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1.化简：
(1)$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2};$
(2)$\dfrac{2a}{(a + 1)(a + 2)} ÷ (1 - \dfrac{a}{a + 1}) - \dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 4}.$
(1)$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2};$
(2)$\dfrac{2a}{(a + 1)(a + 2)} ÷ (1 - \dfrac{a}{a + 1}) - \dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 4}.$
答案
(1) 原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{a^3}{(a-b)^3} · (a+b)(a-b)=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
(2) 原式$=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)}×(a+1)-\dfrac{a}{a+2}=\dfrac{2a}{a+2}-\dfrac{a}{a+2}=\dfrac{a}{a+2}$
(2) 原式$=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)}×(a+1)-\dfrac{a}{a+2}=\dfrac{2a}{a+2}-\dfrac{a}{a+2}=\dfrac{a}{a+2}$
解析
【分析】
分式化简需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；同时要先对能因式分解的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后再约分，最后合并同类项得到最简结果。
(1) 先分别计算两个分式的乘方，注意处理$(b-a)$与$(a-b)$的符号关系，再将除法转化为乘法，对$a^2-b^2$因式分解后约分计算即可；
(2) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法约分，然后对后半部分的分式分子分母因式分解约分，最后计算同分母分式的减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，同时将除法转化为乘法、对平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · (\dfrac{-a}{-(a-b)})^3 · (a+b)(a-b)\\&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{a^3}{(a-b)^3} · (a+b)(a-b)\end{aligned}$
约去分子分母的公共因式：
$\mathrm{原式}=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
(2) 先通分计算括号内的减法，再对后半部分分子分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ (\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{a}{a+1}) - \dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{a}{a+2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法后约分，再计算同分母分式减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)}×(a+1)-\dfrac{a}{a+2}\\&=\dfrac{2a}{a+2}-\dfrac{a}{a+2}\\&=\dfrac{a}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^2+ab}{b^2}$（或$\dfrac{a(a+b)}{b^2}$）；(2) $\dfrac{a}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的化简计算，解题时要严格遵循运算顺序，注意处理互为相反数的因式的符号变换，因式分解是准确约分的前提，计算时要细心避免符号、约分错误。
【难度系数】
0.7
分式化简需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；同时要先对能因式分解的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后再约分，最后合并同类项得到最简结果。
(1) 先分别计算两个分式的乘方，注意处理$(b-a)$与$(a-b)$的符号关系，再将除法转化为乘法，对$a^2-b^2$因式分解后约分计算即可；
(2) 先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法约分，然后对后半部分的分式分子分母因式分解约分，最后计算同分母分式的减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，同时将除法转化为乘法、对平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · (\dfrac{-a}{-(a-b)})^3 · (a+b)(a-b)\\&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{a^3}{(a-b)^3} · (a+b)(a-b)\end{aligned}$
约去分子分母的公共因式：
$\mathrm{原式}=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
(2) 先通分计算括号内的减法，再对后半部分分子分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ (\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{a}{a+1}) - \dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)} ÷ \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{a}{a+2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法后约分，再计算同分母分式减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{2a}{(a+1)(a+2)}×(a+1)-\dfrac{a}{a+2}\\&=\dfrac{2a}{a+2}-\dfrac{a}{a+2}\\&=\dfrac{a}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^2+ab}{b^2}$（或$\dfrac{a(a+b)}{b^2}$）；(2) $\dfrac{a}{a+2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的化简计算，解题时要严格遵循运算顺序，注意处理互为相反数的因式的符号变换，因式分解是准确约分的前提，计算时要细心避免符号、约分错误。
【难度系数】
0.7
2.先化简: $(\frac{2a}{a+2} - 1) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a+2}$，再从$-2,0,2$中选择一个合适的数作为$a$的值代入计算.
答案
原式$=(\dfrac{2a}{a+2}-\dfrac{a+2}{a+2})÷\dfrac{(a-2)^2}{a+2}=\dfrac{a-2}{a+2}×\dfrac{a+2}{(a-2)^2}=\dfrac{1}{a-2}$，$\because a+2≠0$ 且 $a-2≠0$，$\therefore a≠±2$，$\therefore a=0$，当 $a=0$ 时，原式$=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题可按三步展开：第一步处理括号内的减法运算，将整数1转化为和前一分式同分母的$\frac{a+2}{a+2}$，转化为同分母分式减法，分子相减即可；第二步处理除法运算，先对除式的分子用完全平方公式因式分解，再将除法转化为乘以除式的倒数，约分后得到最简分式；第三步确定a的合法取值：要保证原式所有分母、除式均不为0，排除不符合要求的数值后，选择合适的a代入最简分式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2a}{a+2}-\frac{a+2}{a+2})÷\frac{(a-2)^2}{a+2}\\&=\frac{2a-(a+2)}{a+2}×\frac{a+2}{(a-2)^2}\\&=\frac{a-2}{a+2}×\frac{a+2}{(a-2)^2}\\&=\frac{1}{a-2}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足各分母不为0、除式不为0：$a+2≠0$且$a-2≠0$，即$a≠-2$且$a≠2$，因此只能选择$a=0$代入。
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{a-2}$，代入$a=0$时的值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规考题，核心考查分式运算的基本技能，易错点在于取值时容易忽略原式的分母限制，仅根据化简后的式子选值，导致出现分母为0的错误，做题时要注意先判断取值合法性再代入计算。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题可按三步展开：第一步处理括号内的减法运算，将整数1转化为和前一分式同分母的$\frac{a+2}{a+2}$，转化为同分母分式减法，分子相减即可；第二步处理除法运算，先对除式的分子用完全平方公式因式分解，再将除法转化为乘以除式的倒数，约分后得到最简分式；第三步确定a的合法取值：要保证原式所有分母、除式均不为0，排除不符合要求的数值后，选择合适的a代入最简分式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2a}{a+2}-\frac{a+2}{a+2})÷\frac{(a-2)^2}{a+2}\\&=\frac{2a-(a+2)}{a+2}×\frac{a+2}{(a-2)^2}\\&=\frac{a-2}{a+2}×\frac{a+2}{(a-2)^2}\\&=\frac{1}{a-2}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足各分母不为0、除式不为0：$a+2≠0$且$a-2≠0$，即$a≠-2$且$a≠2$，因此只能选择$a=0$代入。
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{a-2}$，代入$a=0$时的值为$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规考题，核心考查分式运算的基本技能，易错点在于取值时容易忽略原式的分母限制，仅根据化简后的式子选值，导致出现分母为0的错误，做题时要注意先判断取值合法性再代入计算。
【难度系数】
0.7
3. 先化简，再求值：$( \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} - \dfrac{a}{a - 2} ) ÷ \dfrac{a^2 + 2a}{a - 2}$，且$a$的值满足$a^2 + 2a - 8 = 0$。
答案
原式$=[\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}-\dfrac{a}{a-2}]·\dfrac{a-2}{a(a+2)}=(\dfrac{a+2}{a-2}-\dfrac{a}{a-2})·\dfrac{a-2}{a(a+2)}=\dfrac{2}{a-2}·\dfrac{a-2}{a(a+2)}=\dfrac{2}{a^2+2a}$，$\because a^2+2a-8=0$，$\therefore a^2+2a=8$，$\therefore$ 原式$=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按以下思路进行：①先处理运算形式：将除法运算转化为乘法运算，同时对各个分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分计算；②计算括号内的分式减法：括号内两个分式是同分母分式，直接合并后再与括号外的分式约分，得到最简结果；③代入求值：观察已知方程$a^2+2a-8=0$，可直接得到$a^2+2a=8$，恰好对应化简后式子的分母，因此采用整体代入的方法计算，无需解出$a$的值，既简便又能规避分式无意义的问题。
【解析】
解：先对原式中各部分因式分解，同时将除法转为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{a+2 - a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{2}{a(a+2)} = \frac{2}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由$a^2 + 2a - 8 = 0$，可得$a^2 + 2a = 8$，将其代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，运算时要注意先将除法转化为乘法，优先对分子分母因式分解再约分，灵活运用整体代入的思想，无需解出$a$的取值即可快速求出结果，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题可按以下思路进行：①先处理运算形式：将除法运算转化为乘法运算，同时对各个分式的分子、分母进行因式分解，便于后续约分计算；②计算括号内的分式减法：括号内两个分式是同分母分式，直接合并后再与括号外的分式约分，得到最简结果；③代入求值：观察已知方程$a^2+2a-8=0$，可直接得到$a^2+2a=8$，恰好对应化简后式子的分母，因此采用整体代入的方法计算，无需解出$a$的值，既简便又能规避分式无意义的问题。
【解析】
解：先对原式中各部分因式分解，同时将除法转为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{a+2 - a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\&=\frac{2}{a(a+2)} = \frac{2}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由$a^2 + 2a - 8 = 0$，可得$a^2 + 2a = 8$，将其代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，运算时要注意先将除法转化为乘法，优先对分子分母因式分解再约分，灵活运用整体代入的思想，无需解出$a$的取值即可快速求出结果，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
4.先化简,再求值:$\left ( \dfrac{x}{x-1}-1\right )÷ \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}-2x+1}$,其中$x$是不等式组$\begin{cases} x+1≥ 0, \\5-2x ＞ -1 \end{cases}$的整数解.
答案
原式$=(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1})÷\dfrac{x(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x-1}·\dfrac{x-1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}$。解不等式组$\begin{cases} x+1≥0, \\5-2x＞-1 \end{cases}$得$-1≤x＜3$，$\therefore$ 不等式组的整数解为$-1,0,1,2$，$\because x≠0,x+1≠0,x-1≠0$，$\therefore x≠0,-1,1$，$\therefore x=2$，当 $x=2$ 时，原式$=\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
本题需要先化简分式，再结合不等式组的整数解代入求值，解题思路分为三步：第一步处理分式运算，先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出x的取值范围，得到所有整数解；第三步结合分式有意义的条件（分母不为0），筛选出符合要求的x值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简分式：
$\begin{aligned}( \dfrac{x}{x-1}-1)÷ \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}-2x+1}&=( \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1})÷\dfrac{x(x^2-1)}{(x-1)^2}\\&=\dfrac{x-(x-1)}{x-1}÷\dfrac{x(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}\\&=\dfrac{1}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}\\&=\dfrac{1}{x(x+1)}\end{aligned}$
2. 解不等式组$\begin{cases} x+1≥ 0 \\5-2x ＞ -1 \end{cases}$：
解$x+1≥0$得$x≥-1$，解$5-2x＞-1$得$x＜3$，因此不等式组的解集为$-1≤ x＜3$，整数解为$-1,0,1,2$。
3. 筛选符合条件的x值：
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$、$x≠0$、$x+1≠0$，即$x≠1,0,-1$，因此符合要求的整数解为$x=2$。
4. 代入求值：将$x=2$代入$\dfrac{1}{x(x+1)}$得$\dfrac{1}{2×(2+1)}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式化简求值；一元一次不等式组的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式组的综合题，化简分式时要严格遵循分式运算顺序，解不等式组时要注意不等号方向的变化，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，直接代入所有整数解计算，因此筛选x的取值时要先考虑分式有意义的前提。
【难度系数】
0.7
本题需要先化简分式，再结合不等式组的整数解代入求值，解题思路分为三步：第一步处理分式运算，先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出x的取值范围，得到所有整数解；第三步结合分式有意义的条件（分母不为0），筛选出符合要求的x值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简分式：
$\begin{aligned}( \dfrac{x}{x-1}-1)÷ \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}-2x+1}&=( \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1})÷\dfrac{x(x^2-1)}{(x-1)^2}\\&=\dfrac{x-(x-1)}{x-1}÷\dfrac{x(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}\\&=\dfrac{1}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}\\&=\dfrac{1}{x(x+1)}\end{aligned}$
2. 解不等式组$\begin{cases} x+1≥ 0 \\5-2x ＞ -1 \end{cases}$：
解$x+1≥0$得$x≥-1$，解$5-2x＞-1$得$x＜3$，因此不等式组的解集为$-1≤ x＜3$，整数解为$-1,0,1,2$。
3. 筛选符合条件的x值：
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$、$x≠0$、$x+1≠0$，即$x≠1,0,-1$，因此符合要求的整数解为$x=2$。
4. 代入求值：将$x=2$代入$\dfrac{1}{x(x+1)}$得$\dfrac{1}{2×(2+1)}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式化简求值；一元一次不等式组的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与不等式组的综合题，化简分式时要严格遵循分式运算顺序，解不等式组时要注意不等号方向的变化，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，直接代入所有整数解计算，因此筛选x的取值时要先考虑分式有意义的前提。
【难度系数】
0.7
