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知识点一 二次函数与面积问题
在实际问题中，当遇到求某种图形面积的最大值等问题时，常利用函数的图象和性质解决，也就是把面积最大值问题转化为函数的
在实际问题中，当遇到求某种图形面积的最大值等问题时，常利用函数的图象和性质解决，也就是把面积最大值问题转化为函数的
最大值
问题。答案
最大值
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数解决实际最值问题的逻辑：遇到求面积最大值的实际问题时，我们需要先把待求的面积表示为关于某个自变量的二次函数，再结合自变量的实际取值范围，求解二次函数的最大值，就能得到面积的最大值，因此这类问题本质是将几何面积的最大值问题转化为二次函数的最大值问题。
【解析】
在解决面积最大值类的实际问题时，首先通过设立合适的自变量，将所求面积表示为自变量的二次函数，再利用二次函数的性质求出函数的最大值，对应得到面积的最大值，因此该问题是将面积最大值问题转化为函数的最大值问题。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数的最值；实际问题与二次函数
【点评】
本题考查利用二次函数解决实际问题的转化思想，属于基础概念类题目，掌握将实际最值问题转化为函数最值问题的思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数解决实际最值问题的逻辑：遇到求面积最大值的实际问题时，我们需要先把待求的面积表示为关于某个自变量的二次函数，再结合自变量的实际取值范围，求解二次函数的最大值，就能得到面积的最大值，因此这类问题本质是将几何面积的最大值问题转化为二次函数的最大值问题。
【解析】
在解决面积最大值类的实际问题时，首先通过设立合适的自变量，将所求面积表示为自变量的二次函数，再利用二次函数的性质求出函数的最大值，对应得到面积的最大值，因此该问题是将面积最大值问题转化为函数的最大值问题。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数的最值；实际问题与二次函数
【点评】
本题考查利用二次函数解决实际问题的转化思想，属于基础概念类题目，掌握将实际最值问题转化为函数最值问题的思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两面墙足够长），用26 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.
（1）如果花园的面积为168 m²，求x的值；
（2）如果在点P处有一棵树，它到墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园的最大面积.
解（1）设AB=x m.
则BC=(26−x) m.
由题意得$x(26−x)=168$.
整理得$−x^2+26x−168=0$.
解得$x_1=12$，$x_2=14$.
所以x的值为12或14.
特别提醒
求面积最值的问题的核心思路是：建立模型→确定自变量的取值范围→利用二次函数的性质求最值.
解题要点
解题时需注意以下几点：第一，明确变量的实际意义.边长不能为负，且需满足限制条件，比如墙长的限制；第二，准确转化限制条件.将“树要围在花园内（含边界）”转化为矩形的长和宽，长、宽分别不小于树到两面墙的距离，从而得到相应的不等式；第三，利用二次函数的增减性求最值.当顶点不在自变量取值范围内时，需判断函数在取值范围内的增减性，从而确定最值.
（2）由题意可知$\begin{cases} x≥6, \\ 26-x≥15. \end{cases}$
解得$6≤ x≤11$.
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$.
由题意可得$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$.
所以当$6≤ x≤11$时，$S$随$x$的增大而增大.
当$x=11$时，$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$.
即花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$.
（1）如果花园的面积为168 m²，求x的值；
（2）如果在点P处有一棵树，它到墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园的最大面积.
解（1）设AB=x m.
则BC=(26−x) m.
由题意得$x(26−x)=168$.
整理得$−x^2+26x−168=0$.
解得$x_1=12$，$x_2=14$.
所以x的值为12或14.
特别提醒
求面积最值的问题的核心思路是：建立模型→确定自变量的取值范围→利用二次函数的性质求最值.
解题要点
解题时需注意以下几点：第一，明确变量的实际意义.边长不能为负，且需满足限制条件，比如墙长的限制；第二，准确转化限制条件.将“树要围在花园内（含边界）”转化为矩形的长和宽，长、宽分别不小于树到两面墙的距离，从而得到相应的不等式；第三，利用二次函数的增减性求最值.当顶点不在自变量取值范围内时，需判断函数在取值范围内的增减性，从而确定最值.
（2）由题意可知$\begin{cases} x≥6, \\ 26-x≥15. \end{cases}$
解得$6≤ x≤11$.
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$.
由题意可得$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$.
所以当$6≤ x≤11$时，$S$随$x$的增大而增大.
当$x=11$时，$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$.
即花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$.
答案
解：
（1）设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(26-x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x(26-x)=168$
整理得：$x^2-26x+168=0$，
解得$x_1=12$，$x_2=14$。
所以$x$的值为12或14。
（2）由题意，树在花园内（含边界）可得不等式组：
$\begin{cases}x\ge 6 \\26-x\ge 15\end{cases}$
解得$6\le x\le 11$。
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=13$，
$\therefore$当$6\le x\le 11$时，$S$随$x$的增大而增大。
当$x=11$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$
答：（1）$x$的值为12或14；（2）花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$。
（1）设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(26-x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x(26-x)=168$
整理得：$x^2-26x+168=0$，
解得$x_1=12$，$x_2=14$。
所以$x$的值为12或14。
（2）由题意，树在花园内（含边界）可得不等式组：
$\begin{cases}x\ge 6 \\26-x\ge 15\end{cases}$
解得$6\le x\le 11$。
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=13$，
$\therefore$当$6\le x\le 11$时，$S$随$x$的增大而增大。
当$x=11$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$
答：（1）$x$的值为12或14；（2）花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
（1）首先明确篱笆仅围AB、BC两边，总长26m，设AB=x m，则BC的长度为(26-x)m，矩形面积=长×宽，已知面积为168m²，据此列一元二次方程求解，验证解符合实际意义即可。
（2）要将树围在花园内，需满足AB的长度不小于树到墙AD的距离6m，BC的长度不小于树到墙CD的距离15m，据此列不等式组求出x的取值范围；再将花园面积S表示为关于x的二次函数，将函数配方后结合二次函数的增减性，在x的取值范围内求出面积的最大值即可。
【解析】
（1）设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(26-x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x(26-x)=168$
整理得：$x^2-26x+168=0$，
解得$x_1=12$，$x_2=14$，两个解均符合边长为正的实际要求。
（2）由树在花园内（含边界）的限制条件可得不等式组：
$\begin{cases}x\ge 6 \\26-x\ge 15\end{cases}$
解得$6\le x\le 11$。
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=13$，
$\therefore$当$6\le x\le 11$时，$S$随$x$的增大而增大。
当$x=11$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$
【答案】
（1）$x$的值为12或14；（2）花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的最值、不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景，综合考查了方程、不等式和函数的相关知识，解题核心是把实际限制条件转化为数学关系式，需要注意二次函数求最值时，必须结合自变量的实际取值范围判断，不能直接套用顶点坐标，避免出错。
【难度系数】
0.6
（1）首先明确篱笆仅围AB、BC两边，总长26m，设AB=x m，则BC的长度为(26-x)m，矩形面积=长×宽，已知面积为168m²，据此列一元二次方程求解，验证解符合实际意义即可。
（2）要将树围在花园内，需满足AB的长度不小于树到墙AD的距离6m，BC的长度不小于树到墙CD的距离15m，据此列不等式组求出x的取值范围；再将花园面积S表示为关于x的二次函数，将函数配方后结合二次函数的增减性，在x的取值范围内求出面积的最大值即可。
【解析】
（1）设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(26-x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x(26-x)=168$
整理得：$x^2-26x+168=0$，
解得$x_1=12$，$x_2=14$，两个解均符合边长为正的实际要求。
（2）由树在花园内（含边界）的限制条件可得不等式组：
$\begin{cases}x\ge 6 \\26-x\ge 15\end{cases}$
解得$6\le x\le 11$。
设花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=AB· BC=x(26-x)=-x^2+26x=-(x-13)^2+169$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=13$，
$\therefore$当$6\le x\le 11$时，$S$随$x$的增大而增大。
当$x=11$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-(11-13)^2+169=165$
【答案】
（1）$x$的值为12或14；（2）花园的最大面积为$165\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的最值、不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景，综合考查了方程、不等式和函数的相关知识，解题核心是把实际限制条件转化为数学关系式，需要注意二次函数求最值时，必须结合自变量的实际取值范围判断，不能直接套用顶点坐标，避免出错。
【难度系数】
0.6
