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10.(教材 P155 习题 T3 变式)计算：
(1)$1 - ( \dfrac{1}{a+3} + \dfrac{6}{a^2 -9} ) ÷ \dfrac{a+3}{a^2 -6a +9}$；
(2)$\dfrac{a+1}{a} · ( \dfrac{2a}{a+1} )^2 - ( \dfrac{1}{a-1} - \dfrac{1}{a+1} )$。
(1)$1 - ( \dfrac{1}{a+3} + \dfrac{6}{a^2 -9} ) ÷ \dfrac{a+3}{a^2 -6a +9}$；
(2)$\dfrac{a+1}{a} · ( \dfrac{2a}{a+1} )^2 - ( \dfrac{1}{a-1} - \dfrac{1}{a+1} )$。
答案
10.(1)原式=$\frac{6}{a+3}$
(2)原式=$\frac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$
(2)原式=$\frac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$
解析
【分析】
分式混合运算遵循和整式一致的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的结果，计算过程中可借助因式分解对分式进行约分、通分化简。
(1) 解题思路：首先对分母$a^2-9$、$a^2-6a+9$因式分解，先通分计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约分后计算减法即可得到结果；
(2) 解题思路：先计算乘方运算，再计算分式乘法，随后通分计算括号内的分式减法，最后对两项结果通分合并即可。
【解析】
(1) 第一步，因式分解分母，计算括号内加法：
∵ $a^2-9=(a+3)(a-3)$，
∴ 括号内通分可得：$\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{6}{a^2-9}=\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\dfrac{6}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{a-3+6}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{a+3}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{1}{a-3}$；
第二步，将除法转化为乘法，约分计算：
∵ $a^2-6a+9=(a-3)^2$，
∴ 原式=$1 - \dfrac{1}{a-3} ÷ \dfrac{a+3}{(a-3)^2}=1 - \dfrac{1}{a-3} × \dfrac{(a-3)^2}{a+3}=1 - \dfrac{a-3}{a+3}$；
第三步，通分计算减法：
原式=$\dfrac{a+3}{a+3} - \dfrac{a-3}{a+3}=\dfrac{(a+3)-(a-3)}{a+3}=\dfrac{6}{a+3}$。
(2) 第一步，计算乘方运算：
$( \dfrac{2a}{a+1} )^2=\dfrac{4a^2}{(a+1)^2}$；
第二步，计算分式乘法：
$\dfrac{a+1}{a} × \dfrac{4a^2}{(a+1)^2}=\dfrac{4a}{a+1}$；
第三步，计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{2}{a^2-1}$；
第四步，通分合并结果：
原式=$\dfrac{4a}{a+1} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a^2-4a}{a^2-1} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$。
【答案】
(1)$\dfrac{6}{a+3}$；(2)$\dfrac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是严格遵循运算顺序计算，熟练运用平方差公式、完全平方公式做因式分解，能帮助快速完成约分、通分，计算过程中要注意符号变化，避免因通分、约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循和整式一致的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的结果，计算过程中可借助因式分解对分式进行约分、通分化简。
(1) 解题思路：首先对分母$a^2-9$、$a^2-6a+9$因式分解，先通分计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约分后计算减法即可得到结果；
(2) 解题思路：先计算乘方运算，再计算分式乘法，随后通分计算括号内的分式减法，最后对两项结果通分合并即可。
【解析】
(1) 第一步，因式分解分母，计算括号内加法：
∵ $a^2-9=(a+3)(a-3)$，
∴ 括号内通分可得：$\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{6}{a^2-9}=\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\dfrac{6}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{a-3+6}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{a+3}{(a+3)(a-3)}=\dfrac{1}{a-3}$；
第二步，将除法转化为乘法，约分计算：
∵ $a^2-6a+9=(a-3)^2$，
∴ 原式=$1 - \dfrac{1}{a-3} ÷ \dfrac{a+3}{(a-3)^2}=1 - \dfrac{1}{a-3} × \dfrac{(a-3)^2}{a+3}=1 - \dfrac{a-3}{a+3}$；
第三步，通分计算减法：
原式=$\dfrac{a+3}{a+3} - \dfrac{a-3}{a+3}=\dfrac{(a+3)-(a-3)}{a+3}=\dfrac{6}{a+3}$。
(2) 第一步，计算乘方运算：
$( \dfrac{2a}{a+1} )^2=\dfrac{4a^2}{(a+1)^2}$；
第二步，计算分式乘法：
$\dfrac{a+1}{a} × \dfrac{4a^2}{(a+1)^2}=\dfrac{4a}{a+1}$；
第三步，计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{2}{a^2-1}$；
第四步，通分合并结果：
原式=$\dfrac{4a}{a+1} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a^2-4a}{a^2-1} - \dfrac{2}{a^2-1}=\dfrac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$。
【答案】
(1)$\dfrac{6}{a+3}$；(2)$\dfrac{4a^2-4a-2}{a^2-1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心是严格遵循运算顺序计算，熟练运用平方差公式、完全平方公式做因式分解，能帮助快速完成约分、通分，计算过程中要注意符号变化，避免因通分、约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
11.(教材P154例4变式)从火车上下来的两个旅客,他们沿着同一方向到同一地点去,甲旅客一半路程以速度$a$ km/h行走,另一半路程以速度$b$ km/h行走;乙旅客一半的时间以速度$a$ km/h行走,另一半时间以速度$b$ km/h行走,问哪个旅客先到达目的地？($a≠b$)
答案
11.设甲、乙两人走的路程都为$s$ km，甲用的时间为$t_甲$ h，乙用的时间为$t_乙$ h，则$t_甲=\frac{\frac{s}{2}}{a}+\frac{\frac{s}{2}}{b}=\frac{(a+b)s}{2ab}$，$\frac{t_乙}{2}×a+\frac{t_乙}{2}×b=s$，$\therefore t_乙=\frac{2s}{a+b}$，$\because t_甲 - t_乙 = \frac{(a+b)s}{2ab} - \frac{2s}{a+b} = \frac{(a+b)^2s-4abs}{2ab(a+b)} = \frac{(a-b)^2s}{2ab(a+b)}＞0$，$\therefore t_甲＞t_乙$，$\therefore$乙旅客先到达目的地
解析
【分析】
要判断哪位旅客先到达目的地，本质是比较两人走完全程的用时长短，用时更短的旅客先到。解题思路如下：首先设总路程为s，分别根据甲、乙的行走方式，用含s、a、b的代数式表示出两人走完全程的时间$t_甲$、$t_乙$；再用作差法计算$t_甲 - t_乙$，通过分式通分、结合完全平方公式化简差值；最后根据路程、速度均为正数，且$a≠b$的条件判断差值的正负，即可得到$t_甲$和$t_乙$的大小关系，得出结论。
【解析】
设甲、乙两人走的总路程都为$s$ km，甲全程用时为$t_甲$ h，乙全程用时为$t_乙$ h。
1. 计算甲的用时：
甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，因此：
$t_甲=\frac{\frac{s}{2}}{a}+\frac{\frac{s}{2}}{b}=\frac{s}{2a}+\frac{s}{2b}=\frac{(a+b)s}{2ab}$
2. 计算乙的用时：
乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，总路程等于两段路程之和，因此：
$\frac{t_乙}{2}×a+\frac{t_乙}{2}×b=s$
提取公因式得：$\frac{t_乙}{2}(a+b)=s$
解得：$t_乙=\frac{2s}{a+b}$
3. 比较$t_甲$和$t_乙$的大小：
作差得：
$t_甲 - t_乙 = \frac{(a+b)s}{2ab} - \frac{2s}{a+b}$
通分，公分母为$2ab(a+b)$：
$=\frac{(a+b)^2s-4abs}{2ab(a+b)}$
分子整理得：
$=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
由题意可知，$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2ab(a+b)＞0$，可得：
$\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}＞0$，即$t_甲 - t_乙＞0$，$t_甲＞t_乙$
【答案】
乙旅客先到达目的地
【知识点】
行程问题基本公式，分式的混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题是分式应用的典型题型，将行程问题与分式运算、大小比较结合，解题关键是准确列出两人用时的代数式，利用通分、完全平方公式化简差值，结合隐含的正数条件和题干给出的$a≠b$判断差值正负，进而得出结论。
【难度系数】
0.6
要判断哪位旅客先到达目的地，本质是比较两人走完全程的用时长短，用时更短的旅客先到。解题思路如下：首先设总路程为s，分别根据甲、乙的行走方式，用含s、a、b的代数式表示出两人走完全程的时间$t_甲$、$t_乙$；再用作差法计算$t_甲 - t_乙$，通过分式通分、结合完全平方公式化简差值；最后根据路程、速度均为正数，且$a≠b$的条件判断差值的正负，即可得到$t_甲$和$t_乙$的大小关系，得出结论。
【解析】
设甲、乙两人走的总路程都为$s$ km，甲全程用时为$t_甲$ h，乙全程用时为$t_乙$ h。
1. 计算甲的用时：
甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，因此：
$t_甲=\frac{\frac{s}{2}}{a}+\frac{\frac{s}{2}}{b}=\frac{s}{2a}+\frac{s}{2b}=\frac{(a+b)s}{2ab}$
2. 计算乙的用时：
乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，总路程等于两段路程之和，因此：
$\frac{t_乙}{2}×a+\frac{t_乙}{2}×b=s$
提取公因式得：$\frac{t_乙}{2}(a+b)=s$
解得：$t_乙=\frac{2s}{a+b}$
3. 比较$t_甲$和$t_乙$的大小：
作差得：
$t_甲 - t_乙 = \frac{(a+b)s}{2ab} - \frac{2s}{a+b}$
通分，公分母为$2ab(a+b)$：
$=\frac{(a+b)^2s-4abs}{2ab(a+b)}$
分子整理得：
$=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
由题意可知，$s＞0$，$a＞0$，$b＞0$，且$a≠b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2ab(a+b)＞0$，可得：
$\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}＞0$，即$t_甲 - t_乙＞0$，$t_甲＞t_乙$
【答案】
乙旅客先到达目的地
【知识点】
行程问题基本公式，分式的混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题是分式应用的典型题型，将行程问题与分式运算、大小比较结合，解题关键是准确列出两人用时的代数式，利用通分、完全平方公式化简差值，结合隐含的正数条件和题干给出的$a≠b$判断差值正负，进而得出结论。
【难度系数】
0.6
例 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，求代数式$\frac{2x - 4xy - 2y}{x - 3xy - y}$的值。
答案
例 $\because \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，$\therefore y-x=5xy$，即$x-y=-5xy$。$\therefore \frac{2x-4xy-2y}{x-3xy-y} = \frac{2(x-y)-4xy}{(x-y)-3xy} = \frac{2×(-5xy)-4xy}{-5xy-3xy} = \frac{7}{4}$
解析
【分析】
本题属于分式条件求值题，直接求解x、y的值无法实现，因此考虑整体代入法：首先对已知的分式等式进行通分变形，得到x-y与xy的数量关系；再将待求代数式的分子、分母整理为含x-y和xy的形式，最后将x-y用含xy的式子整体代入，约分化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，
对左边通分得$\frac{y-x}{xy}=5$，
两边同乘$xy$（由原式可知$x≠0,y≠0$，故$xy≠0$），得$y-x=5xy$，即$x-y=-5xy$。
将待求代数式变形：
$\frac{2x - 4xy - 2y}{x - 3xy - y} = \frac{2(x-y)-4xy}{(x-y)-3xy}$
把$x-y=-5xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-5xy)-4xy}{-5xy-3xy} = \frac{-10xy -4xy}{-8xy} = \frac{-14xy}{-8xy} = \frac{7}{4}$
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.整体代入求值
3.分式的混合运算
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心考查整体思想的运用，无需计算单个未知数的取值，通过对已知条件和待求式的变形，建立二者的关联即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
本题属于分式条件求值题，直接求解x、y的值无法实现，因此考虑整体代入法：首先对已知的分式等式进行通分变形，得到x-y与xy的数量关系；再将待求代数式的分子、分母整理为含x-y和xy的形式，最后将x-y用含xy的式子整体代入，约分化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，
对左边通分得$\frac{y-x}{xy}=5$，
两边同乘$xy$（由原式可知$x≠0,y≠0$，故$xy≠0$），得$y-x=5xy$，即$x-y=-5xy$。
将待求代数式变形：
$\frac{2x - 4xy - 2y}{x - 3xy - y} = \frac{2(x-y)-4xy}{(x-y)-3xy}$
把$x-y=-5xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-5xy)-4xy}{-5xy-3xy} = \frac{-10xy -4xy}{-8xy} = \frac{-14xy}{-8xy} = \frac{7}{4}$
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.整体代入求值
3.分式的混合运算
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心考查整体思想的运用，无需计算单个未知数的取值，通过对已知条件和待求式的变形，建立二者的关联即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
1.(2024·南京校级模拟)已知$x^2 + 2x -1=0$，
则$\frac{x^2 + 3x}{x + 1}$的值为
则$\frac{x^2 + 3x}{x + 1}$的值为
$1$
。答案
1.1
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和所求分式的结构，首先从已知等式推导得到$x^2+2x=1$，再将所求分式的分子拆分，把$x^2+2x$作为整体代入实现降次，最后验证分母不为0后约分即可得到结果，不需要求解x的具体值，能简化计算。
【解析】
解：由已知$x^2 + 2x -1=0$，可得$x^2 + 2x = 1$。
先验证分母有意义：若$x+1=0$，则$x=-1$，代入原方程左边得$(-1)^2+2×(-1)-1=-2≠0$，因此$x≠-1$，即$x+1≠0$。
对所求分式变形：
$\frac{x^2 + 3x}{x + 1}=\frac{(x^2+2x)+x}{x+1}$
将$x^2 + 2x = 1$代入上式：
原式$=\frac{1+x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，代数式变形
【点评】
本题是分式求值的常见题型，核心技巧是利用整体代入降次，避免求解一元二次方程的复杂运算，解题时要注意先验证分式分母不为0，保证约分的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式和所求分式的结构，首先从已知等式推导得到$x^2+2x=1$，再将所求分式的分子拆分，把$x^2+2x$作为整体代入实现降次，最后验证分母不为0后约分即可得到结果，不需要求解x的具体值，能简化计算。
【解析】
解：由已知$x^2 + 2x -1=0$，可得$x^2 + 2x = 1$。
先验证分母有意义：若$x+1=0$，则$x=-1$，代入原方程左边得$(-1)^2+2×(-1)-1=-2≠0$，因此$x≠-1$，即$x+1≠0$。
对所求分式变形：
$\frac{x^2 + 3x}{x + 1}=\frac{(x^2+2x)+x}{x+1}$
将$x^2 + 2x = 1$代入上式：
原式$=\frac{1+x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值，整体代入法，代数式变形
【点评】
本题是分式求值的常见题型，核心技巧是利用整体代入降次，避免求解一元二次方程的复杂运算，解题时要注意先验证分式分母不为0，保证约分的合理性。
【难度系数】
0.7
2.(2024·金牛区期中)已知$3x + y = 10xy$，$xy≠0$.则代数式$\frac{6x + xy + 2y}{3x - 4xy + y}$的值为
$\frac{7}{2}$
.答案
2.$\frac{7}{2}$
解析
【分析】
观察已知等式和待求代数式的结构，可发现待求式的分子中$6x+2y$可变形为$2(3x+y)$，分母中也含有$3x+y$，已知条件恰好给出了$3x+y$与$xy$的等量关系，因此可采用整体代入的方法，将$3x+y$替换为$10xy$，代入后利用$xy≠0$的条件约分化简即可得到结果，无需单独求解$x$、$y$的值。
【解析】
解：已知$3x + y = 10xy$，且$xy ≠ 0$。
先对待求代数式的分子、分母进行变形，再整体代入：
分子：$6x + xy + 2y = 2(3x + y) + xy$，
将$3x + y = 10xy$代入分子，得：$2×10xy + xy = 21xy$；
分母：$3x - 4xy + y = (3x + y) - 4xy$，
将$3x + y = 10xy$代入分母，得：$10xy - 4xy = 6xy$；
因此原式$=\frac{21xy}{6xy}$，
因为$xy ≠ 0$，根据分式的基本性质，分子分母同时约去$xy$，化简得$\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
整体代入法，分式约分，代数式化简
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题的核心是找准已知条件和待求式之间的关联，利用整体代入的思路简化计算，避免了单独求解未知数的复杂运算，考察了学生的观察能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
观察已知等式和待求代数式的结构，可发现待求式的分子中$6x+2y$可变形为$2(3x+y)$，分母中也含有$3x+y$，已知条件恰好给出了$3x+y$与$xy$的等量关系，因此可采用整体代入的方法，将$3x+y$替换为$10xy$，代入后利用$xy≠0$的条件约分化简即可得到结果，无需单独求解$x$、$y$的值。
【解析】
解：已知$3x + y = 10xy$，且$xy ≠ 0$。
先对待求代数式的分子、分母进行变形，再整体代入：
分子：$6x + xy + 2y = 2(3x + y) + xy$，
将$3x + y = 10xy$代入分子，得：$2×10xy + xy = 21xy$；
分母：$3x - 4xy + y = (3x + y) - 4xy$，
将$3x + y = 10xy$代入分母，得：$10xy - 4xy = 6xy$；
因此原式$=\frac{21xy}{6xy}$，
因为$xy ≠ 0$，根据分式的基本性质，分子分母同时约去$xy$，化简得$\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
整体代入法，分式约分，代数式化简
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，解题的核心是找准已知条件和待求式之间的关联，利用整体代入的思路简化计算，避免了单独求解未知数的复杂运算，考察了学生的观察能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
3.(2024·石景山月考)已知$\frac{xy}{x-y}=\frac{1}{3}$，则$\frac{2x - 3xy - 2y}{x - y - 2xy}$的值为
$3$
。答案
3.3
解析
【分析】
观察已知等式和待求分式的结构可发现，待求式的分子、分母都包含$x-y$和$xy$两类代数式，因此不需要单独求解$x$和$y$的具体值。首先从已知条件推导$x-y$和$xy$的倍数关系，再将其作为整体代入待求分式，化简后即可得到结果。
【解析】
解：$\because \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{3}$（由分式有意义可知$x≠ y$，$xy≠0$）
$\therefore$ 交叉相乘得：$3xy = x - y$，即$x-y=3xy$。
将$x-y=3xy$代入待求分式：
$\begin{aligned}\frac{2x - 3xy - 2y}{x - y - 2xy}&=\frac{2(x-y)-3xy}{(x-y)-2xy}\\&=\frac{2×3xy - 3xy}{3xy - 2xy}\\&=\frac{6xy-3xy}{xy}\\&=\frac{3xy}{xy}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，分式的基本性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用整体思想，通过已知条件得到两个代数式的数量关系后直接代入化简，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对整体思想的掌握和分式化简的运算能力。
【难度系数】
0.7
观察已知等式和待求分式的结构可发现，待求式的分子、分母都包含$x-y$和$xy$两类代数式，因此不需要单独求解$x$和$y$的具体值。首先从已知条件推导$x-y$和$xy$的倍数关系，再将其作为整体代入待求分式，化简后即可得到结果。
【解析】
解：$\because \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{3}$（由分式有意义可知$x≠ y$，$xy≠0$）
$\therefore$ 交叉相乘得：$3xy = x - y$，即$x-y=3xy$。
将$x-y=3xy$代入待求分式：
$\begin{aligned}\frac{2x - 3xy - 2y}{x - y - 2xy}&=\frac{2(x-y)-3xy}{(x-y)-2xy}\\&=\frac{2×3xy - 3xy}{3xy - 2xy}\\&=\frac{6xy-3xy}{xy}\\&=\frac{3xy}{xy}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，分式的基本性质
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用整体思想，通过已知条件得到两个代数式的数量关系后直接代入化简，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对整体思想的掌握和分式化简的运算能力。
【难度系数】
0.7
4.已知$m^2 -4m -1=0$,则$2m^2 -4m + \frac{1}{m^2}$的值为
$19$
.答案
4.19
解析
【分析】
首先观察已知等式与所求代数式的结构特征，第一步先根据已知等式得到$m^2-4m=1$，同时判断$m≠0$，将已知等式两边同除以$m$得到$m - \frac{1}{m}=4$；第二步将所求代数式中的$-4m$用含$m^2$的式子替换，把原式转化为含$m^2 + \frac{1}{m^2}$的形式；第三步利用完全平方公式的变形求出$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值，最后代入计算即可得到结果，无需直接求解$m$的值，简化计算。
【解析】
解：已知$m^2 -4m -1=0$，
1. 若$m=0$，代入等式左边得$-1≠0$，故$m≠0$，将等式两边同时除以$m$，得：
$m - 4 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m - \frac{1}{m}=4$。
2. 对已知等式移项得$m^2 -4m=1$，即$4m=m^2 -1$。
3. 将$4m=m^2 -1$代入所求代数式：
$2m^2 -4m + \frac{1}{m^2}=2m^2 - (m^2 -1) + \frac{1}{m^2}=m^2 + \frac{1}{m^2} +1$。
4. 根据完全平方公式变形：$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2$，将$m - \frac{1}{m}=4$代入得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=4^2 +2=18$。
5. 代入上式得原式$=18 +1=19$。
【答案】
19
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于代数式求值的典型题型，解题核心是灵活对已知条件和目标式进行变形，结合完全平方公式的变形应用，可规避直接求$m$值的复杂运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式与所求代数式的结构特征，第一步先根据已知等式得到$m^2-4m=1$，同时判断$m≠0$，将已知等式两边同除以$m$得到$m - \frac{1}{m}=4$；第二步将所求代数式中的$-4m$用含$m^2$的式子替换，把原式转化为含$m^2 + \frac{1}{m^2}$的形式；第三步利用完全平方公式的变形求出$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值，最后代入计算即可得到结果，无需直接求解$m$的值，简化计算。
【解析】
解：已知$m^2 -4m -1=0$，
1. 若$m=0$，代入等式左边得$-1≠0$，故$m≠0$，将等式两边同时除以$m$，得：
$m - 4 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m - \frac{1}{m}=4$。
2. 对已知等式移项得$m^2 -4m=1$，即$4m=m^2 -1$。
3. 将$4m=m^2 -1$代入所求代数式：
$2m^2 -4m + \frac{1}{m^2}=2m^2 - (m^2 -1) + \frac{1}{m^2}=m^2 + \frac{1}{m^2} +1$。
4. 根据完全平方公式变形：$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2$，将$m - \frac{1}{m}=4$代入得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=4^2 +2=18$。
5. 代入上式得原式$=18 +1=19$。
【答案】
19
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于代数式求值的典型题型，解题核心是灵活对已知条件和目标式进行变形，结合完全平方公式的变形应用，可规避直接求$m$值的复杂运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
