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例3 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（单位：m）关于水平距离x（单位：m）的函数解析式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}$（$x＞0$），则水流喷出的最大高度是（
A. 3 m B. 2.75 m
C. 2 m D. 1.75 m
解析 $y=-x^2+2x+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+\frac{11}{4}$，所以当$x=1$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{11}{4}$，即水流喷出的最大高度为2.75 m.
答案 B
——解题要点
解决二次函数在实际问题中的最值问题（如最大高度、最大距离等），一般按以下步骤：
（1）明确函数解析式. 从题目中获取二次函数的一般式，或根据题意建立二次函数关系式；
（2）转化为顶点式. 通过配方法将一般式转化为顶点式，确定抛物线的顶点坐标；
（3）判断开口方向. 若$a＜0$，则抛物线开口向下，函数有最大值；若$a＞0$，则抛物线开口向上，函数有最小值；
（4）确定最值并验证合理性. 确定最值及对应自变量后，应验证是否在自变量的实际取值范围内；若超出范围，则需根据函数的增减性，在边界处求最值.
B
）A. 3 m B. 2.75 m
C. 2 m D. 1.75 m
解析 $y=-x^2+2x+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+\frac{11}{4}$，所以当$x=1$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{11}{4}$，即水流喷出的最大高度为2.75 m.
答案 B
——解题要点
解决二次函数在实际问题中的最值问题（如最大高度、最大距离等），一般按以下步骤：
（1）明确函数解析式. 从题目中获取二次函数的一般式，或根据题意建立二次函数关系式；
（2）转化为顶点式. 通过配方法将一般式转化为顶点式，确定抛物线的顶点坐标；
（3）判断开口方向. 若$a＜0$，则抛物线开口向下，函数有最大值；若$a＞0$，则抛物线开口向上，函数有最小值；
（4）确定最值并验证合理性. 确定最值及对应自变量后，应验证是否在自变量的实际取值范围内；若超出范围，则需根据函数的增减性，在边界处求最值.
答案
B
解析
【分析】
要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数在自变量x＞0范围内的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点处的y值即为函数最大值。接下来我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，得到顶点的纵坐标，再验证顶点对应的横坐标是否在x＞0的范围内，即可求出最大高度。
【解析】
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
由此可得抛物线顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$，顶点横坐标x=1满足x＞0的取值要求。
因为二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，所以当x=1时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$，即水流喷出的最大高度为2.75m。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 配方法求顶点式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，核心考查二次函数最值的求解方法，解题的关键是将实际问题中的最大高度转化为抛物线顶点的纵坐标，同时要注意验证所求最值对应的自变量是否符合实际取值范围，掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数在自变量x＞0范围内的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点处的y值即为函数最大值。接下来我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，得到顶点的纵坐标，再验证顶点对应的横坐标是否在x＞0的范围内，即可求出最大高度。
【解析】
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
由此可得抛物线顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$，顶点横坐标x=1满足x＞0的取值要求。
因为二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，所以当x=1时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$，即水流喷出的最大高度为2.75m。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 配方法求顶点式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，核心考查二次函数最值的求解方法，解题的关键是将实际问题中的最大高度转化为抛物线顶点的纵坐标，同时要注意验证所求最值对应的自变量是否符合实际取值范围，掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20 m），其余用长为39 m的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1 m的小门（小门不用篱笆）。
（1）设菜地的宽AB为x m，则AD=
（2）当x为何值时，围成的菜地面积最大？
（1）设菜地的宽AB为x m，则AD=
(40-2x)
m（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，围成的菜地面积最大？
答案
1. 解（1）(40-2x)
（2）设围成的菜地面积为 S m²，依题意，得 S = AB × AD = x(40-2x) = -2x²+40x = -2(x²-20x+100)+200 = -2(x-10)²+200. 当 x = 10 时，40-2x = 20，符合题意. 因为-2＜0，所以当 x 为 10 时，围成的菜地面积最大.
（2）设围成的菜地面积为 S m²，依题意，得 S = AB × AD = x(40-2x) = -2x²+40x = -2(x²-20x+100)+200 = -2(x-10)²+200. 当 x = 10 时，40-2x = 20，符合题意. 因为-2＜0，所以当 x 为 10 时，围成的菜地面积最大.
解析
【分析】
（1）首先明确篱笆总长度加小门宽度就是两个宽AB与长AD的长度和：靠墙边AD不需要篱笆，BC边预留1m小门不用篱笆，因此篱笆总长+小门宽度=2AB+AD，代入AB=x即可推出AD的表达式，后续计算还要注意AD的长度不能超过墙的最大可用长度20m。
（2）矩形面积=长×宽，先写出面积关于x的二次函数表达式，再通过配方法将函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向、自变量的实际取值范围，即可求出面积最大时x的值，最后要验证此时AD的长度是否符合墙长的限制。
【解析】
（1）已知篱笆总长39m，小门宽1m，且靠墙边AD不用篱笆，因此三边总长度为$39+1=40\ \mathrm{m}$，即$2AB + AD = 40\ \mathrm{m}$。
因为$AB=x\ \mathrm{m}$，所以$AD=(40-2x)\ \mathrm{m}$。
同时需满足实际限制：$0＜ AD≤20$，即$0＜40-2x≤20$，解得$10≤ x＜20$。
（2）设围成的菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S &= AB × AD \\&= x(40-2x) \\&= -2x^2+40x \\&= -2(x^2-20x+100)+200 \\&= -2(x-10)^2+200\end{aligned}$
因为二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$x$的取值范围为$10≤ x＜20$，函数对称轴为$x=10$，因此当$x=10$时$S$取得最大值。
此时$AD=40-2×10=20\ \mathrm{m}$，符合墙的最大可用长度要求，成立。
【答案】
（1）$\boxed{40-2x}$
（2）当$\boxed{x=10}$时，围成的菜地面积最大
【知识点】
列代数式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数知识的应用，解题时要注意结合实际限制条件（如本题的墙长限制）确定自变量的取值范围，避免得到不符合实际的结果，配方法求二次函数最值是解决这类面积最值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确篱笆总长度加小门宽度就是两个宽AB与长AD的长度和：靠墙边AD不需要篱笆，BC边预留1m小门不用篱笆，因此篱笆总长+小门宽度=2AB+AD，代入AB=x即可推出AD的表达式，后续计算还要注意AD的长度不能超过墙的最大可用长度20m。
（2）矩形面积=长×宽，先写出面积关于x的二次函数表达式，再通过配方法将函数化为顶点式，结合二次函数的开口方向、自变量的实际取值范围，即可求出面积最大时x的值，最后要验证此时AD的长度是否符合墙长的限制。
【解析】
（1）已知篱笆总长39m，小门宽1m，且靠墙边AD不用篱笆，因此三边总长度为$39+1=40\ \mathrm{m}$，即$2AB + AD = 40\ \mathrm{m}$。
因为$AB=x\ \mathrm{m}$，所以$AD=(40-2x)\ \mathrm{m}$。
同时需满足实际限制：$0＜ AD≤20$，即$0＜40-2x≤20$，解得$10≤ x＜20$。
（2）设围成的菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S &= AB × AD \\&= x(40-2x) \\&= -2x^2+40x \\&= -2(x^2-20x+100)+200 \\&= -2(x-10)^2+200\end{aligned}$
因为二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$x$的取值范围为$10≤ x＜20$，函数对称轴为$x=10$，因此当$x=10$时$S$取得最大值。
此时$AD=40-2×10=20\ \mathrm{m}$，符合墙的最大可用长度要求，成立。
【答案】
（1）$\boxed{40-2x}$
（2）当$\boxed{x=10}$时，围成的菜地面积最大
【知识点】
列代数式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数知识的应用，解题时要注意结合实际限制条件（如本题的墙长限制）确定自变量的取值范围，避免得到不符合实际的结果，配方法求二次函数最值是解决这类面积最值问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
