - 60° = 30°，
又
∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴底角 = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°。
情况2：当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部（垂足落在腰的延长线上）。
∵高与腰垂直，夹角为90°，且高与另一腰的夹角为60°，
∴顶角的外角 = 90° - 60° = 30°，
∴等腰三角形的顶角 = 180° - 30° = 150°，
∴底角 = $\frac{180° - 150°}{2}$ = 15°。
综上，底角的度数为75°或15°。
【答案】
75°或15°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形高的定义
【点评】
本题是等腰三角形的典型多解易错题，解题的关键是注意腰上的高可能在三角形内部也可能在外部，要结合分类讨论思想分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

8.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为$70°$,则它的底角的度数为.

8. 20°

【分析】
解题时我们可以先结合题意画出等腰三角形示意图，明确腰上的高、底边、夹角的位置关系：首先，腰上的高与腰垂直，因此高、底边、腰的一部分可构成一个直角三角形；其次，等腰三角形两底角相等，我们可以利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出直角三角形中除70°夹角和直角外的第三个角，这个角就是等腰三角形的底角，同时要注意验证高在三角形外部的钝角等腰三角形情况，确认结果是否唯一。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，根据题意得$∠ DBC=70°$。
$\because BD$是腰$AC$上的高，$\therefore ∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ C + ∠ DBC = 90°$
$\therefore ∠ C = 90° - 70° = 20°$
$\because AB=AC$，$\therefore$等腰三角形的底角$∠ ABC=∠ C=20°$。
（验证：若为钝角等腰三角形，腰上的高在三角形外部，推导可得底角仍为20°，结果唯一。）
【答案】
$20°$
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.直角三角形的性质
【点评】
本题属于等腰三角形的易错题型，需要结合三角形高的定义、直角三角形和等腰三角形的性质联合求解，通过画图辅助分析能更清晰梳理各角的数量关系，解题时要注意考虑高在三角形内部或外部的情况，避免因思维定势漏解。
【难度系数】
0.6

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°$,$∠ B=72°$,$CD$平分$∠ ACB$,$DE// AC$,则图中等腰三角形的个数为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

（第9题图）
（第10题图）

9. D

【分析】
解题时先根据三角形内角和定理计算出△ABC的第三个内角，判断△ABC是否为等腰三角形；再结合角平分线的性质得到两个相等的角，依次判断△ACD、△CDB是否为等腰三角形；最后利用平行线的性质推导其余角的度数，判断剩余的△DEB、△CDE是否为等腰三角形，过程中按顺序枚举，避免漏数。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：在△ABC中，$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-72°=72°$，则$∠ ACB=∠ B$，因此$△ ABC$是等腰三角形。
2. $\because CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$。
3. 在$△ ACD$中，$∠ A=∠ ACD=36°$，$\therefore AD=CD$，$△ ACD$是等腰三角形。
4. 在$△ CDB$中，$∠ CDB=∠ A+∠ ACD=36°+36°=72°$，则$∠ CDB=∠ B$，$\therefore CD=CB$，$△ CDB$是等腰三角形。
5. $\because DE// AC$，$\therefore ∠ EDB=∠ A=36°$，$∠ DEB=∠ ACB=72°$，在$△ DEB$中，$∠ DEB=∠ B=72°$，$\therefore DE=DB$，$△ DEB$是等腰三角形。
6. $\because DE// AC$，$\therefore ∠ CDE=∠ ACD=36°$，则$∠ CDE=∠ BCD=36°$，$\therefore CE=DE$，$△ CDE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，需要结合多个几何性质逐步推导相等的角，按顺序排查等腰三角形，能有效考查对几何基础性质的综合运用能力和细心程度。
【难度系数】
0.6

10.如图,在$3× 3$的正方形网格中,点A,B在格点上.若点C也在格点上,且$△ ABC$是等腰三角形,则符合条件的点C的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

10. C

【分析】
要找到满足条件的格点C，需根据等腰三角形的边的特点分类讨论：等腰三角形的两条边相等，因此需分AB为底边、AB为腰两种大情况，其中AB为腰时又分为A是顶角顶点、B是顶角顶点两种子情况。分别在网格中找到符合对应边长相等的格点，最后排除三点共线无法构成三角形的点，统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，分三类讨论：
1. 若AB为等腰三角形的底边，此时需满足$AC=BC$：在网格中找AB垂直平分线上的格点，符合条件的点C有1个；
2. 若AB为腰，且A为顶角顶点，此时需满足$AB=AC$：以A为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点中，排除与A、B共线的点，符合条件的点C有1个；
3. 若AB为腰，且B为顶角顶点，此时需满足$AB=BC$：以B为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点中，排除与A、B共线的点，符合条件的点C有1个。
综上，符合条件的点C共有$1+1+1=3$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；勾股定理的应用
【点评】
本题是等腰三角形的易错题，解题时需注意按边的属性分类讨论，找到格点后要验证三点是否共线，避免出现多解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.6