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2. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为 60 m），其他的边用总长 70 m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1 m 的出口后，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车车棚后面距教学楼后墙 8 m 处，规划有机动车停车位）
（1）设自行车车棚面积为 S m²，车棚宽度 AB 为 x m，求 S 关于 x 的函数解析式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2）若车棚面积为 285 m²，求自行车车棚的长和宽；
（3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，则该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明.
（1）设自行车车棚面积为 S m²，车棚宽度 AB 为 x m，求 S 关于 x 的函数解析式，并求出自变量 x 的取值范围；
（2）若车棚面积为 285 m²，求自行车车棚的长和宽；
（3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，则该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明.
答案
2. 解（1）S = x(72-3x) = -3x²+72x.
由 $\begin{cases}1≤ x≤ 8,\\0＜72-3x≤ 60,\end{cases}$ 解得 4≤x≤8.
所以 S 关于 x 的函数解析式为 S = -3x²+72x（4≤x≤8）.
（2）由题意得 x(72-3x) = 285. 整理得 x²-24x+95=0.
解得 x₁=5，x₂=19（不符合题意，舍去）.
所以 72-3x = 72-3×5 = 57.
所以自行车车棚的长为 57 m，宽为 5 m.
（3）S = -3(x-12)²+432.
因为-3＜0，4≤x≤8，所以当 x=8 时，S 有最大值，最大值为-3×16+432=384.
所以自行车车棚面积最大可达到 384 m².
由 $\begin{cases}1≤ x≤ 8,\\0＜72-3x≤ 60,\end{cases}$ 解得 4≤x≤8.
所以 S 关于 x 的函数解析式为 S = -3x²+72x（4≤x≤8）.
（2）由题意得 x(72-3x) = 285. 整理得 x²-24x+95=0.
解得 x₁=5，x₂=19（不符合题意，舍去）.
所以 72-3x = 72-3×5 = 57.
所以自行车车棚的长为 57 m，宽为 5 m.
（3）S = -3(x-12)²+432.
因为-3＜0，4≤x≤8，所以当 x=8 时，S 有最大值，最大值为-3×16+432=384.
所以自行车车棚面积最大可达到 384 m².
解析
【分析】
（1）先明确各部分栅栏长度关系：车棚宽AB为x m，垂直于教学楼后墙的栅栏共3段，总长3x m；左右有2个1m出口，栅栏总长70m，因此平行于墙的长度为70+2-3x=72-3x m，结合矩形面积公式即可写出S的表达式。再根据两个实际限制条件：车棚宽度不超过后墙到停车位的距离8m、平行于墙的长度不超过可利用墙长60m且大于0，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
（2）将S=285代入第一问的函数解析式，得到一元二次方程，求解后舍去不在自变量取值范围内的根，再计算对应长和宽即可。
（3）将二次函数配方为顶点式，结合二次函数的增减性和自变量取值范围，找到使S最大的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
（1）已知车棚宽度AB=x m，垂直于墙的栅栏共3段，总长度为3x m，结合左右各1m的出口，可得平行于墙的长度为$70+1×2-3x=(72-3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式得：
$S = x(72-3x) = -3x^2+72x$
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases}x≤ 8\\0＜72-3x≤ 60\end{cases}$
解不等式组得$4≤ x≤ 8$，因此S关于x的函数解析式为$S=-3x^2+72x（4≤ x≤ 8）$。
（2）当车棚面积为285$\mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$x(72-3x)=285$
整理得$x^2-24x+95=0$，解得$x_1=5$，$x_2=19$。
∵$4≤ x≤ 8$，
∴$x_2=19$不符合题意舍去。
此时平行于墙的长度为$72-3×5=57\ \mathrm{m}$。
（3）将二次函数配方得：
$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$
∵$-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=12$，且$4≤ x≤8$在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当$x=8$时，S取得最大值，最大值为$-3×(8-12)^2+432=384\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）$S=-3x^2+72x（4≤ x≤ 8）$
（2）长为57 m，宽为5 m
（3）面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需结合自变量范围判断，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
（1）先明确各部分栅栏长度关系：车棚宽AB为x m，垂直于教学楼后墙的栅栏共3段，总长3x m；左右有2个1m出口，栅栏总长70m，因此平行于墙的长度为70+2-3x=72-3x m，结合矩形面积公式即可写出S的表达式。再根据两个实际限制条件：车棚宽度不超过后墙到停车位的距离8m、平行于墙的长度不超过可利用墙长60m且大于0，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
（2）将S=285代入第一问的函数解析式，得到一元二次方程，求解后舍去不在自变量取值范围内的根，再计算对应长和宽即可。
（3）将二次函数配方为顶点式，结合二次函数的增减性和自变量取值范围，找到使S最大的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
（1）已知车棚宽度AB=x m，垂直于墙的栅栏共3段，总长度为3x m，结合左右各1m的出口，可得平行于墙的长度为$70+1×2-3x=(72-3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式得：
$S = x(72-3x) = -3x^2+72x$
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases}x≤ 8\\0＜72-3x≤ 60\end{cases}$
解不等式组得$4≤ x≤ 8$，因此S关于x的函数解析式为$S=-3x^2+72x（4≤ x≤ 8）$。
（2）当车棚面积为285$\mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$x(72-3x)=285$
整理得$x^2-24x+95=0$，解得$x_1=5$，$x_2=19$。
∵$4≤ x≤ 8$，
∴$x_2=19$不符合题意舍去。
此时平行于墙的长度为$72-3×5=57\ \mathrm{m}$。
（3）将二次函数配方得：
$S=-3x^2+72x=-3(x-12)^2+432$
∵$-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=12$，且$4≤ x≤8$在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当$x=8$时，S取得最大值，最大值为$-3×(8-12)^2+432=384\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）$S=-3x^2+72x（4≤ x≤ 8）$
（2）长为57 m，宽为5 m
（3）面积最大可达到384 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需结合自变量范围判断，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
3. 某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD的长AD=50 m，宽AB=32 m，在矩形ABCD的四个角处各留一个相同的矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖。已知矩形花坛的长比宽多7 m，设每个矩形花坛的宽均为x m.
（1）用含x的式子表示：每个矩形花坛的长为
（2）若铺设地砖的面积为1 168 m²，求正方形景观空地的面积；
（3）若四个角的矩形花坛面积之和为S m²，则当面积S最大时，求出矩形花坛的长和宽.
（1）用含x的式子表示：每个矩形花坛的长为
(x+7)
m；铺设地砖的面积为(-20x²-28x+1 600)
m²；（2）若铺设地砖的面积为1 168 m²，求正方形景观空地的面积；
（3）若四个角的矩形花坛面积之和为S m²，则当面积S最大时，求出矩形花坛的长和宽.
答案
3. 解（1）(x+7) (-20x²-28x+1 600)
（2）根据题意得 -20x²-28x+1 600=1 168. 整理得 5x²+7x-108=0. 解得 x₁=4，$x_2=-\frac{27}{5}$（舍去），所以 x=4.
$4x·4x=16x^2=16×16=256\ (\mathrm{m}^2)$.
所以正方形景观空地的面积为 256 m².
（3）根据题意得 S = 4x(x+7) = 4(x²+7x) = 4(x+3.5)²-49. 因为 50-2(x+7)-(32-2x)=4＞0，所以 50-2(x+7)＞32-2x. 由题意得 $\begin{cases}x＞0,\\4x≤50-2(x+7).\end{cases}$
所以 0＜x≤6.
所以当 x=6 时，S 最大，此时 x+7=13.
所以矩形花坛的长为 13 m，宽为 6 m.
（2）根据题意得 -20x²-28x+1 600=1 168. 整理得 5x²+7x-108=0. 解得 x₁=4，$x_2=-\frac{27}{5}$（舍去），所以 x=4.
$4x·4x=16x^2=16×16=256\ (\mathrm{m}^2)$.
所以正方形景观空地的面积为 256 m².
（3）根据题意得 S = 4x(x+7) = 4(x²+7x) = 4(x+3.5)²-49. 因为 50-2(x+7)-(32-2x)=4＞0，所以 50-2(x+7)＞32-2x. 由题意得 $\begin{cases}x＞0,\\4x≤50-2(x+7).\end{cases}$
所以 0＜x≤6.
所以当 x=6 时，S 最大，此时 x+7=13.
所以矩形花坛的长为 13 m，宽为 6 m.
解析
【分析】
（1）根据“矩形花坛的长比宽多7 m，宽为x m”可直接得到花坛的长；铺设地砖的面积等于大矩形ABCD的面积减去4个矩形花坛的面积，再减去中心正方形景观的面积，分别表示出各部分面积后代入化简即可。
（2）将铺设地砖的面积1168代入（1）中得到的地砖面积表达式，得到关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，再根据正方形面积公式计算景观空地面积即可。
（3）先写出四个矩形花坛面积S关于x的函数表达式，化为顶点式，再结合实际场景确定x的取值范围，根据二次函数的增减性找到S最大时对应的x值，即可得到花坛的长和宽。
【解析】
（1）
∵矩形花坛的宽为x m，长比宽多7 m，
∴每个矩形花坛的长为$\boldsymbol{(x+7)}$m。
大矩形ABCD的面积：$50×32=1600\ \mathrm{m^2}$，
4个矩形花坛的总面积：$4· x(x+7)=4x^2+28x\ \mathrm{m^2}$，
中心正方形景观空地的边长为4x m，面积：$(4x)^2=16x^2\ \mathrm{m^2}$，
∴铺设地砖的面积$=1600-(4x^2+28x)-16x^2=\boldsymbol{-20x^2-28x+1600}\ \mathrm{m^2}$。
（2）由题意得：$-20x^2-28x+1600=1168$
整理得：$5x^2+7x-108=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-\frac{27}{5}$（宽度不能为负，舍去）
正方形景观空地的面积为：$(4x)^2=16x^2=16×4^2=256\ \mathrm{m^2}$
（3）四个矩形花坛的总面积：$S=4x(x+7)=4x^2+28x=4(x+3.5)^2-49$
确定x的取值范围：
首先$x＞0$，其次中心正方形的边长不能超过矩形水平方向剩余宽度：$4x≤50-2(x+7)$，解得$x≤6$；
验证竖直方向剩余宽度$32-2x$，$50-2(x+7)-(32-2x)=4＞0$，竖直方向余量更充足，故x的取值范围是$0＜x≤6$。
二次函数$S=4(x+3.5)^2-49$开口向上，对称轴为$x=-3.5$，在$0＜x≤6$范围内，S随x的增大而增大，
∴当$x=6$时，S取得最大值，此时矩形花坛的长为$x+7=6+7=13\ \mathrm{m}$，宽为$6\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(x+7)}$；$\boldsymbol{(-20x^2-28x+1600)}$
（2）$\boldsymbol{256\ \mathrm{m^2}}$
（3）长为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了代数式化简、一元二次方程求解及二次函数最值的应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致最值求解错误。
【难度系数】
0.65
（1）根据“矩形花坛的长比宽多7 m，宽为x m”可直接得到花坛的长；铺设地砖的面积等于大矩形ABCD的面积减去4个矩形花坛的面积，再减去中心正方形景观的面积，分别表示出各部分面积后代入化简即可。
（2）将铺设地砖的面积1168代入（1）中得到的地砖面积表达式，得到关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，再根据正方形面积公式计算景观空地面积即可。
（3）先写出四个矩形花坛面积S关于x的函数表达式，化为顶点式，再结合实际场景确定x的取值范围，根据二次函数的增减性找到S最大时对应的x值，即可得到花坛的长和宽。
【解析】
（1）
∵矩形花坛的宽为x m，长比宽多7 m，
∴每个矩形花坛的长为$\boldsymbol{(x+7)}$m。
大矩形ABCD的面积：$50×32=1600\ \mathrm{m^2}$，
4个矩形花坛的总面积：$4· x(x+7)=4x^2+28x\ \mathrm{m^2}$，
中心正方形景观空地的边长为4x m，面积：$(4x)^2=16x^2\ \mathrm{m^2}$，
∴铺设地砖的面积$=1600-(4x^2+28x)-16x^2=\boldsymbol{-20x^2-28x+1600}\ \mathrm{m^2}$。
（2）由题意得：$-20x^2-28x+1600=1168$
整理得：$5x^2+7x-108=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-\frac{27}{5}$（宽度不能为负，舍去）
正方形景观空地的面积为：$(4x)^2=16x^2=16×4^2=256\ \mathrm{m^2}$
（3）四个矩形花坛的总面积：$S=4x(x+7)=4x^2+28x=4(x+3.5)^2-49$
确定x的取值范围：
首先$x＞0$，其次中心正方形的边长不能超过矩形水平方向剩余宽度：$4x≤50-2(x+7)$，解得$x≤6$；
验证竖直方向剩余宽度$32-2x$，$50-2(x+7)-(32-2x)=4＞0$，竖直方向余量更充足，故x的取值范围是$0＜x≤6$。
二次函数$S=4(x+3.5)^2-49$开口向上，对称轴为$x=-3.5$，在$0＜x≤6$范围内，S随x的增大而增大，
∴当$x=6$时，S取得最大值，此时矩形花坛的长为$x+7=6+7=13\ \mathrm{m}$，宽为$6\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(x+7)}$；$\boldsymbol{(-20x^2-28x+1600)}$
（2）$\boldsymbol{256\ \mathrm{m^2}}$
（3）长为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了代数式化简、一元二次方程求解及二次函数最值的应用，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件导致最值求解错误。
【难度系数】
0.65
