3. 如图,已知$△ ABC$与$△ ADE$都是等腰直角三角形,且$∠ BAC=∠ DAE=90°$.
(1)求证:$△ ABE≌△ ACD$;
(2)求证:$DC⊥ BE$.

3. 证明:(1)
∵△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AE=AD, ∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.
∴△ABE≌△ACD(SAS). (2)由(1)知△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠ACB=90°.
∴∠ACD+∠ACB=90°,即∠BCD=90°.
∴DC⊥BE.

【分析】
（1）要证明△ABE≌△ACD，首先根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC、AD=AE两组对应边相等；接下来推导两边的夹角相等，已知∠BAC和∠DAE均为90°，两个角同时加上公共角∠CAE，即可得到夹角∠BAE=∠CAD，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明DC⊥BE，只需证明两条线段的夹角为90°，即∠BCD=90°。借助第一问的全等结论可得到对应角∠ABE=∠ACD，再结合等腰直角△ABC中∠ABE+∠ACB=90°，将角等量代换即可得到∠ACD+∠ACB=90°，也就是∠BCD=90°，即可推出垂直关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∵∠BAC + ∠CAE = ∠DAE + ∠CAE，
即∠BAE = ∠CAD，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAE = ∠CAD \\AE = AD\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
由(1)得$△ ABE ≌ △ ACD$，
∴∠ABE = ∠ACD，
∵∠BAC = 90°，
∴∠ABE + ∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠ACB = 90°，即∠BCD = 90°，
∴DC⊥BE。
【答案】
(1) 证明：
∵△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AE=AD, ∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2) 证明：
由(1)知△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠ACB=90°.
∴∠ACD+∠ACB=90°,即∠BCD=90°.
∴DC⊥BE.
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题属于共顶点等腰三角形的经典“手拉手”模型，重点考察全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是找到公共角推导相等的夹角，再通过角度转化得到垂直关系，是全等几何证明中的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$△ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，且点$A,C,E$在同一条直线上，$AD$与$BC$相交于点$M$，$BE$与$CD$相交于点$N$，连接$MN$.
(1)求证:$AD=BE$；
(2)求证:$△ CMN$是等边三角形.

4. 证明:(1)
∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴CA=CB, CD = CE, ∠BCA = ∠ECD = 60°.
∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°.
∴∠ACD=∠BCE=120°.
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE. (2)由(1)知△ACD≌△BCE,∠ACM=∠BCN=60°,
∴∠DAC=∠EBC,CA=CB.
∴△ACM≌△BCN（ASA）.
∴CM = CN.
∵∠MCN = 60°,
∴△CMN是等边三角形.

【分析】
(1) 要证AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知△ABC和△CDE都是等边三角形，可得对应边CA=CB、CD=CE，结合A、C、E共线的条件可推出夹角∠ACD=∠BCE，利用SAS判定△ACD≌△BCE即可得证。
(2) 要证△CMN是等边三角形，首先由平角性质可得∠MCN=60°，只需再证明一组邻边CM=CN即可。借助(1)的全等结论可得∠DAC=∠EBC，结合CA=CB、∠ACM=∠BCN=60°，用ASA判定△ACM≌△BCN得到CM=CN，最后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴$CA=CB$，$CD = CE$，$∠BCA = ∠ECD = 60°$，
∴$∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°$，
∴$∠ACD=∠BCE=120°$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}CA=CB \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$。
(2) 证明：
由(1)知$△ ACD≌△ BCE$，
∴$∠DAC=∠EBC$，
又
∵$∠ACM=∠BCN=60°$，$CA=CB$，
在$△ ACM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}∠MAC=∠NBC \\CA=CB \\∠ACM=∠BCN\end{cases}$
∴$△ ACM≌△ BCN(\mathrm{ASA})$，
∴$CM = CN$，
∵$∠MCN = 60°$，
∴$△ CMN$是等边三角形。
【答案】
(1) $AD=BE$，证明成立；
(2) $△ CMN$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的共顶点等边三角形“手拉手”模型习题，解题核心是利用等边三角形的性质挖掘全等三角形的判定条件，逻辑链条清晰，能有效锻炼几何综合推理能力。
【难度系数】
0.7

5.(1)问题发现:如图①,△ABC和△DCE都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上,连接AE.
①∠AEC的度数为;
②线段AE,BD之间的数量关系为.
(2)拓展探究:如图②,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一条直线上,CM是△DCE的边DE上的高,M是ED的中点,连接AE.
①求∠AEB的度数;
②判断线段CM,AE,BM之间的数量关系,并说明理由.

5. 解:(1)①120° ②AE=BD (2)①
∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS),∠CDE=∠CED=45°.
∴∠CDB=180°-∠CDE=135°.
∴∠CEA=∠CDB=135°.
∴∠AEB=∠CEA-∠CED=90°. ②CM+AE=BM. 理由如下:
∵△DCE 是等腰直角三角形,CM 是△DCE 的边DE 上的高,M 是ED 的中点,∠CDE=45°,∠DCE=90°,
∴∠DCM = $\frac{1}{2}$∠DCE = 45° = ∠CDE.
∴CM=DM. 由(2)①知△ACE≌△BCD,
∴AE=BD.
∴CM+AE=DM+BD=BM.

【分析】
本题属于共顶点等腰三角形的“手拉手”模型问题，解题思路如下：
(1)等边三角形手拉手问题：首先利用等边三角形三边相等、内角为$60°$的性质，通过角的和差推导得到$∠ ACE=∠ BCD$，证明$△ ACE≌△ BCD$，再结合全等三角形的性质、平角的定义，即可求出$∠ AEC$的度数和$AE$、$BD$的数量关系。
(2)等腰直角三角形手拉手问题：①类比(1)的思路，先证$△ ACE≌△ BCD$，得到$∠ CEA=∠ CDB$，再结合等腰直角三角形底角为$45°$的性质，通过角的差计算$∠ AEB$的度数；②先利用等腰直角三角形斜边上的高的性质，得到$CM=DM$，再结合全等得到的$AE=BD$，通过线段和差推导三者的数量关系。
【解析】
(1)①$\because △ ABC$和$△ DCE$都是等边三角形，
$\therefore CA=CB$，$CE=CD$，$∠ ACB=∠ DCE=∠ CED=60°$，
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$，即$∠ ACE=∠ BCD$，
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}CA=CB\\∠ ACE=∠ BCD\\CE=CD\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEC=∠ BDC$，
$\because$点$B、D、E$在同一直线上，$∠ CDE=60°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ CDE=120°$，
$\therefore ∠ AEC=120°$。
②由①中$△ ACE≌△ BCD$可得，对应边$AE=BD$。
(2)①$\because △ ABC$和$△ DCE$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore CA=CB$，$CE=CD$，$∠ CDE=∠ CED=45°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD$，即$∠ ACE=∠ BCD$，
在$△ ACE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}CA=CB\\∠ ACE=∠ BCD\\CE=CD\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ CDB$，
$\because$点$B、D、E$在同一直线上，
$\therefore ∠ CDB=180°-∠ CDE=180°-45°=135°$，
$\therefore ∠ CEA=135°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CEA-∠ CED=135°-45°=90°$。
②线段数量关系为$CM+AE=BM$，理由如下：
$\because △ DCE$是等腰直角三角形，$CM$是$DE$边上的高，$M$是$ED$的中点，$∠ DCE=90°$，
$\therefore ∠ DCM=∠ CDE=45°$，
$\therefore CM=DM$，
由①知$△ ACE≌△ BCD$，$\therefore AE=BD$，
$\therefore BM=BD+DM=AE+CM$，即$CM+AE=BM$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{120°}$；②$\boldsymbol{AE=BD}$
(2)①$\boldsymbol{90°}$；②$\boldsymbol{CM+AE=BM}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型问题，解题核心是利用共顶点特殊等腰三角形的边、角相等的性质，推导得到全等所需的等角，证明三角形全等后即可利用全等性质求解角度和线段关系，能够有效考查特殊三角形性质和全等三角形的综合应用能力。
【难度系数】
0.7