1.已知一元二次方程$x^2 + x - 6 = 0$有两个不相等的实数根$x_1=2, x_2=-3$，则抛物线$y=x^2 + x - 6$与x轴的交点坐标为。

1.(2,0),(-3,0)

【分析】
解题思路：首先明确x轴上点的坐标特征是纵坐标为0，因此抛物线与x轴交点的纵坐标均为0，交点的横坐标就是二次函数y=0时对应的自变量x的取值，也就是对应一元二次方程的实数根。本题已经给出对应一元二次方程的两个根，直接将根作为横坐标、0作为纵坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴的交点在x轴上，交点的纵坐标为0，
∴求抛物线$y=x^2 + x - 6$与x轴的交点坐标，等价于求$y=0$时自变量$x$的取值，对应方程为$x^2 + x - 6 = 0$。
已知该方程的两个不相等实数根为$x_1=2$，$x_2=-3$，
∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为2和-3，纵坐标均为0，即交点坐标为$(2,0)$、$(-3,0)$。
【答案】
$(2,0),(-3,0)$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察二次函数图象和对应一元二次方程的关联，掌握“二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根”这一核心结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标为$(1,0),(3,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$的解为 （）

A.$x_1=-1,x_2=-3$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$

2.B

【分析】
解题的核心切入点是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。我们只需要提取题干给出的两个交点的横坐标，就能得到方程的解，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，即为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知该二次函数图象与x轴的交点为$(1,0)$、$(3,0)$，两个交点的横坐标分别是1和3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1,x_2=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，熟练掌握这一对应规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 函数$y=x^2 - x +1$的图象与$x$轴的交点的情况是（）

A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断

3.C

【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次方程的实数根，因此交点个数与方程的实数根个数一致。我们可以通过计算一元二次方程根的判别式Δ的符号来判断根的个数，进而得到交点个数：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应两个交点；Δ=0时，方程有两个相等的实数根，对应一个交点；Δ＜0时，方程没有实数根，对应没有交点。
【解析】
令y=0，可得一元二次方程：$x^2 - x + 1 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根，即函数$y=x^2 - x +1$的图象与x轴没有交点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握判别式符号和交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 已知二次函数 $ y=-x^2 + 2x - m $（$ m $ 是常数）。
(1)若该二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个不同的交点，求 $ m $ 的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与 $ x $ 轴的其中一个交点坐标为 $ (-1,0) $，求方程 $ -x^2 + 2x - m = 0 $ 的解。

4.解:(1)
∵二次函数$y=-x^2+2x-m$的图象与x轴有两个不同的交点,
∴一元二次方程$-x^2+2x-m=0$有两个不相等的实数根.$\therefore \Delta=2^2-4×(-1)×(-m)＞0$,解得$m＜1$.(2)由题意,得方程$-x^2+2x-m=0$的一个解为$x_1=-1$.设另一个解为$x_2$,则$x_2+(-1)=2$,解得$x_2=3$.
∴方程$-x^2+2x-m=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$.

【分析】
(1) 二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实根个数一一对应：图象与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时判别式Δ＞0。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式列出不等式，即可求解m的取值范围。
(2) 已知方程的一个根，有两种解题思路：一是将已知交点坐标代入二次函数解析式求出m，再代入方程求解所有根；二是利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之和直接求出另一个根，后者计算更简便。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=-x^2+2x-m$的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程$-x^2+2x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = 2^2 - 4×(-1)×(-m) ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
(2) 由题意得，方程$-x^2+2x-m=0$的一个解为$x_1=-1$，设另一个解为$x_2$，
根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，
即$x_2 + (-1) = 2$，解得$x_2=3$。
【答案】
(1) $m ＜ 1$；
(2) $x_1=-1$，$x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题属于基础巩固类题型，核心考查二次函数与一元二次方程的转化思想，既考察了判别式的应用，也可通过多种方法求解第二问，有助于学生理解知识点间的关联，提升灵活解题的能力。
【难度系数】
0.7

5.已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p),B(3,q)$两点，则方程$ax^2+mx+c=n$的解是.

5.$x_1=-3,x_2=1$

【分析】
解题思路如下：首先，函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此A、B两点的坐标可分别代入抛物线和直线的解析式，得到关于a、c、m、n的等式。其次，将待解的方程$ax^2+mx+c=n$转化为“当x取何值时，代数式$ax^2+mx+c$的值等于n”的问题，结合前面得到的等式，利用方程解的定义即可推导结果，不需要求出各个参数的具体值，用整体代入的思路就能解决。
【解析】
∵ 点$A(-1,p)$是抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$的交点
∴ 将$A(-1,p)$分别代入两个解析式得：
$\begin{cases} p=a·(-1)^2 + c = a + c \\ p = m·(-1) + n = -m + n \end{cases}$
联立两式得：$a + c = -m + n$，移项整理得：$a·1^2 + m·1 + c = n$
根据方程解的定义，可知$x=1$是方程$ax^2+mx+c=n$的一个解。
同理，点$B(3,q)$是两个函数的交点，代入得：
$\begin{cases} q=a·3^2 + c =9a + c \\ q = m·3 + n =3m + n \end{cases}$
联立两式得：$9a + c = 3m + n$，移项整理得：$a·(-3)^2 + m·(-3) + c = n$
根据方程解的定义，可知$x=-3$是方程$ax^2+mx+c=n$的另一个解。
【答案】
$x_1=-3,x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查函数与方程的转化思想，解题时不需要求解未知参数的具体值，只需利用交点坐标满足的等式变形，就能对应得到方程的解，能很好地锻炼学生的转化思维和整体代入的能力。
【难度系数】
0.6

6. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a ≠ 0 $）的位置如图所示，则一元二次方程 $ ax^2 + bx + c + 2 = 0 $（$ a ≠ 0 $）的根的情况是 ______。

6.有两个相等的实数根

【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，可先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，结合二次函数与一元二次方程的关系，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$交点的横坐标，因此只需判断抛物线与直线$y=-2$的交点个数即可。观察图象可得抛物线顶点的纵坐标为$-2$，说明抛物线与直线$y=-2$仅有1个交点，由此可推出方程的根的情况。
【解析】
将一元二次方程$ax^2+bx+c+2=0$整理，可得$ax^2+bx+c=-2$。
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：方程$ax^2+bx+c=k$的实数根，是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标。
由题图可知，抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点纵坐标为$-2$，即抛物线与直线$y=-2$只有1个公共点，因此方程$ax^2+bx+c=-2$有两个相等的实数根，即$ax^2+bx+c+2=0$有两个相等的实数根。
【答案】
有两个相等的实数根
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质
【点评】
本题将方程根的判断问题转化为函数图象交点个数问题，考查数形结合思想的应用，解题的关键是理解二次函数与对应一元二次方程的内在联系。
【难度系数】
0.7

7.(教材 P31 练习 T3 变式)(天长月考)已知抛物线 $y=x^2 - mx + m - 2$.
(1)求证:不论 $m$ 为何值,该抛物线与 $x$ 轴总有两个不同的交点;
(2)若该抛物线与 $x$ 轴的两交点分别为 $(p,0)$ 和 $(q,0)$,且 $p+q=2pq$,求 $m$ 的值.

7.(1)证明:令$y=x^2-mx+m-2=0$,$\therefore \Delta=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$.$\because (m-2)^2≥0$,$\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0$.$\therefore x^2-mx+m-2=0$有两个不相等的实数根,即不论$m$为何值,此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点.(2)解:由题意可知,$p,q$是一元二次方程$x^2-mx+m-2=0$的两个根,$\therefore p+q=m$,$pq=m-2$.$\because p+q=2pq$,$\therefore m=2(m-2)$,解得$m=4$.

【分析】
(1) 要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，可转化为证明抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，只需计算方程的根的判别式Δ，通过配方判断Δ的取值恒大于0即可。
(2) 抛物线与x轴两个交点的横坐标p、q就是对应一元二次方程的两个实数根，可直接利用根与系数的关系写出p+q、pq关于m的表达式，再代入已知条件p+q=2pq，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 证明：令$y=x^2-mx+m-2=0$，
$\therefore \Delta=(-m)^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$，
$\because (m-2)^2≥0$，
$\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0$，
$\therefore x^2-mx+m-2=0$有两个不相等的实数根，即不论$m$为何值，此抛物线与$x$轴总有两个不同的交点。
(2) 解：由题意可知，$p,q$是一元二次方程$x^2-mx+m-2=0$的两个根，
$\therefore p+q=m$，$pq=m-2$，
$\because p+q=2pq$，
$\therefore m=2(m-2)$，解得$m=4$。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，该抛物线与$x$轴总有两个不同的交点，得证；
(2) $m$的值为$4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规基础题型，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的转化逻辑，熟练运用根的判别式、根与系数的关系求解即可。
【难度系数】
0.8