登录
知识点二 二次函数与利润问题
求商品利润的最大值的一般思路：
（1）建立利润与售价之间的函数解析式.
（2）利用售价的取值范围，结合二次函数的性质确定利润的
求商品利润的最大值的一般思路：
（1）建立利润与售价之间的函数解析式.
（2）利用售价的取值范围，结合二次函数的性质确定利润的
最大值
.答案
最大值
解析
【分析】
本题考查二次函数解决商品利润最值问题的基础思路。首先明确这类问题的核心目标是求出利润的最大值，第一步先通过利润的等量关系搭建利润与售价的二次函数解析式；其次实际问题中售价存在合理的取值范围（如不能低于成本、不能超出合理定价区间等），需要结合该范围，利用二次函数的最值性质确定利润的对应最值，结合问题目标即可得出答案。
【解析】
求商品利润最大值的一般步骤：
1. 根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，结合售价与销量的对应关系，建立利润与售价之间的二次函数解析式；
2. 售价作为实际量有确定的取值范围，结合该范围和二次函数的图象与最值性质，即可确定利润的最大值。
因此空缺处应填入“最大值”。
【答案】
最大值
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 二次函数实际应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查二次函数解决利润最值问题的核心思路，是解决复杂的二次函数利润应用问题的基础铺垫。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数解决商品利润最值问题的基础思路。首先明确这类问题的核心目标是求出利润的最大值，第一步先通过利润的等量关系搭建利润与售价的二次函数解析式；其次实际问题中售价存在合理的取值范围（如不能低于成本、不能超出合理定价区间等），需要结合该范围，利用二次函数的最值性质确定利润的对应最值，结合问题目标即可得出答案。
【解析】
求商品利润最大值的一般步骤：
1. 根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，结合售价与销量的对应关系，建立利润与售价之间的二次函数解析式；
2. 售价作为实际量有确定的取值范围，结合该范围和二次函数的图象与最值性质，即可确定利润的最大值。
因此空缺处应填入“最大值”。
【答案】
最大值
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 二次函数实际应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查二次函数解决利润最值问题的核心思路，是解决复杂的二次函数利润应用问题的基础铺垫。
【难度系数】
0.9
例2 某产品进货价为90元/件，按100元/件出售时，能售出500件。若每件涨价1元，则销售量就减少10件。该产品能获得的最大利润为（
A.5 000元
B.8 000元
C.9 000元
D.10 000元
解析 设售价为$x$元/件，总利润为$W$元，则每件的利润为$(x-90)$元。
销售量为$[500-10(x-100)]$件。
由题意得$W=(x-90)[500-10(x-100)]=-10x^2+2400x-135000=-10(x-120)^2+9000$。
故当$x=120$时，$W$取得最大值，最大利润为9 000元。
答案 C
C
）A.5 000元
B.8 000元
C.9 000元
D.10 000元
解析 设售价为$x$元/件，总利润为$W$元，则每件的利润为$(x-90)$元。
销售量为$[500-10(x-100)]$件。
由题意得$W=(x-90)[500-10(x-100)]=-10x^2+2400x-135000=-10(x-120)^2+9000$。
故当$x=120$时，$W$取得最大值，最大利润为9 000元。
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先确定变量，可设售价为x元/件，总利润为W元；第二步分别表示出单件利润和销售数量：单件利润为售价减进价即(x-90)元，销售数量要结合“每涨价1元销量减少10件”的条件，原售价100元时销量500件，售价涨了(x-100)元，因此销量减少10(x-100)件，即可得到销量表达式；第三步将两者相乘得到总利润关于x的二次函数，再根据二次函数开口方向，用配方法求函数的最大值即可。
【解析】
解：设售价为$x$元/件，总利润为$W$元。
由题意得，每件商品的利润为：$x-90$（元）
售价相较100元的涨幅为$(x-100)$元，因此销售量为：$500-10(x-100)=1500-10x$（件）
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-90)(1500-10x)\\&=-10x^2+2400x-135000\\&=-10(x^2-240x+14400)+144000-135000\\&=-10(x-120)^2+9000\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，$\therefore$该抛物线开口向下，当$x=120$时，$W$取得最大值，最大利润为9000元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是梳理清楚售价、单件利润、销售量之间的数量关系，建立正确的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先确定变量，可设售价为x元/件，总利润为W元；第二步分别表示出单件利润和销售数量：单件利润为售价减进价即(x-90)元，销售数量要结合“每涨价1元销量减少10件”的条件，原售价100元时销量500件，售价涨了(x-100)元，因此销量减少10(x-100)件，即可得到销量表达式；第三步将两者相乘得到总利润关于x的二次函数，再根据二次函数开口方向，用配方法求函数的最大值即可。
【解析】
解：设售价为$x$元/件，总利润为$W$元。
由题意得，每件商品的利润为：$x-90$（元）
售价相较100元的涨幅为$(x-100)$元，因此销售量为：$500-10(x-100)=1500-10x$（件）
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}W&=(x-90)(1500-10x)\\&=-10x^2+2400x-135000\\&=-10(x^2-240x+14400)+144000-135000\\&=-10(x-120)^2+9000\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，$\therefore$该抛物线开口向下，当$x=120$时，$W$取得最大值，最大利润为9000元。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是梳理清楚售价、单件利润、销售量之间的数量关系，建立正确的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
知识点三 抛物线与实际问题
解决形状是抛物线（抛物线形状的拱桥，物体的运动路线等）的实际问题时，需要建立适当的
特别提醒
解决“利润最大化”问题的核心思路是：建立函数模型→转化顶点式→验证合理性。
解题要点
解答本题的关键是表示出销售量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意运用配方法求二次函数的最值。
解决形状是抛物线（抛物线形状的拱桥，物体的运动路线等）的实际问题时，需要建立适当的
平面直角坐标系
，通常以抛物线的顶点
为坐标原点，以抛物线的对称轴为y 轴
建立平面直角坐标系。特别提醒
解决“利润最大化”问题的核心思路是：建立函数模型→转化顶点式→验证合理性。
解题要点
解答本题的关键是表示出销售量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意运用配方法求二次函数的最值。
答案
平面直角坐标系 顶点 y轴
解析
【分析】
这道题考查利用抛物线解决实际问题的基础建模方法。解题时首先要明确：要将实际生活中的抛物线形状转化为数学中的二次函数问题，首先需要搭建数学和实际问题连接的载体，也就是平面直角坐标系；而建立坐标系的核心原则是简化后续计算，抛物线的顶点和对称轴是它的核心特征，将顶点设为原点、对称轴设为y轴时，抛物线的解析式可简化为y=ax²的形式，没有多余的一次项和常数项，能最大程度降低后续计算难度，由此就能对应填出三个空的内容。
【解析】
解决形状是抛物线的实际问题时，首先需要建立适当的平面直角坐标系，将实际图形转化为坐标平面内的二次函数图像；为了简化抛物线的解析式，通常以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线解析式可设为y=ax²，计算最简便。因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
平面直角坐标系 顶点 y轴
【知识点】
二次函数实际应用；抛物线的性质；平面直角坐标系建立
【点评】
本题是基础概念填空题，考察抛物线实际应用的前置建模步骤，选择合适的坐标系建立方式能大幅降低后续求解的复杂度，是解决二次函数实际问题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查利用抛物线解决实际问题的基础建模方法。解题时首先要明确：要将实际生活中的抛物线形状转化为数学中的二次函数问题，首先需要搭建数学和实际问题连接的载体，也就是平面直角坐标系；而建立坐标系的核心原则是简化后续计算，抛物线的顶点和对称轴是它的核心特征，将顶点设为原点、对称轴设为y轴时，抛物线的解析式可简化为y=ax²的形式，没有多余的一次项和常数项，能最大程度降低后续计算难度，由此就能对应填出三个空的内容。
【解析】
解决形状是抛物线的实际问题时，首先需要建立适当的平面直角坐标系，将实际图形转化为坐标平面内的二次函数图像；为了简化抛物线的解析式，通常以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线解析式可设为y=ax²，计算最简便。因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
平面直角坐标系 顶点 y轴
【知识点】
二次函数实际应用；抛物线的性质；平面直角坐标系建立
【点评】
本题是基础概念填空题，考察抛物线实际应用的前置建模步骤，选择合适的坐标系建立方式能大幅降低后续求解的复杂度，是解决二次函数实际问题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
