登录
1.计算$(-\frac{1}{5})^{-1}$的结果是 （
A.$-5$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$5$
A
）A.$-5$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$5$
答案
A
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题时先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。首先确定底数$-\frac{1}{5}$不为0，符合法则适用条件，接下来将负指数转化为正指数的倒数，再进行计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），
可得：$(-\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{5})^{1}}=\frac{1}{-\frac{1}{5}}=-5$。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对负整数指数幂运算法则的掌握，计算时需注意底数的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查负整数指数幂的运算，解题时先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。首先确定底数$-\frac{1}{5}$不为0，符合法则适用条件，接下来将负指数转化为正指数的倒数，再进行计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），
可得：$(-\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{5})^{1}}=\frac{1}{-\frac{1}{5}}=-5$。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对负整数指数幂运算法则的掌握，计算时需注意底数的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. $3^{-2}$的相反数是 （
A.9
B.−9
C.$\frac{1}{9}$
D.−$\frac{1}{9}$
D
）A.9
B.−9
C.$\frac{1}{9}$
D.−$\frac{1}{9}$
答案
D
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步先根据负整数指数幂的运算规则求出$3^{-2}$的结果，第二步再根据相反数的定义求出该结果的相反数，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先计算$3^{-2}$的取值：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
再求$\frac{1}{9}$的相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此$\frac{1}{9}$的相反数为$-\frac{1}{9}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对负整数指数幂运算法则的掌握和相反数概念的理解，熟练掌握基础概念与运算规则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题需分两步进行：第一步先根据负整数指数幂的运算规则求出$3^{-2}$的结果，第二步再根据相反数的定义求出该结果的相反数，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先计算$3^{-2}$的取值：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
再求$\frac{1}{9}$的相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此$\frac{1}{9}$的相反数为$-\frac{1}{9}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对负整数指数幂运算法则的掌握和相反数概念的理解，熟练掌握基础概念与运算规则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3.若$(x-1)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≠1$
。答案
$x≠1$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂本质是对应正整数指数幂的倒数，因此负整数指数幂有意义的前提是底数不能为0，否则会出现分母为0的无意义情况。本题中负整数指数幂的底数是$x-1$，只需令底数不等于0，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可知负整数指数幂有意义的条件为底数不为0。
要使$(x-1)^{-1}$有意义，则底数满足：
$x-1≠0$
解得：$x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
1. 负整数指数幂有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察负整数指数幂的成立条件，解题关键是牢记负整数指数幂的底数不能为0，易错点是容易遗漏底数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂本质是对应正整数指数幂的倒数，因此负整数指数幂有意义的前提是底数不能为0，否则会出现分母为0的无意义情况。本题中负整数指数幂的底数是$x-1$，只需令底数不等于0，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可知负整数指数幂有意义的条件为底数不为0。
要使$(x-1)^{-1}$有意义，则底数满足：
$x-1≠0$
解得：$x≠1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
1. 负整数指数幂有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察负整数指数幂的成立条件，解题关键是牢记负整数指数幂的底数不能为0，易错点是容易遗漏底数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.9
4.计算:
(1)$(\frac{1}{4})^{-1} - (\frac{1}{3})^{-2} =$
(2)$(-2)^0 - 3^{-1} =$
(1)$(\frac{1}{4})^{-1} - (\frac{1}{3})^{-2} =$
$-5$
;(2)$(-2)^0 - 3^{-1} =$
$\frac{2}{3}$
.答案
(1)$-5$ (2)$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题思路如下：首先回忆相关运算规则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）。然后分别计算每道小题中每一项的结果，最后按照有理数的加减法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂的运算法则计算：
$(\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$，
因此原式$=4 - 9 = -5$。
(2) 分别根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算：
$(-2)^0=1$（底数$-2≠0$，零指数幂结果为1），
$3^{-1}=\frac{1}{3}$，
因此原式$=1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算 2. 零指数幂运算 3. 有理数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算规则的记忆与应用，解题时需注意不要混淆负指数幂的运算逻辑，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题思路如下：首先回忆相关运算规则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）。然后分别计算每道小题中每一项的结果，最后按照有理数的加减法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂的运算法则计算：
$(\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$，
因此原式$=4 - 9 = -5$。
(2) 分别根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算：
$(-2)^0=1$（底数$-2≠0$，零指数幂结果为1），
$3^{-1}=\frac{1}{3}$，
因此原式$=1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算 2. 零指数幂运算 3. 有理数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算规则的记忆与应用，解题时需注意不要混淆负指数幂的运算逻辑，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8
5. $-2^2 + (-\dfrac{1}{3})^{-2} - |-5| + (3 - π)^0$
答案
原式$=-4+9-5+1=1$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算与指数幂运算的综合题，解题时需先分别计算每个独立的运算项，再按照从左到右的顺序进行加减运算：①计算乘方项$-2^2$，注意底数是2不是-2，结果为负；②计算负整数指数幂，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$计算$(-\frac{1}{3})^{-2}$；③计算绝对值项，正数的绝对值是它本身，化简$|-5|$；④计算零指数幂，根据非零数的0次幂等于1，计算$(3-π)^0$；最后把所有项的结果合并即可。
【解析】
分别计算每一项的值：
1. 计算乘方：$-2^2 = -(2×2) = -4$
2. 计算负整数指数幂：$(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
3. 化简绝对值：$|-5| = 5$，因此$-|-5| = -5$
4. 计算零指数幂：因$3-π≠0$，故$(3-π)^0 = 1$
将各项结果代入原式按顺序加减：
原式$=-4 + 9 - 5 + 1 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 零指数幂运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对指数幂相关运算法则、绝对值性质的掌握程度，解题时要注意区分$-2^2$与$(-2)^2$的差异，避免符号运算错误，同时牢记负指数幂、零指数幂的适用前提是底数不为0。
【难度系数】
0.8
本题是有理数混合运算与指数幂运算的综合题，解题时需先分别计算每个独立的运算项，再按照从左到右的顺序进行加减运算：①计算乘方项$-2^2$，注意底数是2不是-2，结果为负；②计算负整数指数幂，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$计算$(-\frac{1}{3})^{-2}$；③计算绝对值项，正数的绝对值是它本身，化简$|-5|$；④计算零指数幂，根据非零数的0次幂等于1，计算$(3-π)^0$；最后把所有项的结果合并即可。
【解析】
分别计算每一项的值：
1. 计算乘方：$-2^2 = -(2×2) = -4$
2. 计算负整数指数幂：$(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
3. 化简绝对值：$|-5| = 5$，因此$-|-5| = -5$
4. 计算零指数幂：因$3-π≠0$，故$(3-π)^0 = 1$
将各项结果代入原式按顺序加减：
原式$=-4 + 9 - 5 + 1 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 零指数幂运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对指数幂相关运算法则、绝对值性质的掌握程度，解题时要注意区分$-2^2$与$(-2)^2$的差异，避免符号运算错误，同时牢记负指数幂、零指数幂的适用前提是底数不为0。
【难度系数】
0.8
6.计算$(a^{-1}b^{2})^{3}$的结果是（
A.$a^{3}b^{6}$
B.$a^{-3}b^{8}$
C.$-a^{3}b^{6}$
D.$\frac{b^{6}}{a^{3}}$
D
）A.$a^{3}b^{6}$
B.$a^{-3}b^{8}$
C.$-a^{3}b^{6}$
D.$\frac{b^{6}}{a^{3}}$
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察到待计算的式子是积的乘方形式，解题时可按三步思考：第一步，运用积的乘方运算法则，将括号内的两个因式分别乘方；第二步，运用幂的乘方运算法则，底数不变、指数相乘，分别计算两个因式乘方后的结果；第三步，根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数的倒数形式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^{-1}b^{2})^{3}=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，分别计算得：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
因此原式化简为$a^{-3}b^6$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$
所以最终结果为$\frac{1}{a^3} · b^6 = \frac{b^6}{a^3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的相关运算规则，解题的关键是准确区分积的乘方、幂的乘方的指数运算规律，熟练掌握负整数指数幂和正整数指数幂的转化方法，计算时注意不要混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先观察到待计算的式子是积的乘方形式，解题时可按三步思考：第一步，运用积的乘方运算法则，将括号内的两个因式分别乘方；第二步，运用幂的乘方运算法则，底数不变、指数相乘，分别计算两个因式乘方后的结果；第三步，根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数的倒数形式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^{-1}b^{2})^{3}=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，分别计算得：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
因此原式化简为$a^{-3}b^6$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$
所以最终结果为$\frac{1}{a^3} · b^6 = \frac{b^6}{a^3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的相关运算规则，解题的关键是准确区分积的乘方、幂的乘方的指数运算规律，熟练掌握负整数指数幂和正整数指数幂的转化方法，计算时注意不要混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
7.计算：
(1)$(3m^{2}n^{-2})^{-3}$；
(2)$6x^{-2}·(2x^{-2}y^{-1})^{-3}$。
(1)$(3m^{2}n^{-2})^{-3}$；
(2)$6x^{-2}·(2x^{-2}y^{-1})^{-3}$。
答案
(1)原式$=\frac{n^{6}}{27m^{6}}$
(2)原式$=\frac{3}{4}x^{4}y^{3}$
(2)原式$=\frac{3}{4}x^{4}y^{3}$
解析
【分析】
解决这类负整数指数幂的运算题，首先要明确幂的相关运算性质（积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法）对负整数指数幂同样适用，运算顺序遵循“先乘方，后乘除”的规则，最后将结果中的负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式（即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数）。
第(1)题先利用积的乘方性质，把括号内的每个因式分别乘方，再用幂的乘方计算各因式的指数，最后转换负指数即可；第(2)题先计算乘方部分，再计算单项式的乘法，最后整理负指数得到最简结果。
【解析】
(1) 利用积的乘方和幂的乘方法则展开计算：
原式$=3^{-3}· (m^2)^{-3}· (n^{-2})^{-3}$
$=3^{-3}· m^{2× (-3)}· n^{(-2)× (-3)}$
$=\frac{1}{3^3}· m^{-6}· n^6$
$=\frac{n^6}{27m^6}$
(2) 先计算乘方，再计算单项式乘法：
原式$=6x^{-2}· [2^{-3}· (x^{-2})^{-3}· (y^{-1})^{-3}]$
$=6x^{-2}· (\frac{1}{8}x^6 y^3)$
$=6× \frac{1}{8}· x^{-2+6}· y^3$
$=\frac{3}{4}x^4 y^3$
【答案】
(1)$\frac{n^{6}}{27m^{6}}$；(2)$\frac{3}{4}x^{4}y^{3}$
【知识点】
负整数指数幂运算、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是负整数指数幂的基础运算题，重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题时要注意运算顺序，同时准确计算指数的加减、乘除，避免出现符号或计算错误，最终结果需化为正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.8
解决这类负整数指数幂的运算题，首先要明确幂的相关运算性质（积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法）对负整数指数幂同样适用，运算顺序遵循“先乘方，后乘除”的规则，最后将结果中的负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式（即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数）。
第(1)题先利用积的乘方性质，把括号内的每个因式分别乘方，再用幂的乘方计算各因式的指数，最后转换负指数即可；第(2)题先计算乘方部分，再计算单项式的乘法，最后整理负指数得到最简结果。
【解析】
(1) 利用积的乘方和幂的乘方法则展开计算：
原式$=3^{-3}· (m^2)^{-3}· (n^{-2})^{-3}$
$=3^{-3}· m^{2× (-3)}· n^{(-2)× (-3)}$
$=\frac{1}{3^3}· m^{-6}· n^6$
$=\frac{n^6}{27m^6}$
(2) 先计算乘方，再计算单项式乘法：
原式$=6x^{-2}· [2^{-3}· (x^{-2})^{-3}· (y^{-1})^{-3}]$
$=6x^{-2}· (\frac{1}{8}x^6 y^3)$
$=6× \frac{1}{8}· x^{-2+6}· y^3$
$=\frac{3}{4}x^4 y^3$
【答案】
(1)$\frac{n^{6}}{27m^{6}}$；(2)$\frac{3}{4}x^{4}y^{3}$
【知识点】
负整数指数幂运算、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是负整数指数幂的基础运算题，重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题时要注意运算顺序，同时准确计算指数的加减、乘除，避免出现符号或计算错误，最终结果需化为正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.8
8.若$ a = 0.\dot{3}^2 $，$ b = -3^{-2} $，$ c = (-\dfrac{1}{3})^{-2} $，$ d = (-\dfrac{1}{3})^0 $，则（
A.$ a ＜ b ＜ c ＜ d $
B.$ b ＜ a ＜ d ＜ c $
C.$ a ＜ d ＜ c ＜ b $
D.$ c ＜ a ＜ d ＜ b $
B
）A.$ a ＜ b ＜ c ＜ d $
B.$ b ＜ a ＜ d ＜ c $
C.$ a ＜ d ＜ c ＜ b $
D.$ c ＜ a ＜ d ＜ b $
答案
B
解析
【分析】
要判断四个数的大小关系，首先需要根据循环小数的意义、负整数指数幂、零指数幂的运算规则，分别计算出a、b、c、d的具体数值，再按照实数大小比较的规则排序，最后匹配对应选项即可。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算a：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，因此$a=(0.\dot{3})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$；
2. 计算b：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$b=-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$；
3. 计算c：$c=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
4. 计算d：根据零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$，可得$d=(-\frac{1}{3})^0=1$。
将四个数从小到大排序：$-\frac{1}{9}＜\frac{1}{9}＜1＜9$，即$b＜a＜d＜c$。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算规则，计算时注意区分负号在指数内还是指数外，避免符号运算错误，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要判断四个数的大小关系，首先需要根据循环小数的意义、负整数指数幂、零指数幂的运算规则，分别计算出a、b、c、d的具体数值，再按照实数大小比较的规则排序，最后匹配对应选项即可。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算a：$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，因此$a=(0.\dot{3})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$；
2. 计算b：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$b=-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$；
3. 计算c：$c=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$；
4. 计算d：根据零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$，可得$d=(-\frac{1}{3})^0=1$。
将四个数从小到大排序：$-\frac{1}{9}＜\frac{1}{9}＜1＜9$，即$b＜a＜d＜c$。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是熟练掌握零指数、负整数指数幂的运算规则，计算时注意区分负号在指数内还是指数外，避免符号运算错误，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
9.定义一种新的运算:若$a≠0$,则有$a▲b=a^{-2}+ab+|-b|$.则$(-\frac{1}{2})▲2$的值是
$5$
.答案
$5$
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题思路如下：第一步先明确新运算中对应参数的取值，本题中$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$；第二步将$a$、$b$代入给定的运算公式$a▲b=a^{-2}+ab+|-b|$，再分别按照负整数指数幂、有理数乘法、绝对值的运算规则计算每一项，最后合并计算结果即可。
【解析】
根据新运算的定义，在$(-\frac{1}{2})▲2$中，$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})▲2&=(-\frac{1}{2})^{-2} + (-\frac{1}{2})×2 + |-2|\\&=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} + (-1) + 2\\&=4 -1 +2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，负整数指数幂，绝对值运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是准确理解新运算的规则，对应正确的参数代入计算，计算过程中注意负整数指数幂的运算规则和绝对值的非负性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算题，解题思路如下：第一步先明确新运算中对应参数的取值，本题中$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$；第二步将$a$、$b$代入给定的运算公式$a▲b=a^{-2}+ab+|-b|$，再分别按照负整数指数幂、有理数乘法、绝对值的运算规则计算每一项，最后合并计算结果即可。
【解析】
根据新运算的定义，在$(-\frac{1}{2})▲2$中，$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})▲2&=(-\frac{1}{2})^{-2} + (-\frac{1}{2})×2 + |-2|\\&=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} + (-1) + 2\\&=4 -1 +2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，负整数指数幂，绝对值运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是准确理解新运算的规则，对应正确的参数代入计算，计算过程中注意负整数指数幂的运算规则和绝对值的非负性，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
10.若$(x-4)^0 - (2x-6)^{-2}$有意义，则x的取值范围是
$x≠4$ 且 $x≠3$
答案
$x≠4$ 且 $x≠3$
解析
【分析】
要使这个代数式有意义，需要同时满足零指数幂和负整数指数幂的成立条件。我们学过：零指数幂$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$；负整数指数幂$a^{-p}$（$p$为正整数）本质是$\frac{1}{a^p}$，因此也要求底数$a≠0$。我们只需要分别令两个幂的底数不为0，再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$(x-4)^0 - (2x-6)^{-2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于零指数幂$(x-4)^0$，底数不能为0：
$x-4≠0$，解得$x≠4$；
2. 对于负整数指数幂$(2x-6)^{-2}$，底数不能为0：
$2x-6≠0$，移项得$2x≠6$，解得$x≠3$。
两个条件需同时成立，因此x的取值范围是$x≠4$且$x≠3$。
【答案】
$x≠4$ 且 $x≠3$
【知识点】
零指数幂的意义；负整数指数幂的意义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是牢记零指数幂、负整数指数幂的底数都不能为0，易错点是容易遗漏其中一个限制条件，导致取值范围不完整。
【难度系数】
0.8
要使这个代数式有意义，需要同时满足零指数幂和负整数指数幂的成立条件。我们学过：零指数幂$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$；负整数指数幂$a^{-p}$（$p$为正整数）本质是$\frac{1}{a^p}$，因此也要求底数$a≠0$。我们只需要分别令两个幂的底数不为0，再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$(x-4)^0 - (2x-6)^{-2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于零指数幂$(x-4)^0$，底数不能为0：
$x-4≠0$，解得$x≠4$；
2. 对于负整数指数幂$(2x-6)^{-2}$，底数不能为0：
$2x-6≠0$，移项得$2x≠6$，解得$x≠3$。
两个条件需同时成立，因此x的取值范围是$x≠4$且$x≠3$。
【答案】
$x≠4$ 且 $x≠3$
【知识点】
零指数幂的意义；负整数指数幂的意义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是牢记零指数幂、负整数指数幂的底数都不能为0，易错点是容易遗漏其中一个限制条件，导致取值范围不完整。
【难度系数】
0.8
11.(教材 P163 习题 T6 变式)计算：
(1)
；
(2)$(2m^2n^{-3})^{-2} · (-mn^2)^3 ÷ (m^{-3}n)^2$
(1)
；(2)$(2m^2n^{-3})^{-2} · (-mn^2)^3 ÷ (m^{-3}n)^2$
答案
(1)原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · 2^{-2}x^{6}y^{2}}{2^{-1}x^{2}y^{-3}} =2^{-2-(-1)}x^{-2+6-2}y^{-3+2-(-3)} =\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
(2)原式$=-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}$
(2)原式$=-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}$
解析
【分析】
本题是整数指数幂的混合运算题，解题遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方法则，计算带括号的乘方部分：把每个因式分别乘方，底数不变，指数相乘；②再分别对系数、同底数幂两类部分按同底数幂的乘除法则运算：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；③最后化简系数和指数，得到最简结果，计算时要关注符号和负指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算分子中的乘方项：
$(-2x^{-3}y^{-1})^{-2}=(-2)^{-2}· (x^{-3})^{-2}· (y^{-1})^{-2}=2^{-2}x^{6}y^{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · 2^{-2}x^{6}y^{2}}{2^{-1}x^{2}y^{-3}} \\&=2^{-2-(-1)}· x^{-2+6-2}· y^{-3+2-(-3)} \\&=2^{-1}x^{2}y^{2} \\&=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}\end{aligned}$
(2) 先分别计算所有乘方项：
$(2m^2n^{-3})^{-2}=2^{-2}· (m^2)^{-2}· (n^{-3})^{-2}=\dfrac{1}{4}m^{-4}n^{6}$
$(-mn^2)^3=(-1)^3· m^3· (n^2)^3=-m^3n^6$
$(m^{-3}n)^2=(m^{-3})^2· n^2=m^{-6}n^2$
代入原式按顺序计算乘除：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{4}m^{-4}n^{6} · (-m^3n^6) ÷ (m^{-6}n^2) \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-4+3}n^{6+6} ÷ (m^{-6}n^2) \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-1}n^{12} · m^{6}n^{-2} \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-1+6}n^{12-2} \\&=-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$；(2)$-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}$
【知识点】
负整数指数幂运算；整数指数幂乘除；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算时注意先处理乘方，再按顺序计算乘除，单独计算系数、分别合并同类底数的指数，同时要注意符号和负指数的运算，避免出现指数加减错误、符号遗漏等问题。
【难度系数】
0.7
本题是整数指数幂的混合运算题，解题遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序：①先利用积的乘方、幂的乘方法则，计算带括号的乘方部分：把每个因式分别乘方，底数不变，指数相乘；②再分别对系数、同底数幂两类部分按同底数幂的乘除法则运算：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；③最后化简系数和指数，得到最简结果，计算时要关注符号和负指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算分子中的乘方项：
$(-2x^{-3}y^{-1})^{-2}=(-2)^{-2}· (x^{-3})^{-2}· (y^{-1})^{-2}=2^{-2}x^{6}y^{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · 2^{-2}x^{6}y^{2}}{2^{-1}x^{2}y^{-3}} \\&=2^{-2-(-1)}· x^{-2+6-2}· y^{-3+2-(-3)} \\&=2^{-1}x^{2}y^{2} \\&=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}\end{aligned}$
(2) 先分别计算所有乘方项：
$(2m^2n^{-3})^{-2}=2^{-2}· (m^2)^{-2}· (n^{-3})^{-2}=\dfrac{1}{4}m^{-4}n^{6}$
$(-mn^2)^3=(-1)^3· m^3· (n^2)^3=-m^3n^6$
$(m^{-3}n)^2=(m^{-3})^2· n^2=m^{-6}n^2$
代入原式按顺序计算乘除：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{4}m^{-4}n^{6} · (-m^3n^6) ÷ (m^{-6}n^2) \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-4+3}n^{6+6} ÷ (m^{-6}n^2) \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-1}n^{12} · m^{6}n^{-2} \\&=-\dfrac{1}{4}m^{-1+6}n^{12-2} \\&=-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$；(2)$-\dfrac{1}{4}m^{5}n^{10}$
【知识点】
负整数指数幂运算；整数指数幂乘除；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算时注意先处理乘方，再按顺序计算乘除，单独计算系数、分别合并同类底数的指数，同时要注意符号和负指数的运算，避免出现指数加减错误、符号遗漏等问题。
【难度系数】
0.7
12.(创新思维)已知$m + m^{-1}=4$，求$m^2 + m^{-2}$，$m^4 + m^{-4}$的值。
答案
$\because m + m^{-1}=4, \therefore (m + m^{-1})^{2}=16, \therefore m^{2}+2m · m^{-1}+m^{-2}=16,$
$\therefore m^{2}+m^{-2}=14, \therefore (m^{2}+m^{-2})^{2}=14^{2},m^{4}+2+m^{-4}=196, \therefore m^{4}+m^{-4}=194$
$\therefore m^{2}+m^{-2}=14, \therefore (m^{2}+m^{-2})^{2}=14^{2},m^{4}+2+m^{-4}=196, \therefore m^{4}+m^{-4}=194$
解析
【分析】
本题已知m与m的-1次幂的和，求更高次幂的和，解题核心是利用完全平方公式的变形，结合负整数指数幂的运算性质$m·m^{-1}=1$，通过对已知等式连续平方，整体代入计算即可得到结果。首先回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知式子两边平方，就能消去交叉项得到$m^2+m^{-2}$的值，再对这个结果两边平方，同理可求出$m^4+m^{-4}$的值。
【解析】
解：$\because m + m^{-1}=4$，
将等式两边同时平方，得：
$(m + m^{-1})^{2}=4^2=16$，
根据完全平方公式展开左边：
$m^{2}+2m · m^{-1}+m^{-2}=16$，
由同底数幂的运算规则可得$m·m^{-1}=m^{1+(-1)}=m^0=1$，
$\therefore m^2 + 2 + m^{-2}=16$，
移项计算得：$m^{2}+m^{-2}=16-2=14$。
接下来求$m^4 + m^{-4}$，将$m^{2}+m^{-2}=14$两边同时平方，得：
$(m^{2}+m^{-2})^{2}=14^{2}=196$，
展开左边：
$m^4 + 2m^2·m^{-2} + m^{-4}=196$，
同理可得$m^2·m^{-2}=m^{2+(-2)}=m^0=1$，
$\therefore m^4 + 2 + m^{-4}=196$，
移项计算得：$m^4 + m^{-4}=196-2=194$。
【答案】
$m^2 + m^{-2}=14$，$m^4 + m^{-4}=194$
【知识点】
负整数指数幂运算；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是负整数指数幂与乘法公式的综合应用题型，解题的关键是抓住负指数幂与对应正指数幂相乘得1的特性，通过对已知式连续平方的变形，运用整体代入思想快速求解，是整式运算中十分典型的一类题型。
【难度系数】
0.7
本题已知m与m的-1次幂的和，求更高次幂的和，解题核心是利用完全平方公式的变形，结合负整数指数幂的运算性质$m·m^{-1}=1$，通过对已知等式连续平方，整体代入计算即可得到结果。首先回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知式子两边平方，就能消去交叉项得到$m^2+m^{-2}$的值，再对这个结果两边平方，同理可求出$m^4+m^{-4}$的值。
【解析】
解：$\because m + m^{-1}=4$，
将等式两边同时平方，得：
$(m + m^{-1})^{2}=4^2=16$，
根据完全平方公式展开左边：
$m^{2}+2m · m^{-1}+m^{-2}=16$，
由同底数幂的运算规则可得$m·m^{-1}=m^{1+(-1)}=m^0=1$，
$\therefore m^2 + 2 + m^{-2}=16$，
移项计算得：$m^{2}+m^{-2}=16-2=14$。
接下来求$m^4 + m^{-4}$，将$m^{2}+m^{-2}=14$两边同时平方，得：
$(m^{2}+m^{-2})^{2}=14^{2}=196$，
展开左边：
$m^4 + 2m^2·m^{-2} + m^{-4}=196$，
同理可得$m^2·m^{-2}=m^{2+(-2)}=m^0=1$，
$\therefore m^4 + 2 + m^{-4}=196$，
移项计算得：$m^4 + m^{-4}=196-2=194$。
【答案】
$m^2 + m^{-2}=14$，$m^4 + m^{-4}=194$
【知识点】
负整数指数幂运算；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是负整数指数幂与乘法公式的综合应用题型，解题的关键是抓住负指数幂与对应正指数幂相乘得1的特性，通过对已知式连续平方的变形，运用整体代入思想快速求解，是整式运算中十分典型的一类题型。
【难度系数】
0.7
