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1.二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表.
(1)这个二次函数图象的对称轴为直线
(2)m的值为
(3)选择合适的方法求该二次函数的表达式.
(1)这个二次函数图象的对称轴为直线
x=1
，顶点坐标为(1,-1)
；(2)m的值为
8
，n的值为3
；(3)选择合适的方法求该二次函数的表达式.
答案
(1)x=1 (1,-1) (2)8 3 (3)设该二次函数的表达式为y=a(x-1)²-1.把(0,0)代入,得0=a-1,解得a=1.
∴该二次函数的表达式为y=(x-1)²-1.
∴该二次函数的表达式为y=(x-1)²-1.
解析
【分析】
解题时可利用二次函数的对称性逐步推导：①先找函数值相等的两个点，两点横坐标的平均值即为对称轴，对称轴对应的点就是顶点；②利用对称性，横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等，即可求出m和n的值；③已知顶点坐标时，选择顶点式设二次函数表达式，代入任意一个已知非顶点的点即可求出系数，得到解析式。
【解析】
(1) 观察表格可知，当x=0和x=2时，y的值都为0，根据二次函数的对称性，对称轴为这两点横坐标的中点：$x=\frac{0+2}{2}=1$；对称轴对应的函数点为顶点，当x=1时y=-1，因此顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 二次函数图象关于直线x=1对称，横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等：
x=-2到对称轴x=1的距离为$|-2-1|=3$，x=4到x=1的距离为$|4-1|=3$，因此x=-2与x=4的y值相等，x=4时y=8，故$m=8$；
当y=3时，已知x=-1，设另一对应点横坐标为n，满足$\frac{-1+n}{2}=1$，解得$n=3$。
(3) 已知二次函数顶点坐标为$(1,-1)$，设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-1(a≠0)$，将点$(0,0)$代入表达式得：
$0=a(0-1)^2-1$，即$0=a-1$，解得$a=1$。
因此二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-1$。
【答案】
(1) $x=1$，$(1,-1)$
(2) $8$，$3$
(3) $y=(x-1)^2-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式求解析式；二次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心是利用对称性简化计算，通过已知顶点选择顶点式求解析式的方法比一般式更简便，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时可利用二次函数的对称性逐步推导：①先找函数值相等的两个点，两点横坐标的平均值即为对称轴，对称轴对应的点就是顶点；②利用对称性，横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等，即可求出m和n的值；③已知顶点坐标时，选择顶点式设二次函数表达式，代入任意一个已知非顶点的点即可求出系数，得到解析式。
【解析】
(1) 观察表格可知，当x=0和x=2时，y的值都为0，根据二次函数的对称性，对称轴为这两点横坐标的中点：$x=\frac{0+2}{2}=1$；对称轴对应的函数点为顶点，当x=1时y=-1，因此顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 二次函数图象关于直线x=1对称，横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等：
x=-2到对称轴x=1的距离为$|-2-1|=3$，x=4到x=1的距离为$|4-1|=3$，因此x=-2与x=4的y值相等，x=4时y=8，故$m=8$；
当y=3时，已知x=-1，设另一对应点横坐标为n，满足$\frac{-1+n}{2}=1$，解得$n=3$。
(3) 已知二次函数顶点坐标为$(1,-1)$，设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-1(a≠0)$，将点$(0,0)$代入表达式得：
$0=a(0-1)^2-1$，即$0=a-1$，解得$a=1$。
因此二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-1$。
【答案】
(1) $x=1$，$(1,-1)$
(2) $8$，$3$
(3) $y=(x-1)^2-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式求解析式；二次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心是利用对称性简化计算，通过已知顶点选择顶点式求解析式的方法比一般式更简便，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
2.(合肥期末)将抛物线$y=(x+3)^2 -1$先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数表达式为（
A.$y=(x+1)^2 -4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x+5)^2 -4$
D.$y=(x+5)^2 +2$
B
）A.$y=(x+1)^2 -4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x+5)^2 -4$
D.$y=(x+5)^2 +2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记二次函数顶点式平移的“左加右减，上加下减”原则：左右平移是对自变量x本身进行操作（向左平移x加平移距离，向右平移x减平移距离），上下平移是对函数整体的常数项进行操作（向上平移加平移距离，向下平移减平移距离）。解题时先按向右平移的规则调整x的部分，再按向上平移的规则调整常数项，化简后即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线的函数表达式为$y=(x+3)^2 -1$：
1. 先向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，将自变量$x$替换为$x-2$，得：
$y=(x+3-2)^2 -1=(x+1)^2 -1$
2. 再向上平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，在表达式末尾加上3，得：
$y=(x+1)^2 -1+3=(x+1)^2 +2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，易错点是左右平移时加减符号搞反，只要准确掌握“左加右减针对x，上加下减针对常数项”的规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记二次函数顶点式平移的“左加右减，上加下减”原则：左右平移是对自变量x本身进行操作（向左平移x加平移距离，向右平移x减平移距离），上下平移是对函数整体的常数项进行操作（向上平移加平移距离，向下平移减平移距离）。解题时先按向右平移的规则调整x的部分，再按向上平移的规则调整常数项，化简后即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线的函数表达式为$y=(x+3)^2 -1$：
1. 先向右平移2个单位长度，根据“左加右减”原则，将自变量$x$替换为$x-2$，得：
$y=(x+3-2)^2 -1=(x+1)^2 -1$
2. 再向上平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，在表达式末尾加上3，得：
$y=(x+1)^2 -1+3=(x+1)^2 +2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，易错点是左右平移时加减符号搞反，只要准确掌握“左加右减针对x，上加下减针对常数项”的规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
3.(六安期中)若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$可由抛物线$y=-3x^2+1$平移得到，则a的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆抛物线平移的性质：抛物线平移只改变图象的位置，不改变图象的形状、大小和开口方向，而二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，因此平移前后抛物线的二次项系数a保持不变。我们只需找到原抛物线的二次项系数，即可确定所求a的值。
【解析】
∵ 抛物线平移时，开口方向和开口大小均不发生改变，
又
∵ 二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，
∴ 平移前后抛物线的二次项系数相等。
已知原抛物线$y=-3x^2+1$的二次项系数为$-3$，
因此平移后得到的抛物线$y=ax^2+bx+c$中$a=-3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移性质
2.二次项系数的意义
【点评】
本题是基础类题目，核心考查抛物线平移的核心规律，记住平移前后二次项系数不变这一要点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆抛物线平移的性质：抛物线平移只改变图象的位置，不改变图象的形状、大小和开口方向，而二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，因此平移前后抛物线的二次项系数a保持不变。我们只需找到原抛物线的二次项系数，即可确定所求a的值。
【解析】
∵ 抛物线平移时，开口方向和开口大小均不发生改变，
又
∵ 二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，
∴ 平移前后抛物线的二次项系数相等。
已知原抛物线$y=-3x^2+1$的二次项系数为$-3$，
因此平移后得到的抛物线$y=ax^2+bx+c$中$a=-3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象平移性质
2.二次项系数的意义
【点评】
本题是基础类题目，核心考查抛物线平移的核心规律，记住平移前后二次项系数不变这一要点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 如图，抛物线$y=ax^2+2x+c$与x轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$，与y轴交于点C，过点C作$CD// x$轴，交抛物线的对称轴于点D.
(1)该抛物线的函数表达式为
(2)若将该抛物线向下平移m个单位长度，使其顶点落在点D处，则平移后抛物线的函数表达式为
(1)该抛物线的函数表达式为
y=-x²+2x+3
；(2)若将该抛物线向下平移m个单位长度，使其顶点落在点D处，则平移后抛物线的函数表达式为
y=-(x-1)²+3
.答案
(1)$y=-x^2+2x+3$ (2)$y=-(x-1)^2+3$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可采用待定系数法，将A、B两点坐标代入给出的抛物线解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 先将原抛物线配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标；再求抛物线与y轴交点C的坐标，结合CD平行x轴、D在对称轴上的条件，求出D点坐标；根据抛物线平移“上加下减”的规律，让平移后的顶点与D点重合，即可写出平移后的抛物线表达式。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+2x+c$，可得方程组：
$\begin{cases} a×(-1)^2 + 2×(-1) + c = 0 \\ a×3^2 + 2×3 + c = 0 \end{cases}$
化简为：
$\begin{cases} a + c = 2 ① \\ 9a + c = -6 ② \end{cases}$
用②$-$①消去$c$，得$8a=-8$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①，得$-1 + c=2$，解得$c=3$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 将原抛物线配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
可得原抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
当$x=0$时，$y=3$，即点$C$坐标为$(0,3)$。
因为$CD// x$轴，且$D$在对称轴$x=1$上，所以$D$点横坐标为$1$，纵坐标与$C$相同为$3$，即$D(1,3)$。
抛物线向下平移$m$个单位后顶点落在$D$处，平移后顶点为$(1,3)$，因此平移后抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+3$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+3$
(2)$y=-(x-1)^2+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移的规律，熟练掌握二次函数的顶点式变换和平移规则是解题的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可采用待定系数法，将A、B两点坐标代入给出的抛物线解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 先将原抛物线配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标；再求抛物线与y轴交点C的坐标，结合CD平行x轴、D在对称轴上的条件，求出D点坐标；根据抛物线平移“上加下减”的规律，让平移后的顶点与D点重合，即可写出平移后的抛物线表达式。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+2x+c$，可得方程组：
$\begin{cases} a×(-1)^2 + 2×(-1) + c = 0 \\ a×3^2 + 2×3 + c = 0 \end{cases}$
化简为：
$\begin{cases} a + c = 2 ① \\ 9a + c = -6 ② \end{cases}$
用②$-$①消去$c$，得$8a=-8$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①，得$-1 + c=2$，解得$c=3$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 将原抛物线配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
可得原抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
当$x=0$时，$y=3$，即点$C$坐标为$(0,3)$。
因为$CD// x$轴，且$D$在对称轴$x=1$上，所以$D$点横坐标为$1$，纵坐标与$C$相同为$3$，即$D(1,3)$。
抛物线向下平移$m$个单位后顶点落在$D$处，平移后顶点为$(1,3)$，因此平移后抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+3$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+3$
(2)$y=-(x-1)^2+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移的规律，熟练掌握二次函数的顶点式变换和平移规则是解题的关键。
【难度系数】
0.75
5.与抛物线$y=x^2-2x-4$关于x轴对称的抛物线的函数表达式为（
A.$y=-x^2+2x+4$
B.$y=-x^2+2x-4$
C.$y=x^2-2x+4$
D.$y=-x^2-2x-4$
A
）A.$y=-x^2+2x+4$
B.$y=-x^2+2x-4$
C.$y=x^2-2x+4$
D.$y=-x^2-2x-4$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。对应到函数图像上，两个关于x轴对称的函数，相同自变量x对应的函数值互为相反数。我们可以直接利用这个规律变换原函数表达式，也可以先求原抛物线的顶点坐标，得到对称后的顶点坐标，结合开口方向的变化推导新表达式。
【解析】
方法1：利用坐标对称性质求解
两条抛物线关于x轴对称时，相同x值对应的新函数值是原函数值的相反数，即将原函数中的y替换为-y。
已知原抛物线表达式为$y=x^2-2x-4$，替换后得：
$-y = x^2 - 2x - 4$
两边同时乘-1整理得：
$y = -x^2 + 2x + 4$
方法2：利用顶点式求解
先将原抛物线配方为顶点式：
$y=x^2-2x-4=(x-1)^2 - 5$
可得原抛物线顶点为$(1,-5)$，二次项系数$a=1$。
关于x轴对称的抛物线，顶点横坐标不变、纵坐标取相反数，即新顶点为$(1,5)$，且开口方向与原抛物线相反，二次项系数为$-1$，因此新抛物线的顶点式为：
$y=-(x-1)^2 +5$
展开整理得：
$y=-(x^2 -2x +1)+5=-x^2 +2x +4$
两种方法均得到对称后的抛物线表达式为$y=-x^2 +2x +4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称变换；坐标轴对称变化
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题，解题核心是掌握轴对称下点的坐标变化规律，两种推导方法都较为常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。对应到函数图像上，两个关于x轴对称的函数，相同自变量x对应的函数值互为相反数。我们可以直接利用这个规律变换原函数表达式，也可以先求原抛物线的顶点坐标，得到对称后的顶点坐标，结合开口方向的变化推导新表达式。
【解析】
方法1：利用坐标对称性质求解
两条抛物线关于x轴对称时，相同x值对应的新函数值是原函数值的相反数，即将原函数中的y替换为-y。
已知原抛物线表达式为$y=x^2-2x-4$，替换后得：
$-y = x^2 - 2x - 4$
两边同时乘-1整理得：
$y = -x^2 + 2x + 4$
方法2：利用顶点式求解
先将原抛物线配方为顶点式：
$y=x^2-2x-4=(x-1)^2 - 5$
可得原抛物线顶点为$(1,-5)$，二次项系数$a=1$。
关于x轴对称的抛物线，顶点横坐标不变、纵坐标取相反数，即新顶点为$(1,5)$，且开口方向与原抛物线相反，二次项系数为$-1$，因此新抛物线的顶点式为：
$y=-(x-1)^2 +5$
展开整理得：
$y=-(x^2 -2x +1)+5=-x^2 +2x +4$
两种方法均得到对称后的抛物线表达式为$y=-x^2 +2x +4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称变换；坐标轴对称变化
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题，解题核心是掌握轴对称下点的坐标变化规律，两种推导方法都较为常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
6.(界首期末)将抛物线$y=-3(x-5)^2+6$绕着它的顶点旋转$180°$，所得的抛物线的表达式为
【变式题】绕顶点旋转→绕原点旋转
在平面直角坐标系中，将抛物线$y=x^2+2x-1$先绕原点旋转$180°$，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式是
y=3(x-5)²+6
。【变式题】绕顶点旋转→绕原点旋转
在平面直角坐标系中，将抛物线$y=x^2+2x-1$先绕原点旋转$180°$，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式是
y=-x²+2x-4
。答案
$y=3(x-5)^2+6$ 【变式题】$y=-x^2+2x-4$
解析
【分析】
1. 原题：抛物线绕顶点旋转180°时，顶点坐标保持不变，仅开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数a变为原来的相反数，其余参数不变，直接代入顶点式即可得到新解析式。
2. 变式题：先根据点绕原点旋转180°的坐标变换规律（点(x,y)绕原点旋转180°后对应点为(-x,-y)），将对应点坐标代入原抛物线解析式，整理得到旋转后的解析式；再根据二次函数平移“上加下减”的规则，向下平移5个单位即给常数项减5，化简后得到最终解析式。
【解析】
原题解析
原抛物线$y=-3(x-5)^2+6$为顶点式，顶点坐标为$(5,6)$，二次项系数$a=-3$。
绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，开口方向反向，因此新的二次项系数为$a=3$，代入顶点式得新抛物线解析式。
变式题解析
第一步：求绕原点旋转180°后的抛物线解析式
设旋转后抛物线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点是由原抛物线上的点$(-x,-y)$旋转得到的，将$(-x,-y)$代入原抛物线$y=x^2+2x-1$得：
$-y = (-x)^2 + 2·(-x) -1$
整理得：$-y = x^2 - 2x -1$，即$y=-x^2+2x+1$。
第二步：求向下平移5个单位后的解析式
根据平移“上加下减”规则，向下平移5个单位即给解析式常数项减5：
$y=-x^2+2x+1 -5 = -x^2+2x-4$。
【答案】
$y=3(x-5)^2+6$；【变式题】$y=-x^2+2x-4$
【知识点】
二次函数图象旋转，二次函数图象平移，中心对称坐标变换
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，区分绕顶点旋转和绕原点旋转的不同规律是解题关键：绕顶点旋转仅改变二次项系数的符号，绕原点旋转需要用中心对称的坐标变换代入原解析式求解，平移时熟练运用“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 原题：抛物线绕顶点旋转180°时，顶点坐标保持不变，仅开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数a变为原来的相反数，其余参数不变，直接代入顶点式即可得到新解析式。
2. 变式题：先根据点绕原点旋转180°的坐标变换规律（点(x,y)绕原点旋转180°后对应点为(-x,-y)），将对应点坐标代入原抛物线解析式，整理得到旋转后的解析式；再根据二次函数平移“上加下减”的规则，向下平移5个单位即给常数项减5，化简后得到最终解析式。
【解析】
原题解析
原抛物线$y=-3(x-5)^2+6$为顶点式，顶点坐标为$(5,6)$，二次项系数$a=-3$。
绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，开口方向反向，因此新的二次项系数为$a=3$，代入顶点式得新抛物线解析式。
变式题解析
第一步：求绕原点旋转180°后的抛物线解析式
设旋转后抛物线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点是由原抛物线上的点$(-x,-y)$旋转得到的，将$(-x,-y)$代入原抛物线$y=x^2+2x-1$得：
$-y = (-x)^2 + 2·(-x) -1$
整理得：$-y = x^2 - 2x -1$，即$y=-x^2+2x+1$。
第二步：求向下平移5个单位后的解析式
根据平移“上加下减”规则，向下平移5个单位即给解析式常数项减5：
$y=-x^2+2x+1 -5 = -x^2+2x-4$。
【答案】
$y=3(x-5)^2+6$；【变式题】$y=-x^2+2x-4$
【知识点】
二次函数图象旋转，二次函数图象平移，中心对称坐标变换
【点评】
本题考查二次函数的图象变换，区分绕顶点旋转和绕原点旋转的不同规律是解题关键：绕顶点旋转仅改变二次项系数的符号，绕原点旋转需要用中心对称的坐标变换代入原解析式求解，平移时熟练运用“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
