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8.(芜湖期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax$与二次函数$y=ax^2 - a$的图象可能是（
C
）答案
8.C
解析
【分析】
本题考查同一参数下一次函数与二次函数图象的匹配判断，解题核心是参数a的取值需同时满足两个函数的图象特征，可通过分类讨论a的正负逐一验证选项：首先根据一次函数y=ax的图象确定a的正负，再验证对应a的取值下二次函数y=ax²-a的开口方向、顶点位置是否符合，若矛盾则排除该选项。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为正，图象经过第一、三象限；
二次函数$y=ax^2 -a$二次项系数为正，开口向上，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴。
观察选项：C选项符合该特征，D选项中二次函数开口向下，与$a＞0$矛盾，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax$斜率为负，图象经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2 -a$二次项系数为负，开口向下，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴。
观察选项：A选项中二次函数开口向上，与$a＜0$矛盾，排除A；B选项中二次函数顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B。
综上只有C选项图象符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住参数在不同函数中的一致性，通过分类讨论验证图象特征是否匹配，能够有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题考查同一参数下一次函数与二次函数图象的匹配判断，解题核心是参数a的取值需同时满足两个函数的图象特征，可通过分类讨论a的正负逐一验证选项：首先根据一次函数y=ax的图象确定a的正负，再验证对应a的取值下二次函数y=ax²-a的开口方向、顶点位置是否符合，若矛盾则排除该选项。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax$过原点，斜率为正，图象经过第一、三象限；
二次函数$y=ax^2 -a$二次项系数为正，开口向上，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴。
观察选项：C选项符合该特征，D选项中二次函数开口向下，与$a＞0$矛盾，排除D。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax$斜率为负，图象经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2 -a$二次项系数为负，开口向下，顶点坐标为$(0,-a)$，$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴。
观察选项：A选项中二次函数开口向上，与$a＜0$矛盾，排除A；B选项中二次函数顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B。
综上只有C选项图象符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住参数在不同函数中的一致性，通过分类讨论验证图象特征是否匹配，能够有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9.已知二次函数$y=x^2 - a$与一次函数$y=2x + 2a$（$a$是常数）的图象交于两个不同的点A,B.若点A的横坐标是-1,则点B的横坐标是
3
.答案
9.3
解析
【分析】
要解决本题，首先明确两个函数图象交点的横坐标，就是将两个函数解析式联立后消去y得到的一元二次方程的根。解题步骤如下：第一步，联立二次函数与一次函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程；第二步，将已知的点A的横坐标x=-1代入方程，求出常数a的值；第三步，把a代回一元二次方程，解方程求出另一个根，即为点B的横坐标。也可以利用一元二次方程根与系数的关系直接求出另一个根，简化计算。
【解析】
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x^2 - a \\y = 2x + 2a\end{cases}$
消去y，整理得关于x的一元二次方程：
$x^2 - 2x - 3a = 0$
已知点A的横坐标为-1，即$x=-1$是上述方程的一个根，将$x=-1$代入方程：
$(-1)^2 - 2×(-1) - 3a = 0$
计算得：$1 + 2 - 3a = 0$，解得$a=1$。
将$a=1$代回$x^2 - 2x - 3a = 0$，得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因此点B的横坐标是3。
【答案】
3
【知识点】
函数图象交点问题；一元二次方程的解；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数与方程的对应关系，解题的关键是理解两个函数图象交点的横坐标就是联立解析式所得方程的根，掌握一元二次方程的求解方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确两个函数图象交点的横坐标，就是将两个函数解析式联立后消去y得到的一元二次方程的根。解题步骤如下：第一步，联立二次函数与一次函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程；第二步，将已知的点A的横坐标x=-1代入方程，求出常数a的值；第三步，把a代回一元二次方程，解方程求出另一个根，即为点B的横坐标。也可以利用一元二次方程根与系数的关系直接求出另一个根，简化计算。
【解析】
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x^2 - a \\y = 2x + 2a\end{cases}$
消去y，整理得关于x的一元二次方程：
$x^2 - 2x - 3a = 0$
已知点A的横坐标为-1，即$x=-1$是上述方程的一个根，将$x=-1$代入方程：
$(-1)^2 - 2×(-1) - 3a = 0$
计算得：$1 + 2 - 3a = 0$，解得$a=1$。
将$a=1$代回$x^2 - 2x - 3a = 0$，得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因此点B的横坐标是3。
【答案】
3
【知识点】
函数图象交点问题；一元二次方程的解；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数与方程的对应关系，解题的关键是理解两个函数图象交点的横坐标就是联立解析式所得方程的根，掌握一元二次方程的求解方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
10. 分类讨论新理念 已知二次函数的图象过原点及点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$，且与$x$轴的另一个交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为
$y=x^2+x$或$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x$
。答案
10.$y=x^2+x$或$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x$
解析
【分析】
解题时首先抓住“与x轴的另一个交点到原点的距离为1”这一条件，可知该交点坐标有两种可能：$(1,0)$或$(-1,0)$，这是本题分类讨论的依据。已知二次函数过原点$(0,0)$和上述x轴上的交点，可优先选择交点式设二次函数解析式，再将已知点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入求出系数$a$，分别计算两种情况即可得到所有符合条件的解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次函数与x轴的另一个交点坐标为$(1,0)$时：
∵ 二次函数过$(0,0)$和$(1,0)$，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax(x-1)$（$a≠0$）。
将点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{4}=a×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2}-1)$
化简得：$-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3a}{4}$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
代入得解析式：$y=-\dfrac{1}{3}x(x-1)=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$。
2. 当二次函数与x轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$时：
∵ 二次函数过$(0,0)$和$(-1,0)$，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax(x+1)$（$a≠0$）。
将点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{4}=a×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2}+1)$
化简得：$-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{a}{4}$，解得$a=1$。
代入得解析式：$y=x(x+1)=x^2+x$。
综上，该二次函数的表达式为$y=x^2+x$或$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$。
【答案】
$y=x^2+x$或$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$
【知识点】
二次函数解析式确定；分类讨论思想；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在二次函数问题中的应用，易错点是容易忽略与x轴交点在负半轴的情况，导致漏解。选择交点式求解二次函数解析式可大幅简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住“与x轴的另一个交点到原点的距离为1”这一条件，可知该交点坐标有两种可能：$(1,0)$或$(-1,0)$，这是本题分类讨论的依据。已知二次函数过原点$(0,0)$和上述x轴上的交点，可优先选择交点式设二次函数解析式，再将已知点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入求出系数$a$，分别计算两种情况即可得到所有符合条件的解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次函数与x轴的另一个交点坐标为$(1,0)$时：
∵ 二次函数过$(0,0)$和$(1,0)$，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax(x-1)$（$a≠0$）。
将点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{4}=a×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2}-1)$
化简得：$-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3a}{4}$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
代入得解析式：$y=-\dfrac{1}{3}x(x-1)=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$。
2. 当二次函数与x轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$时：
∵ 二次函数过$(0,0)$和$(-1,0)$，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax(x+1)$（$a≠0$）。
将点$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4})$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{4}=a×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2}+1)$
化简得：$-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{a}{4}$，解得$a=1$。
代入得解析式：$y=x(x+1)=x^2+x$。
综上，该二次函数的表达式为$y=x^2+x$或$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$。
【答案】
$y=x^2+x$或$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x$
【知识点】
二次函数解析式确定；分类讨论思想；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在二次函数问题中的应用，易错点是容易忽略与x轴交点在负半轴的情况，导致漏解。选择交点式求解二次函数解析式可大幅简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
11.已知二次函数$y=x^2+4x+c$的图象的顶点P在一次函数$y=3x+5$的图象上.
(1)求顶点P的坐标.
(2)除点P外,这两个函数的图象是否还存在其他公共点?若存在,请求出它的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求顶点P的坐标.
(2)除点P外,这两个函数的图象是否还存在其他公共点?若存在,请求出它的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
11.解:(1)
∵$y=x^2+4x+c=(x+2)^2+c-4 $,
∴抛物线的顶点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,c-4) $,把 $ (-2,c-4) $ 代入 $ y=3x+5 $,得 $ -6+5=c-4 $,解得 $ c=3 $.
∴顶点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,-1) $.(2)由(1)可知二次函数的表达式为 $ y=x^2+4x+3 $,联立$\begin{cases}y=x^2+4x+3,\\y=3x+5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-2,\\y=-1,\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=1,\\y=8.\end{cases}$
∴两个函数图象除公共点 $ P(-2,-1) $,还有一个公共点 $ (1,8) $.
∵$y=x^2+4x+c=(x+2)^2+c-4 $,
∴抛物线的顶点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,c-4) $,把 $ (-2,c-4) $ 代入 $ y=3x+5 $,得 $ -6+5=c-4 $,解得 $ c=3 $.
∴顶点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,-1) $.(2)由(1)可知二次函数的表达式为 $ y=x^2+4x+3 $,联立$\begin{cases}y=x^2+4x+3,\\y=3x+5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-2,\\y=-1,\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=1,\\y=8.\end{cases}$
∴两个函数图象除公共点 $ P(-2,-1) $,还有一个公共点 $ (1,8) $.
解析
【分析】
(1) 求顶点P的坐标时，先利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，得到用含c的代数式表示的顶点坐标，再结合顶点在一次函数图象上的条件，将顶点坐标代入一次函数解析式求出c的值，即可确定顶点P的坐标。
(2) 判断两个函数图象是否存在其他公共点，只需将两个函数解析式联立为方程组，求解方程组，若方程组存在除点P对应解之外的其他解，说明存在其他公共点，解对应的坐标就是公共点坐标。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方可得：
$y=x^2+4x+c=(x+2)^2+c-4$
因此抛物线顶点P的坐标为$(-2,c-4)$，将$(-2,c-4)$代入$y=3x+5$得：
$c-4=3×(-2)+5$
计算得$c-4=-1$，解得$c=3$，因此顶点P的坐标为$(-2,-1)$。
(2) 由(1)可知二次函数的表达式为$y=x^2+4x+3$，联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=x^2+4x+3\\y=3x+5\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子消去y，整理得$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$。
当$x=-2$时，$y=-1$，对应点P$(-2,-1)$；当$x=1$时，$y=3×1+5=8$，对应另一公共点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,-1)}$
(2) 存在，其他公共点坐标为$\boldsymbol{(1,8)}$
【知识点】
二次函数的顶点式；函数交点与方程组的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于函数综合基础题，重点考察配方法求二次函数顶点坐标、联立解析式求函数交点的核心方法，解题逻辑清晰，计算难度低，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求顶点P的坐标时，先利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，得到用含c的代数式表示的顶点坐标，再结合顶点在一次函数图象上的条件，将顶点坐标代入一次函数解析式求出c的值，即可确定顶点P的坐标。
(2) 判断两个函数图象是否存在其他公共点，只需将两个函数解析式联立为方程组，求解方程组，若方程组存在除点P对应解之外的其他解，说明存在其他公共点，解对应的坐标就是公共点坐标。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方可得：
$y=x^2+4x+c=(x+2)^2+c-4$
因此抛物线顶点P的坐标为$(-2,c-4)$，将$(-2,c-4)$代入$y=3x+5$得：
$c-4=3×(-2)+5$
计算得$c-4=-1$，解得$c=3$，因此顶点P的坐标为$(-2,-1)$。
(2) 由(1)可知二次函数的表达式为$y=x^2+4x+3$，联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=x^2+4x+3\\y=3x+5\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子消去y，整理得$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$。
当$x=-2$时，$y=-1$，对应点P$(-2,-1)$；当$x=1$时，$y=3×1+5=8$，对应另一公共点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,-1)}$
(2) 存在，其他公共点坐标为$\boldsymbol{(1,8)}$
【知识点】
二次函数的顶点式；函数交点与方程组的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于函数综合基础题，重点考察配方法求二次函数顶点坐标、联立解析式求函数交点的核心方法，解题逻辑清晰，计算难度低，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
教材拓展角
交点式的延伸——利用抛物线上的对称点求表达式
——教材 P24 练习 T3 延伸
阅读材料:如果知道抛物线与 x 轴两交点的坐标$(x_1,0)(x_2,0)$，我们一般设 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$求函数表达式.类似地,如果知道抛物线上任意一对对称点$(x_1,c),(x_2,c)$，可设交点式的拓展式 $y=a(x-x_1)(x-x_2)+c(a≠0)$来求函数表达式.
解答下列问题:
如图,已知抛物线 $y=x^2+mx+n$ 经过点 $A(-5,2),B(3,2)$.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)利用函数图象,求当 $-5＜x≤0$ 时,$y$ 的取值范围.
交点式的延伸——利用抛物线上的对称点求表达式
——教材 P24 练习 T3 延伸
阅读材料:如果知道抛物线与 x 轴两交点的坐标$(x_1,0)(x_2,0)$，我们一般设 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$求函数表达式.类似地,如果知道抛物线上任意一对对称点$(x_1,c),(x_2,c)$，可设交点式的拓展式 $y=a(x-x_1)(x-x_2)+c(a≠0)$来求函数表达式.
解答下列问题:
如图,已知抛物线 $y=x^2+mx+n$ 经过点 $A(-5,2),B(3,2)$.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)利用函数图象,求当 $-5＜x≤0$ 时,$y$ 的取值范围.
答案
(1)
∵抛物线 $y=x^2+mx+n$ 经过点 $A(-5,2),B(3,2)$,
∴抛物线的函数表达式为 $y=(x+5)(x-3)+2=x^2+2x-13$.
(2)由(1)得 $y=x^2+2x-13=(x+1)^2-14$,
∴当 $x=-1$ 时,$y$ 有最小值,最小值为 $-14$;当 $x=-5$ 时,$y=2$;当 $x=0$ 时,$y=-13$.
∴当$-5＜x≤0$时,$y$ 的取值范围是 $-14≤y＜2$.
∵抛物线 $y=x^2+mx+n$ 经过点 $A(-5,2),B(3,2)$,
∴抛物线的函数表达式为 $y=(x+5)(x-3)+2=x^2+2x-13$.
(2)由(1)得 $y=x^2+2x-13=(x+1)^2-14$,
∴当 $x=-1$ 时,$y$ 有最小值,最小值为 $-14$;当 $x=-5$ 时,$y=2$;当 $x=0$ 时,$y=-13$.
∴当$-5＜x≤0$时,$y$ 的取值范围是 $-14≤y＜2$.
解析
【分析】
(1) 点A、B纵坐标相同，属于抛物线上的对称点，符合题目给出的拓展交点式的使用条件，其中x₁=-5、x₂=3、c=2，且已知抛物线二次项系数为1，代入拓展式后展开即可得到函数表达式。
(2) 求指定区间内y的取值范围时，先将二次函数解析式配方为顶点式，确定对称轴和函数最小值，再计算区间端点的函数值，结合函数增减性对比各值大小，就能得到y的取值范围。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+mx+n$经过点$A(-5,2)$、$B(3,2)$，根据拓展交点式可得：
$\begin{aligned}y&=(x+5)(x-3)+2\\&=x^2+2x-15+2\\&=x^2+2x-13\end{aligned}$
(2) 将(1)所得解析式配方为顶点式：
$y=x^2+2x-13=(x+1)^2-14$
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-14)$，即当$x=-1$时，$y$取最小值$-14$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-5$时，$y=2$（$x=-5$为开区间端点，$y$取不到2）；
当$x=0$时，$y=0^2+2×0-13=-13$。
结合函数图象可知，在$-5＜x≤0$范围内，$y$的最小值为$-14$，最大值小于2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-13}$
(2) $\boldsymbol{-14≤ y＜2}$
【知识点】
二次函数解析式求法；二次函数的对称性；二次函数区间最值
【点评】
本题结合新定义的拓展交点式，简化了已知对称点时二次函数解析式的求解步骤，再通过配方结合函数图象判断指定区间的函数值范围，既考查对新方法的理解运用能力，也巩固了二次函数基本性质的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 点A、B纵坐标相同，属于抛物线上的对称点，符合题目给出的拓展交点式的使用条件，其中x₁=-5、x₂=3、c=2，且已知抛物线二次项系数为1，代入拓展式后展开即可得到函数表达式。
(2) 求指定区间内y的取值范围时，先将二次函数解析式配方为顶点式，确定对称轴和函数最小值，再计算区间端点的函数值，结合函数增减性对比各值大小，就能得到y的取值范围。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+mx+n$经过点$A(-5,2)$、$B(3,2)$，根据拓展交点式可得：
$\begin{aligned}y&=(x+5)(x-3)+2\\&=x^2+2x-15+2\\&=x^2+2x-13\end{aligned}$
(2) 将(1)所得解析式配方为顶点式：
$y=x^2+2x-13=(x+1)^2-14$
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-14)$，即当$x=-1$时，$y$取最小值$-14$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-5$时，$y=2$（$x=-5$为开区间端点，$y$取不到2）；
当$x=0$时，$y=0^2+2×0-13=-13$。
结合函数图象可知，在$-5＜x≤0$范围内，$y$的最小值为$-14$，最大值小于2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-13}$
(2) $\boldsymbol{-14≤ y＜2}$
【知识点】
二次函数解析式求法；二次函数的对称性；二次函数区间最值
【点评】
本题结合新定义的拓展交点式，简化了已知对称点时二次函数解析式的求解步骤，再通过配方结合函数图象判断指定区间的函数值范围，既考查对新方法的理解运用能力，也巩固了二次函数基本性质的应用。
【难度系数】
0.7
