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方法点拨:二次函数$y=a(x+h)^2+k$中的最值问题:
(1)不限定自变量$x$的取值范围:
当$a＞0$时,函数在$x=-h$处取得最小值$k$,无最大值;
当$a＜0$时,函数在$x=-h$处取得最大值$k$,无最小值;
(2)限定自变量$x$的取值范围,其中$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是函数图象上的两点,$x_2＞x_1$:
当两点在对称轴同侧时,根据对称轴左右两边图象的增减性求取值范围;
当对称轴在两点中间时,若$a＞0$,如图①②,易得在$x=$
(1)不限定自变量$x$的取值范围:
当$a＞0$时,函数在$x=-h$处取得最小值$k$,无最大值;
当$a＜0$时,函数在$x=-h$处取得最大值$k$,无最小值;
(2)限定自变量$x$的取值范围,其中$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是函数图象上的两点,$x_2＞x_1$:
当两点在对称轴同侧时,根据对称轴左右两边图象的增减性求取值范围;
当对称轴在两点中间时,若$a＞0$,如图①②,易得在$x=$
-h
处取得最小值k
,在离对称轴远的那一点上取得最大
值;若$a＜0$,如图③④,易得在$x=$-h
处取得最大值k
,在离对称轴远的那一点上取得最小
值.答案
-h k 大 -h k 小
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x+h)^2+k$的基本性质：其对称轴为直线$x=-h$，顶点坐标为$(-h,k)$，开口方向由$a$的符号决定。当限定自变量$x$的取值范围且对称轴在区间$(x_1,x_2)$内时：若$a＞0$，函数开口向上，顶点是整个函数的最低点，因此区间内最小值在顶点处取得，再结合开口向上时“离对称轴越远，函数值越大”的增减性，可知最大值在离对称轴更远的端点处取得；若$a＜0$，函数开口向下，顶点是整个函数的最高点，因此区间内最大值在顶点处取得，再结合开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的增减性，可知最小值在离对称轴更远的端点处取得。
【解析】
当$a＞0$且对称轴$x=-h$在$x_1$和$x_2$之间时：
函数开口向上，顶点为图象最低点，因此在$x=-h$处取得最小值$k$；又因为开口向上时，自变量离对称轴越远函数值越大，所以在离对称轴远的端点处取得最大值。
当$a＜0$且对称轴$x=-h$在$x_1$和$x_2$之间时：
函数开口向下，顶点为图象最高点，因此在$x=-h$处取得最大值$k$；又因为开口向下时，自变量离对称轴越远函数值越小，所以在离对称轴远的端点处取得最小值。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
$-h$ $k$ 大 $-h$ $k$ 小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数最值问题的基础题型，核心是结合开口方向、对称轴与自变量取值范围的位置关系，利用函数增减性判断最值的取值位置，熟练掌握该规律是解决复杂二次函数最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x+h)^2+k$的基本性质：其对称轴为直线$x=-h$，顶点坐标为$(-h,k)$，开口方向由$a$的符号决定。当限定自变量$x$的取值范围且对称轴在区间$(x_1,x_2)$内时：若$a＞0$，函数开口向上，顶点是整个函数的最低点，因此区间内最小值在顶点处取得，再结合开口向上时“离对称轴越远，函数值越大”的增减性，可知最大值在离对称轴更远的端点处取得；若$a＜0$，函数开口向下，顶点是整个函数的最高点，因此区间内最大值在顶点处取得，再结合开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的增减性，可知最小值在离对称轴更远的端点处取得。
【解析】
当$a＞0$且对称轴$x=-h$在$x_1$和$x_2$之间时：
函数开口向上，顶点为图象最低点，因此在$x=-h$处取得最小值$k$；又因为开口向上时，自变量离对称轴越远函数值越大，所以在离对称轴远的端点处取得最大值。
当$a＜0$且对称轴$x=-h$在$x_1$和$x_2$之间时：
函数开口向下，顶点为图象最高点，因此在$x=-h$处取得最大值$k$；又因为开口向下时，自变量离对称轴越远函数值越小，所以在离对称轴远的端点处取得最小值。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
$-h$ $k$ 大 $-h$ $k$ 小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数最值问题的基础题型，核心是结合开口方向、对称轴与自变量取值范围的位置关系，利用函数增减性判断最值的取值位置，熟练掌握该规律是解决复杂二次函数最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
1.已知$y=-x^2 -2x -2$，其中$x$为实数，则$y$的取值范围是 （
A.$-1≤ y＜0$
B.$y＜0$
C.$y≤ -1$
D.全体实数
C
）A.$-1≤ y＜0$
B.$y＜0$
C.$y≤ -1$
D.全体实数
答案
1.C
解析
【分析】
本题是求二次函数的函数值取值范围，解题思路如下：首先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；再通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，得到函数的最值，最终推出y的取值范围。
【解析】
对二次函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 -2x -2\\&=-(x^2+2x) -2\\&=-(x^2+2x+1 -1) -2\\&=-[(x+1)^2 -1] -2\\&=-(x+1)^2 +1 -2\\&=-(x+1)^2 -1\end{aligned}$
∵x为实数，
∴$(x+1)^2≥0$，
∴$-(x+1)^2≤0$，
∴$-(x+1)^2 -1≤ -1$，即$y≤ -1$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、配方法求最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法变形，结合开口方向判断函数的最值范围，是后续解决二次函数值域、最值类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是求二次函数的函数值取值范围，解题思路如下：首先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；再通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，得到函数的最值，最终推出y的取值范围。
【解析】
对二次函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 -2x -2\\&=-(x^2+2x) -2\\&=-(x^2+2x+1 -1) -2\\&=-[(x+1)^2 -1] -2\\&=-(x+1)^2 +1 -2\\&=-(x+1)^2 -1\end{aligned}$
∵x为实数，
∴$(x+1)^2≥0$，
∴$-(x+1)^2≤0$，
∴$-(x+1)^2 -1≤ -1$，即$y≤ -1$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、配方法求最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法变形，结合开口方向判断函数的最值范围，是后续解决二次函数值域、最值类问题的基础。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 2x + m^2 $ 的最大值为3，则 $ m $ 的值为 （
A.$ \pm\sqrt{2} $
B.$ \pm\sqrt{3} $
C.2
D.$ \pm2 $
A
）A.$ \pm\sqrt{2} $
B.$ \pm\sqrt{3} $
C.2
D.$ \pm2 $
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先观察二次项系数，$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；接下来可以通过配方法将二次函数化为顶点式，得到最大值的表达式；最后根据题目给出的最大值为3列方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
已知二次函数$y=-x^2+2x+m^2$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
利用配方法将函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+m^2\\&=-(x^2-2x)+m^2\\&=-(x^2-2x+1-1)+m^2\\&=-(x-1)^2+1+m^2\end{aligned}$
因此函数的最大值为$1+m^2$，根据题意最大值为3，可列方程：
$1+m^2=3$
解得$m^2=2$，即$m=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值计算，平方根运算
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是明确开口方向与最值位置的关系，熟练掌握配方法或顶点坐标公式求最值即可快速解答，易错点为配方时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先观察二次项系数，$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；接下来可以通过配方法将二次函数化为顶点式，得到最大值的表达式；最后根据题目给出的最大值为3列方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
已知二次函数$y=-x^2+2x+m^2$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
利用配方法将函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+m^2\\&=-(x^2-2x)+m^2\\&=-(x^2-2x+1-1)+m^2\\&=-(x-1)^2+1+m^2\end{aligned}$
因此函数的最大值为$1+m^2$，根据题意最大值为3，可列方程：
$1+m^2=3$
解得$m^2=2$，即$m=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值计算，平方根运算
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是明确开口方向与最值位置的关系，熟练掌握配方法或顶点坐标公式求最值即可快速解答，易错点为配方时符号处理错误。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数$y=mx^2+(m-1)x+m-1$的最小值为0，则$m$的值为
1
.答案
3.1
解析
【分析】
首先明确题目给出的是二次函数，因此要先满足二次项系数不为0的前提；其次二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0；最后最小值为0，说明抛物线顶点的纵坐标为0，可利用二次函数顶点纵坐标的最值公式列方程求解，最后结合二次项系数的取值范围筛选出正确的m值即可。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且存在最小值
∴二次项系数$m＞0$（开口向上才有最小值，且二次项系数不能为0）
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标（即最值）为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中最小值为0，代入$a=m$，$b=m-1$，$c=m-1$得：
$\frac{4m(m-1) - (m-1)^2}{4m}=0$
∵分母$4m＞0$，因此只需分子等于0：
$4m(m-1) - (m-1)^2 = 0$
提取公因式$(m-1)$化简：
$(m-1)[4m - (m-1)] = 0$
$(m-1)(3m+1)=0$
解得$m=1$或$m=-\frac{1}{3}$
结合$m＞0$的限制，舍去$m=-\frac{1}{3}$，最终得$m=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值；因式分解解一元二次方程
【点评】
本题容易忽略二次项系数不为0、有最小值时二次项系数需大于0的限制，直接解方程得到错误解，解题时要先确定参数的取值范围，再求解方程后筛选结果。
【难度系数】
0.6
首先明确题目给出的是二次函数，因此要先满足二次项系数不为0的前提；其次二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0；最后最小值为0，说明抛物线顶点的纵坐标为0，可利用二次函数顶点纵坐标的最值公式列方程求解，最后结合二次项系数的取值范围筛选出正确的m值即可。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且存在最小值
∴二次项系数$m＞0$（开口向上才有最小值，且二次项系数不能为0）
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标（即最值）为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中最小值为0，代入$a=m$，$b=m-1$，$c=m-1$得：
$\frac{4m(m-1) - (m-1)^2}{4m}=0$
∵分母$4m＞0$，因此只需分子等于0：
$4m(m-1) - (m-1)^2 = 0$
提取公因式$(m-1)$化简：
$(m-1)[4m - (m-1)] = 0$
$(m-1)(3m+1)=0$
解得$m=1$或$m=-\frac{1}{3}$
结合$m＞0$的限制，舍去$m=-\frac{1}{3}$，最终得$m=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值；因式分解解一元二次方程
【点评】
本题容易忽略二次项系数不为0、有最小值时二次项系数需大于0的限制，直接解方程得到错误解，解题时要先确定参数的取值范围，再求解方程后筛选结果。
【难度系数】
0.6
4.(安庆期中改编)点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2+3$的图象上，则$m+n$的最大值是
$\frac{13}{4}$
.答案
4.$\frac{13}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将n用含m的代数式表示，把m+n转化为只关于m的二次函数，再通过配方法结合二次函数的最值性质求出最大值即可。
【解析】
∵点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2+3$的图象上，
∴将点坐标代入解析式得：$n=-m^2+3$，
∴$m+n = m + (-m^2+3) = -m^2 + m + 3$，
对该式配方：
$\begin{aligned}-m^2 + m +3&=-(m^2 - m) +3\\&=-(m^2 - m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) +3\\&=-(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} +3\\&=-(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$m=\frac{1}{2}$时，$m+n$取得最大值，最大值为$\frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；配方法；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数最值的应用类题型，解题核心是将双变量的代数式转化为单变量的二次函数，再利用配方法求最值，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用二次函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将n用含m的代数式表示，把m+n转化为只关于m的二次函数，再通过配方法结合二次函数的最值性质求出最大值即可。
【解析】
∵点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2+3$的图象上，
∴将点坐标代入解析式得：$n=-m^2+3$，
∴$m+n = m + (-m^2+3) = -m^2 + m + 3$，
对该式配方：
$\begin{aligned}-m^2 + m +3&=-(m^2 - m) +3\\&=-(m^2 - m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) +3\\&=-(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} +3\\&=-(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$m=\frac{1}{2}$时，$m+n$取得最大值，最大值为$\frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；配方法；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数最值的应用类题型，解题核心是将双变量的代数式转化为单变量的二次函数，再利用配方法求最值，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
5.已知二次函数$y=(x-3)^2 -1$，当$1≤x≤4$时，该函数（
A.只有最大值3，无最小值
B.有最大值3，最小值0
C.有最大值3，最小值−1
D.只有最小值−1，无最大值
C
）A.只有最大值3，无最小值
B.有最大值3，最小值0
C.有最大值3，最小值−1
D.只有最小值−1，无最大值
答案
5.C
解析
【分析】
首先根据二次函数的顶点式确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，再判断对称轴是否落在给定的自变量取值区间$1≤x≤4$内：由于抛物线开口向上，若对称轴在区间内，则顶点处取得函数最小值；再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值，最终结合选项判断即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-3)^2 -1$：
1. 分析函数基本性质：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,-1)$；
2. 判断对称轴与区间的位置关系：$x=3$在$1≤x≤4$范围内，因此函数在$x=3$处取得最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=(3-3)^2-1=-1$；
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=1$时，$y=(1-3)^2-1=4-1=3$；
当$x=4$时，$y=(4-3)^2-1=1-1=0$；
4. 比较得最大值：$3＞0$，因此区间内函数最大值为3。
综上，当$1≤x≤4$时，函数有最大值3，最小值$-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；定区间二次函数最值
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间内的最值求解，易错点是易忽略自变量的取值范围，误将顶点值当作唯一最值，解题时需先明确抛物线开口方向、对称轴，再结合区间范围比较顶点和端点的函数值即可得出结果。
【难度系数】
0.7
首先根据二次函数的顶点式确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，再判断对称轴是否落在给定的自变量取值区间$1≤x≤4$内：由于抛物线开口向上，若对称轴在区间内，则顶点处取得函数最小值；再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值，最终结合选项判断即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-3)^2 -1$：
1. 分析函数基本性质：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,-1)$；
2. 判断对称轴与区间的位置关系：$x=3$在$1≤x≤4$范围内，因此函数在$x=3$处取得最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=(3-3)^2-1=-1$；
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=1$时，$y=(1-3)^2-1=4-1=3$；
当$x=4$时，$y=(4-3)^2-1=1-1=0$；
4. 比较得最大值：$3＞0$，因此区间内函数最大值为3。
综上，当$1≤x≤4$时，函数有最大值3，最小值$-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；定区间二次函数最值
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间内的最值求解，易错点是易忽略自变量的取值范围，误将顶点值当作唯一最值，解题时需先明确抛物线开口方向、对称轴，再结合区间范围比较顶点和端点的函数值即可得出结果。
【难度系数】
0.7
6. 一题多变 思维延伸 已知函数 $y=x^2 -2x +3$，当 $0≤ x≤ m$ 时，该函数有最大值3，最小值
2，则 $m$ 的取值范围是 （
A.$m≥1$
B.$0≤ m≤2$
C.$1≤ m≤2$
D.$1≤ m≤3$
【变式题1】开口方向确定，对称轴：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$（$h$ 为常数），当自变量 $x$ 的值满足 $1≤ x≤3$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最大值为 $-2$，则 $h$ 的值为
【变式题2】对称轴确定，开口方向：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数 $y=mx^2 +2mx +1(m≠0)$，当 $-2≤ x≤2$ 时，$y$ 有最小值 $-4$，则 $m$ 的值为
2，则 $m$ 的取值范围是 （
C
）A.$m≥1$
B.$0≤ m≤2$
C.$1≤ m≤2$
D.$1≤ m≤3$
【变式题1】开口方向确定，对称轴：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$（$h$ 为常数），当自变量 $x$ 的值满足 $1≤ x≤3$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最大值为 $-2$，则 $h$ 的值为
-1 或 5
.【变式题2】对称轴确定，开口方向：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数 $y=mx^2 +2mx +1(m≠0)$，当 $-2≤ x≤2$ 时，$y$ 有最小值 $-4$，则 $m$ 的值为
5 或 $-\frac{5}{8}$
.答案
6.C 【变式题1】-1或5 【变式题2】5或$-\frac{5}{8}$
解析
【分析】
解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值点：
1. 原题：先将函数配方得到顶点式，确定对称轴和最值点，再根据最值要求反推区间端点的取值范围；
2. 变式题1：函数开口向下，顶点最大值为0，给定区间最大值为-2说明顶点不在区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两类讨论，代入对应最值点计算即可；
3. 变式题2：先配方得到固定对称轴，分开口向上（m＞0）、开口向下（m＜0）两类，结合单调性找到最小值点代入计算。
【解析】
原题
将函数配方得：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，函数开口向上，对称轴为$x=1$，顶点处取最小值2。
令$y=3$，解得$x=0$或$x=2$：
要取到最小值2，区间需包含对称轴$x=1$，故$m≥1$；
要保证最大值为3，区间右端点不能超过$x=2$，故$m≤2$。
综上$1≤ m≤2$，选C。
变式题1
函数$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$开口向下，对称轴为$x=h$，顶点处函数值为0。已知区间$[1,3]$内最大值为$-2＜0$，说明顶点不在区间内：
1. 当$h＜1$时，区间在对称轴右侧，函数单调递减，$x=1$时取最大值：$-\frac{1}{2}(1-h)^2=-2$，结合$h＜1$解得$h=-1$；
2. 当$h＞3$时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，$x=3$时取最大值：$-\frac{1}{2}(3-h)^2=-2$，结合$h＞3$解得$h=5$。
变式题2
将函数配方得：$y=mx^2+2mx+1=m(x+1)^2+1-m$，对称轴为$x=-1$：
1. 当$m＞0$时，函数开口向上，顶点处取最小值，代入$x=-1$得$1-m=-4$，解得$m=5$，符合要求；
2. 当$m＜0$时，函数开口向下，离对称轴越远函数值越小，区间$[-2,2]$内$x=2$离对称轴更远，代入$x=2$得$8m+1=-4$，解得$m=-\frac{5}{8}$，符合要求。
【答案】
6.C 【变式题1】$-1$或$5$ 【变式题2】$5$或$-\frac{5}{8}$
【知识点】
二次函数最值，分类讨论思想，二次函数图像性质
【点评】
本题组考查二次函数定区间最值的求解，需要学生熟练掌握开口方向、对称轴对函数单调性的影响，易错点是容易遗漏分类讨论的情况，解题时可结合草图辅助分析。
【难度系数】
0.65
解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值点：
1. 原题：先将函数配方得到顶点式，确定对称轴和最值点，再根据最值要求反推区间端点的取值范围；
2. 变式题1：函数开口向下，顶点最大值为0，给定区间最大值为-2说明顶点不在区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两类讨论，代入对应最值点计算即可；
3. 变式题2：先配方得到固定对称轴，分开口向上（m＞0）、开口向下（m＜0）两类，结合单调性找到最小值点代入计算。
【解析】
原题
将函数配方得：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，函数开口向上，对称轴为$x=1$，顶点处取最小值2。
令$y=3$，解得$x=0$或$x=2$：
要取到最小值2，区间需包含对称轴$x=1$，故$m≥1$；
要保证最大值为3，区间右端点不能超过$x=2$，故$m≤2$。
综上$1≤ m≤2$，选C。
变式题1
函数$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$开口向下，对称轴为$x=h$，顶点处函数值为0。已知区间$[1,3]$内最大值为$-2＜0$，说明顶点不在区间内：
1. 当$h＜1$时，区间在对称轴右侧，函数单调递减，$x=1$时取最大值：$-\frac{1}{2}(1-h)^2=-2$，结合$h＜1$解得$h=-1$；
2. 当$h＞3$时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，$x=3$时取最大值：$-\frac{1}{2}(3-h)^2=-2$，结合$h＞3$解得$h=5$。
变式题2
将函数配方得：$y=mx^2+2mx+1=m(x+1)^2+1-m$，对称轴为$x=-1$：
1. 当$m＞0$时，函数开口向上，顶点处取最小值，代入$x=-1$得$1-m=-4$，解得$m=5$，符合要求；
2. 当$m＜0$时，函数开口向下，离对称轴越远函数值越小，区间$[-2,2]$内$x=2$离对称轴更远，代入$x=2$得$8m+1=-4$，解得$m=-\frac{5}{8}$，符合要求。
【答案】
6.C 【变式题1】$-1$或$5$ 【变式题2】$5$或$-\frac{5}{8}$
【知识点】
二次函数最值，分类讨论思想，二次函数图像性质
【点评】
本题组考查二次函数定区间最值的求解，需要学生熟练掌握开口方向、对称轴对函数单调性的影响，易错点是容易遗漏分类讨论的情况，解题时可结合草图辅助分析。
【难度系数】
0.65
7. 双空题 安徽热点 已知二次函数$y=ax^2+4ax+3a-1$的图象开口向下.
(1)若$(m,-9),(1,-9)$是该函数图象上不同的两点,则$m$的值为________;
(2)当$-4≤ x≤ 4$时,函数的最大值与最小值的差为$6$,则$a$的值为________.
(1)若$(m,-9),(1,-9)$是该函数图象上不同的两点,则$m$的值为________;
(2)当$-4≤ x≤ 4$时,函数的最大值与最小值的差为$6$,则$a$的值为________.
答案
7.(1)-5 (2)$-\frac{1}{6}$
解析
【分析】
首先先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质解题：
(1) 纵坐标相同的两个点关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴是两点横坐标的中点即可列方程求m；
(2) 已知函数开口向下，在对称轴处取得最大值，在给定区间内离对称轴越远的点函数值越小，由此找到区间内的最小值，再根据最大值与最小值的差为6列方程求解a，注意a＜0的隐含条件。
【解析】
先将二次函数$y=ax^2+4ax+3a-1$的对称轴求出，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=4a$得：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$，由图象开口向下可知$a＜0$。
(1) 已知$(m,-9),(1,-9)$是图象上纵坐标相同的两点，因此两点关于对称轴对称，即两点横坐标的中点为对称轴：
$\frac{m+1}{2}=-2$
解得$m+1=-4$，$m=-5$。
(2) 开口向下的二次函数在对称轴$x=-2$处取得最大值，将$x=-2$代入函数：
$y_{\mathrm{max}}=a×(-2)^2+4a×(-2)+3a-1=4a-8a+3a-1=-a-1$
在区间$-4≤ x≤4$中，计算端点到对称轴的距离：
$|-4 - (-2)|=2$，$|4 - (-2)|=6$，因此$x=4$离对称轴更远，函数值更小，即最小值在$x=4$处：
$y_{\mathrm{min}}=a×4^2+4a×4+3a-1=16a+16a+3a-1=35a-1$
由最大值与最小值的差为6，列方程：
$(-a-1)-(35a-1)=6$
化简得：$-36a=6$，解得$a=-\frac{1}{6}$，满足$a＜0$，符合题意。
【答案】
(1)$-5$；(2)$-\frac{1}{6}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的区间最值；二次函数图象与性质
【点评】
本题重点考查二次函数性质的灵活应用，解题的核心是先确定对称轴，再结合开口方向分析函数的对称性和区间最值，计算时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质解题：
(1) 纵坐标相同的两个点关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴是两点横坐标的中点即可列方程求m；
(2) 已知函数开口向下，在对称轴处取得最大值，在给定区间内离对称轴越远的点函数值越小，由此找到区间内的最小值，再根据最大值与最小值的差为6列方程求解a，注意a＜0的隐含条件。
【解析】
先将二次函数$y=ax^2+4ax+3a-1$的对称轴求出，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=4a$得：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$，由图象开口向下可知$a＜0$。
(1) 已知$(m,-9),(1,-9)$是图象上纵坐标相同的两点，因此两点关于对称轴对称，即两点横坐标的中点为对称轴：
$\frac{m+1}{2}=-2$
解得$m+1=-4$，$m=-5$。
(2) 开口向下的二次函数在对称轴$x=-2$处取得最大值，将$x=-2$代入函数：
$y_{\mathrm{max}}=a×(-2)^2+4a×(-2)+3a-1=4a-8a+3a-1=-a-1$
在区间$-4≤ x≤4$中，计算端点到对称轴的距离：
$|-4 - (-2)|=2$，$|4 - (-2)|=6$，因此$x=4$离对称轴更远，函数值更小，即最小值在$x=4$处：
$y_{\mathrm{min}}=a×4^2+4a×4+3a-1=16a+16a+3a-1=35a-1$
由最大值与最小值的差为6，列方程：
$(-a-1)-(35a-1)=6$
化简得：$-36a=6$，解得$a=-\frac{1}{6}$，满足$a＜0$，符合题意。
【答案】
(1)$-5$；(2)$-\frac{1}{6}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的区间最值；二次函数图象与性质
【点评】
本题重点考查二次函数性质的灵活应用，解题的核心是先确定对称轴，再结合开口方向分析函数的对称性和区间最值，计算时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.6
