登录
5. 如图，以（1，5）为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于点$A$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是 （
A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$
C
）A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数顶点坐标确定对称轴，再观察图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，最后根据二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，推算出正半轴交点的横坐标范围，也就是一元二次方程的正数解的范围。
【解析】
已知二次函数的顶点为$(1,5)$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$。
观察图象可得，二次函数图象与x轴负半轴的交点A的横坐标$x_1$满足：$\boldsymbol{-2 ＜ x_1 ＜ -1}$。
设二次函数图象与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标，即：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$，变形得$x_2 = 2 - x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
当$x_1 ＞ -2$时，$-x_1 ＜ 2$，因此$x_2 = 2 - x_1 ＜ 2 + 2 = 4$；
当$x_1 ＜ -1$时，$-x_1 ＞ 1$，因此$x_2 = 2 - x_1 ＞ 2 + 1 = 3$。
综上可得$3 ＜ x_2 ＜ 4$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$3 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象特征
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性，结合图象读取已知交点的横坐标范围，即可快速推算出另一个交点的范围，需要注意对称轴是两个交点横坐标的中点这一性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数顶点坐标确定对称轴，再观察图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，最后根据二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，推算出正半轴交点的横坐标范围，也就是一元二次方程的正数解的范围。
【解析】
已知二次函数的顶点为$(1,5)$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$。
观察图象可得，二次函数图象与x轴负半轴的交点A的横坐标$x_1$满足：$\boldsymbol{-2 ＜ x_1 ＜ -1}$。
设二次函数图象与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标，即：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$，变形得$x_2 = 2 - x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
当$x_1 ＞ -2$时，$-x_1 ＜ 2$，因此$x_2 = 2 - x_1 ＜ 2 + 2 = 4$；
当$x_1 ＜ -1$时，$-x_1 ＞ 1$，因此$x_2 = 2 - x_1 ＞ 2 + 1 = 3$。
综上可得$3 ＜ x_2 ＜ 4$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$3 ＜ x ＜ 4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象特征
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性，结合图象读取已知交点的横坐标范围，即可快速推算出另一个交点的范围，需要注意对称轴是两个交点横坐标的中点这一性质的应用。
【难度系数】
0.7
6. 已知在二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 中，函数值 $ y $ 和自变量 $ x $ 的部分对应值如下表：
则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + bx + c + 5 = 0 $ 的解是
则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + bx + c + 5 = 0 $ 的解是
$x_1=0, x_2=4$
。答案
6. $x_1=0, x_2=4$
解析
【分析】
首先将所求方程转化为二次函数的函数值问题：方程$-x^2+bx+c+5=0$等价于求二次函数$y=-x^2+bx+c$中$y=-5$时对应的自变量$x$的值。观察表格数据可知，$x=1$和$x=3$时函数值相等，说明这两点关于二次函数的对称轴对称，我们可以先求对称轴，或者代入已知点求出系数$b、c$确定函数解析式，再通过解方程或者利用对称性找到$y=-5$对应的$x$值即可。
【解析】
1. 求二次函数的系数：
当$x=0$时，$y=-5$，代入$y=-x^2+bx+c$可得$c=-5$。
观察表格得$x=1$和$x=3$时$y$均为$-2$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题$a=-1$），代入得$-\frac{b}{2×(-1)}=2$，解得$b=4$。
2. 求解方程：
将$b=4、c=-5$代入所求方程$-x^2+bx+c+5=0$，化简得：
$-x^2+4x-5+5=0$
$-x^2+4x=0$
因式分解得$x(-x+4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
（也可利用对称性求解：已知$x=0$时$y=-5$，对称轴为$x=2$，则对称点横坐标为$2×2-0=4$，即$x=4$时$y=-5$，因此方程解为$x_1=0,x_2=4$）
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数和一元二次方程的关联，既可以通过求解析式解方程，也可以利用二次函数对称性快速得到结果，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先将所求方程转化为二次函数的函数值问题：方程$-x^2+bx+c+5=0$等价于求二次函数$y=-x^2+bx+c$中$y=-5$时对应的自变量$x$的值。观察表格数据可知，$x=1$和$x=3$时函数值相等，说明这两点关于二次函数的对称轴对称，我们可以先求对称轴，或者代入已知点求出系数$b、c$确定函数解析式，再通过解方程或者利用对称性找到$y=-5$对应的$x$值即可。
【解析】
1. 求二次函数的系数：
当$x=0$时，$y=-5$，代入$y=-x^2+bx+c$可得$c=-5$。
观察表格得$x=1$和$x=3$时$y$均为$-2$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（本题$a=-1$），代入得$-\frac{b}{2×(-1)}=2$，解得$b=4$。
2. 求解方程：
将$b=4、c=-5$代入所求方程$-x^2+bx+c+5=0$，化简得：
$-x^2+4x-5+5=0$
$-x^2+4x=0$
因式分解得$x(-x+4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
（也可利用对称性求解：已知$x=0$时$y=-5$，对称轴为$x=2$，则对称点横坐标为$2×2-0=4$，即$x=4$时$y=-5$，因此方程解为$x_1=0,x_2=4$）
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数和一元二次方程的关联，既可以通过求解析式解方程，也可以利用二次函数对称性快速得到结果，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
7. 已知函数$y=x^2+ax+b$的图象如图所示，当$y＞0$时，则$x$的取值范围是（
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$或$x＞3$
C.$x＜-1$且$x＞4$
D.$-1＜x＜4$
B
）A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$或$x＞3$
C.$x＜-1$且$x＞4$
D.$-1＜x＜4$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时可按照以下思路思考：第一步先观察二次函数图象，找到它与x轴两个交点的横坐标，分别为-1和3，这两个点处y=0；第二步明确y＞0的几何含义是抛物线图象位于x轴上方的部分，我们只需要找这部分图象对应的自变量x的取值即可；第三步结合抛物线开口向上的特征，开口向上时抛物线在x轴上方的区域对应的x为小于左侧交点横坐标，或大于右侧交点横坐标，由此即可得到x的取值范围。
【解析】
观察图象可知，二次函数$y=x^2+ax+b$的图象开口向上，与x轴的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$。
当$y＞0$时，对应图象在x轴上方的部分，此时x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数与不等式的关系；数形结合思想
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，重点考查利用图象求解不等式解集的能力，只要熟练掌握二次函数图象的特征，结合数形结合思想就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时可按照以下思路思考：第一步先观察二次函数图象，找到它与x轴两个交点的横坐标，分别为-1和3，这两个点处y=0；第二步明确y＞0的几何含义是抛物线图象位于x轴上方的部分，我们只需要找这部分图象对应的自变量x的取值即可；第三步结合抛物线开口向上的特征，开口向上时抛物线在x轴上方的区域对应的x为小于左侧交点横坐标，或大于右侧交点横坐标，由此即可得到x的取值范围。
【解析】
观察图象可知，二次函数$y=x^2+ax+b$的图象开口向上，与x轴的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$。
当$y＞0$时，对应图象在x轴上方的部分，此时x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数与不等式的关系；数形结合思想
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，重点考查利用图象求解不等式解集的能力，只要熟练掌握二次函数图象的特征，结合数形结合思想就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，若$ax^2+bx+c≥3$，则$x$的取值范围是（
A.$x≥0$
B.$x≤0$
C.$-2≤ x≤0$
D.$x≤-2$或$x≥0$
C
）A.$x≥0$
B.$x≤0$
C.$-2≤ x≤0$
D.$x≤-2$或$x≥0$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决求$ax^2+bx+c≥3$的$x$取值范围问题，本质是求抛物线函数值不小于3时对应的自变量取值范围。解题思路如下：第一步先从图像提取已知信息：抛物线对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与y轴交于点$(0,3)$，即$x=0$时函数值为3；第二步利用抛物线的对称性，找到函数值为3的另一个点：抛物线关于对称轴对称，所以点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点也满足函数值为3；第三步结合抛物线开口向下的特征，开口向下时，两点之间的函数值大于等于两点处的函数值，即可确定x的取值范围。
【解析】
由图像可知：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线过点$(0,3)$。
设点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点横坐标为$x_0$，根据对称点的横坐标到对称轴距离相等，可得：
$\frac{x_0+0}{2}=-1$，解得$x_0=-2$，即另一个函数值为3的点为$(-2,3)$。
又因为抛物线开口向下，所以当$y≥3$时，$x$的取值范围是$-2≤x≤0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数性质的应用，解题的核心是利用对称性找到函数值等于3的两个对应点，再结合开口方向判断不等式的解集，是二次函数结合不等式的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决求$ax^2+bx+c≥3$的$x$取值范围问题，本质是求抛物线函数值不小于3时对应的自变量取值范围。解题思路如下：第一步先从图像提取已知信息：抛物线对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与y轴交于点$(0,3)$，即$x=0$时函数值为3；第二步利用抛物线的对称性，找到函数值为3的另一个点：抛物线关于对称轴对称，所以点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点也满足函数值为3；第三步结合抛物线开口向下的特征，开口向下时，两点之间的函数值大于等于两点处的函数值，即可确定x的取值范围。
【解析】
由图像可知：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线过点$(0,3)$。
设点$(0,3)$关于对称轴$x=-1$的对称点横坐标为$x_0$，根据对称点的横坐标到对称轴距离相等，可得：
$\frac{x_0+0}{2}=-1$，解得$x_0=-2$，即另一个函数值为3的点为$(-2,3)$。
又因为抛物线开口向下，所以当$y≥3$时，$x$的取值范围是$-2≤x≤0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数性质的应用，解题的核心是利用对称性找到函数值等于3的两个对应点，再结合开口方向判断不等式的解集，是二次函数结合不等式的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 若点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$均在二次函数$y=x^2+bx+c$的图象上（点A在点B的左侧），且当$x_1+x_2＞2$时，$y_1＜y_2$，则$b$的取值范围为
$b≥-2$
。答案
9. $b≥-2$
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，其函数值大小与点到对称轴的距离相关：离对称轴越远，函数值越大。已知点A在点B左侧（$x_1＜x_2$），题目要求当$x_1+x_2＞2$时$y_1＜y_2$，说明此时点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离。我们可以先将$y_1＜y_2$的条件转化为关于$x_1$、$x_2$和对称轴的不等式，再结合题目给出的$x_1+x_2＞2$的恒成立条件，推导对称轴的取值范围，最后通过对称轴公式求解$b$的取值范围。
【解析】
解：二次函数$y=x^2+bx+c$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$。
∵点A在点B左侧，即$x_1＜x_2$，若$y_1＜y_2$，则点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，可得：
$x_2 - (-\frac{b}{2}) ＞ -\frac{b}{2} - x_1$
整理不等式得：$x_1 + x_2 ＞ -b$
题目要求当$x_1+x_2＞2$时，恒有$y_1＜y_2$，即所有满足$x_1+x_2＞2$的情况都符合$x_1+x_2 ＞ -b$，因此可得：
$-b ≤ 2$
解得：$b ≥ -2$
【答案】
$b≥-2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；不等式的应用
【点评】
本题考查二次函数的增减性与参数取值范围的结合，解题核心是将函数值的大小关系转化为点与对称轴的位置关系，再结合恒成立条件列不等式求解，是二次函数部分的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，其函数值大小与点到对称轴的距离相关：离对称轴越远，函数值越大。已知点A在点B左侧（$x_1＜x_2$），题目要求当$x_1+x_2＞2$时$y_1＜y_2$，说明此时点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离。我们可以先将$y_1＜y_2$的条件转化为关于$x_1$、$x_2$和对称轴的不等式，再结合题目给出的$x_1+x_2＞2$的恒成立条件，推导对称轴的取值范围，最后通过对称轴公式求解$b$的取值范围。
【解析】
解：二次函数$y=x^2+bx+c$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$。
∵点A在点B左侧，即$x_1＜x_2$，若$y_1＜y_2$，则点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，可得：
$x_2 - (-\frac{b}{2}) ＞ -\frac{b}{2} - x_1$
整理不等式得：$x_1 + x_2 ＞ -b$
题目要求当$x_1+x_2＞2$时，恒有$y_1＜y_2$，即所有满足$x_1+x_2＞2$的情况都符合$x_1+x_2 ＞ -b$，因此可得：
$-b ≤ 2$
解得：$b ≥ -2$
【答案】
$b≥-2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；不等式的应用
【点评】
本题考查二次函数的增减性与参数取值范围的结合，解题核心是将函数值的大小关系转化为点与对称轴的位置关系，再结合恒成立条件列不等式求解，是二次函数部分的典型题型。
【难度系数】
0.6
10. 已知二次函数$y=x^2+ax+b$.
（1）若该抛物线经过点（0，3），（2，3），求抛物线的对称轴；
（2）若对于任意$1≤ x≤5$，有$1≤ y≤5$恒成立，求$a$和$b$的值.
（1）若该抛物线经过点（0，3），（2，3），求抛物线的对称轴；
（2）若对于任意$1≤ x≤5$，有$1≤ y≤5$恒成立，求$a$和$b$的值.
答案
10. 解（1）因为抛物线经过点（0，3），（2，3），所以抛物线的对称轴为 $x=\frac{0+2}{2}=1$.
（2）由题意可得 $1+a+b≤5$①，$25+5a+b≤5$②，$9+3a+b≥1$③.
由①+②知 $3a+b≤-8$. 由③知 $3a+b≥-8$. 故①②③的等号均成立.
解得 $a=-6, b=10$.
（2）由题意可得 $1+a+b≤5$①，$25+5a+b≤5$②，$9+3a+b≥1$③.
由①+②知 $3a+b≤-8$. 由③知 $3a+b≥-8$. 故①②③的等号均成立.
解得 $a=-6, b=10$.
解析
【分析】
（1）已知的两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均数，直接计算即可得到结果。
（2）二次函数$y=x^2+ax+b$开口向上，在闭区间$1≤ x≤5$上，函数最大值一定出现在区间端点$x=1$或$x=5$处，最小值出现在区间内的对称轴位置。首先根据“$1≤ y≤5$恒成立”列出两个端点的函数值上界不等式，以及顶点处的函数值下界不等式，再通过不等式的运算得到“$3a+b≤-8$”和“$3a+b≥-8$”的夹逼关系，可知三个不等式的等号必须同时成立，联立方程即可求解$a$、$b$的值。
【解析】
（1）$\because$抛物线$y=x^2+ax+b$经过点$(0,3)$、$(2,3)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$这两个点关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
（2）$\because$二次函数$y=x^2+ax+b$的二次项系数为$1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，
在$1≤ x≤5$范围内，函数最大值在端点$x=1$、$x=5$处取得，最小值在对称轴处取得，
根据$1≤ y≤5$恒成立，可得：
$\begin{cases}1+a+b≤5&①\\25+5a+b≤5&②\\9+3a+b≥1&③\end{cases}$
将①+②得：$26+6a+2b≤10$，化简得$3a+b≤-8$，
由③移项得：$3a+b≥-8$，
因此$3a+b=-8$，即①②③的等号均成立，
联立$\begin{cases}1+a+b=5\\25+5a+b=5\end{cases}$，两式相减得$24+4a=0$，解得$a=-6$，
将$a=-6$代入$1+a+b=5$，得$1-6+b=5$，解得$b=10$。
验证：此时函数为$y=x^2-6x+10=(x-3)^2+1$，在$1≤x≤5$时，$x=3$取最小值$1$，$x=1$和$x=5$取最大值$5$，符合题意。
【答案】
（1）抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$；
（2）$\boldsymbol{a=-6}$，$\boldsymbol{b=10}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的区间最值；不等式的性质
【点评】
本题第一问属于基础题，直接利用二次函数对称点的性质即可快速求解；第二问需要结合开口方向判断区间内的最值位置，再利用不等式的夹逼思想确定等号成立条件，对二次函数性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
（1）已知的两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均数，直接计算即可得到结果。
（2）二次函数$y=x^2+ax+b$开口向上，在闭区间$1≤ x≤5$上，函数最大值一定出现在区间端点$x=1$或$x=5$处，最小值出现在区间内的对称轴位置。首先根据“$1≤ y≤5$恒成立”列出两个端点的函数值上界不等式，以及顶点处的函数值下界不等式，再通过不等式的运算得到“$3a+b≤-8$”和“$3a+b≥-8$”的夹逼关系，可知三个不等式的等号必须同时成立，联立方程即可求解$a$、$b$的值。
【解析】
（1）$\because$抛物线$y=x^2+ax+b$经过点$(0,3)$、$(2,3)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$这两个点关于抛物线的对称轴对称，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
（2）$\because$二次函数$y=x^2+ax+b$的二次项系数为$1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，
在$1≤ x≤5$范围内，函数最大值在端点$x=1$、$x=5$处取得，最小值在对称轴处取得，
根据$1≤ y≤5$恒成立，可得：
$\begin{cases}1+a+b≤5&①\\25+5a+b≤5&②\\9+3a+b≥1&③\end{cases}$
将①+②得：$26+6a+2b≤10$，化简得$3a+b≤-8$，
由③移项得：$3a+b≥-8$，
因此$3a+b=-8$，即①②③的等号均成立，
联立$\begin{cases}1+a+b=5\\25+5a+b=5\end{cases}$，两式相减得$24+4a=0$，解得$a=-6$，
将$a=-6$代入$1+a+b=5$，得$1-6+b=5$，解得$b=10$。
验证：此时函数为$y=x^2-6x+10=(x-3)^2+1$，在$1≤x≤5$时，$x=3$取最小值$1$，$x=1$和$x=5$取最大值$5$，符合题意。
【答案】
（1）抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$；
（2）$\boldsymbol{a=-6}$，$\boldsymbol{b=10}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的区间最值；不等式的性质
【点评】
本题第一问属于基础题，直接利用二次函数对称点的性质即可快速求解；第二问需要结合开口方向判断区间内的最值位置，再利用不等式的夹逼思想确定等号成立条件，对二次函数性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
