1.下表列出了二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的其中一个解的取值范围是（）


A.$1＜x＜2$
B.$2＜x＜3$
C.$-3＜x＜-2$
D.$0＜x＜1$

1.D

【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的取值范围，首先要明确方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻的自变量对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个解落在这个区间内。接下来我们只需要观察表格中相邻$x$对应的$y$值的正负变化，找到异号的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
二次函数的图象是连续的曲线，若区间两端点的函数值符号相反，则区间内必然存在使$y=0$的点，也就是方程的一个根位于该区间内。
观察表格中的数据：
当$x=0$时，$y=-1＜0$；
当$x=1$时，$y=3＞0$。
因此在$0＜x＜1$的范围内，一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的其中一个解的取值范围是$0＜x＜1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数图象性质
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的关键是理解方程的根与函数值为0时自变量的对应性，结合二次函数连续的特性，通过函数值的符号变化即可快速判断根的区间，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，点$A(2.18,-0.51)$，$B(2.68,0.54)$在该函数的图象上，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个解可能是（）

A.2.18
B.2.68
C.−0.51
D.2.45

2.D

【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解和二次函数$y=ax^2+bx+c$的核心关系：方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知点A、B在二次函数图象上，x=2.18时对应y值为负，x=2.68时对应y值为正，说明函数图象在这两个x值之间会穿过x轴，即方程的一个解在2.18和2.68之间，再结合选项选出符合该区间的数值即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。
已知点$A(2.18,-0.51)$，即$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$，此时函数图象在x轴下方；
点$B(2.68,0.54)$，即$x=2.68$时，$y=0.54＞0$，此时函数图象在x轴上方。
由于二次函数图象是连续的曲线，因此在$2.18＜x＜2.68$的区间内，必然存在一个x值使得$y=0$，也就是方程的一个解在这个区间内。
逐一分析选项：
A. 2.18不在区间内部，此时$y≠0$，不符合要求；
B. 2.68不在区间内部，此时$y≠0$，不符合要求；
C. -0.51是函数值，不是方程的解（方程的解为x的取值），不符合要求；
D. 2.45满足$2.18＜2.45＜2.68$，符合区间要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题考查二次函数图象和一元二次方程的对应关系，解题核心是通过函数值的正负判断根的取值范围，属于基础概念的应用类题型，掌握二者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3.已知二次函数$y=-x^2 -2x +2$。
(1)填表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(2)结合函数图象，直接写出方程$-x^2 -2x +2=0$的近似根.(精确到0.1)

3.解:(1)-1 2 3 2 -1 如图所示.(2)$x_1≈0.7$,$x_2≈-2.7$.

【分析】
第(1)问解题思路：要绘制二次函数图象，首先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出该二次函数对称轴为$x=-1$，选取对称轴两侧对称的整数点（通常取5个点即可），将x值代入函数解析式计算对应y值填入表格，再在坐标系中描点、用平滑曲线连接即可得到图象。
第(2)问解题思路：根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$-x^2-2x+2=0$的根就是二次函数$y=-x^2-2x+2$图象与x轴交点的横坐标，观察图象中两个交点的位置，估算横坐标的值并精确到0.1即可。
【解析】
(1) 分别将x值代入函数解析式计算y值：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1$；
将上述计算结果填入表格后，在坐标系中描出对应点，用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象。
(2) 观察函数图象，图象与x轴有两个交点，右侧交点横坐标在0和1之间，约为0.7；左侧交点横坐标在-3和-2之间，约为-2.7，即为方程的近似根。
【答案】
(1)-1 2 3 2 -1 如图所示
(2)$x_1≈0.7$,$x_2≈-2.7$
【知识点】
二次函数图象绘制；二次函数与一元二次方程的关系；图象法求近似根
【点评】
本题考查二次函数图象的画法以及利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似根，核心是数形结合思想的应用，需要掌握描点法画函数图象的步骤，理解二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。
【难度系数】
0.8

4.二次函数$y=x^2+2x-10$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表，则方程$x^2+2x-13=0$的一个近似根是（）


A.－4.9
B.－4.8
C.－4.7
D.－4.6

4.C

【分析】
首先要把所求的一元二次方程和已知的二次函数建立关联，将方程$x^2+2x-13=0$变形为$x^2+2x-10=3$，可知方程的根就是二次函数$y=x^2+2x-10$中$y=3$时对应的自变量$x$的值。接下来观察表格中$y$的取值，找到$y$接近3的两组对应数据，判断$y=3$时$x$的取值范围，再通过比较$y$值和3的差值大小，确定更接近的近似根。
【解析】
1. 方程变形：将$x^2+2x-13=0$移项可得$x^2+2x-10=3$，因此方程$x^2+2x-13=0$的根就是二次函数$y=x^2+2x-10$中$y=3$对应的$x$值。
2. 查找表格数据：当$x=-4.8$时，$y=3.44$；当$x=-4.7$时，$y=2.69$，说明$y=3$对应的$x$在$-4.8$和$-4.7$之间。
3. 比较差值确定近似根：计算$3.44-3=0.44$，$3-2.69=0.31$，因为$0.31＜0.44$，说明$y=3$更接近$y=2.69$，因此对应的$x$更接近$-4.7$，即方程的一个近似根为$-4.7$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似根估算
【点评】
本题核心是利用二次函数的对应值估算方程的近似根，解题的关键是建立方程和二次函数的联系，通过函数值的变化范围确定根的范围，再通过差值比较得到最接近的近似根，是函数与方程结合的基础题型。
【难度系数】
0.7

5.二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$的图象及局部细节如图所示，则关于$x$的方程$ax^2 - 2ax + c=0$的较大的根的取值范围是（）

A.$0.4 ＜ x ＜ 0.5$
B.$0.5 ＜ x ＜ 0.6$
C.$2.4 ＜ x ＜ 2.5$
D.$2.5 ＜ x ＜ 2.6$

5.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确三个核心思路：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根；②先求出二次函数的对称轴，抛物线的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴对应的x值；③已知其中一个根的范围，通过对称关系即可推出另一个较大根的取值范围。
【解析】
第一步：计算二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线的对称轴为直线$x=1$。
第二步：关联方程根与函数交点
方程$ax^2-2ax+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2-2ax+c$图象与x轴交点的横坐标，设较小根为$x_1$，较大根为$x_2$。
根据局部放大图可知，较小根的取值范围是$-0.5＜x_1＜-0.4$。
第三步：利用对称性推导较大根的范围
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称，因此满足$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，变形得$x_2=2-x_1$。
对$-0.5＜x_1＜-0.4$变形，不等式两边同乘$-1$得$0.4＜-x_1＜0.5$，再同时加2得：
$2+0.4＜2-x_1＜2+0.5$，即$2.4＜x_2＜2.5$。
因此方程较大的根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线的对称性
【点评】
本题无需计算函数解析式，巧妙利用抛物线的对称性即可快速求得根的范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，建立方程根与函数图象之间的关联。
【难度系数】
0.7

6. 阅读材料:利用函数图象求一元二次方程$x^2 - x - 1=0$的近似根时,可采用以下方法.解法一:如图①,把方程$x^2 - x -1=0$的根看成二次函数$y=x^2 - x -1$的图象与x轴交点的横坐标;解法二:把方程$x^2 - x -1=0$的根看成是二次函数$y=x^2 -1$的图象与一次函数$y=x$的图象交点的横坐标.根据以上材料,解答下列问题:
(1)根据图①,写出方程$x^2 - x -1=0$的近似根;(精确到0.1)
(2)根据解法二,在图②中画出相应的函数图象,写出方程的近似根.(精确到0.1)

6.解:(1)根据图象,估计方程$x^2 - x -1=0$的近似根为$x_1≈-0.6$,$x_2≈1.6$.(2)如图所示,估计方程$x^2 - x -1=0$的近似根为$x_1≈-0.6$,$x_2≈1.6$.

【分析】
本题考查利用函数图象求解一元二次方程的近似根，解题思路如下：(1)第一问直接观察二次函数$y=x^2-x-1$与x轴交点的横坐标，x轴上$y=0$，交点横坐标恰好对应方程$x^2-x-1=0$的根，估算交点横坐标的数值即可；(2)第二问先将方程$x^2-x-1=0$变形为$x^2-1=x$，对应两个函数$y=x^2-1$和$y=x$，两个函数图象交点的横坐标就是方程的根，先画出两个函数的图象，再估算交点横坐标即可。
【解析】
(1) 观察图①中二次函数$y=x^2-x-1$的图象，其与x轴有两个交点，左侧交点横坐标位于-0.7和-0.5之间，约为-0.6，右侧交点横坐标位于1.5和1.7之间，约为1.6，即可得到方程的近似根。
(2) 把方程$x^2-x-1=0$变形为$x^2-1=x$，在图②中分别画出一次函数$y=x$（过原点、斜率为1的直线）和二次函数$y=x^2-1$（开口向上，顶点为$(0,-1)$，过$(\pm1,0)$的抛物线），两个图象有两个交点，观察交点横坐标，左侧约为-0.6，右侧约为1.6，即可得到方程的近似根。
【答案】
(1) 方程$x^2 - x -1=0$的近似根为$x_1≈-0.6$,$x_2≈1.6$
(2) ，方程$x^2 - x -1=0$的近似根为$x_1≈-0.6$,$x_2≈1.6$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象交点的意义
3. 方程近似根估算
【点评】
本题运用数形结合的思想，将抽象的一元二次方程求根问题转化为直观的函数图象交点问题，降低了求解难度，也体现了代数与几何的关联性，掌握这种转化方法能有效解决同类方程求根问题。
【难度系数】
0.7