登录
1.已知抛物线$y=-x^2+4x$如图所示，那么不等式$-x^2+4x＞0$的解集是（
A.$x＜0$或$x＞4$
B.$x＜0$或$x＞2$
C.$0＜x＜2$
D.$0＜x＜4$
D
）A.$x＜0$或$x＞4$
B.$x＜0$或$x＞2$
C.$0＜x＜2$
D.$0＜x＜4$
答案
1.D
解析
【分析】
要解不等式$-x^2+4x＞0$，可结合二次函数图象分析：不等式的解集对应抛物线$y=-x^2+4x$的图象位于x轴上方时x的取值范围。解题步骤分为两步：第一步先求抛物线与x轴的交点坐标，可通过解方程$-x^2+4x=0$得到交点的横坐标；第二步结合抛物线的开口方向，判断图象在x轴上方对应的x区间即可。
【解析】
不等式$-x^2+4x＞0$等价于二次函数$y=-x^2+4x$的函数值大于0，即图象位于x轴上方的部分对应的x取值。
1. 求抛物线与x轴的交点：令$y=0$，则$-x^2+4x=0$，因式分解得$-x(x-4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$，即抛物线与x轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$。
2. 分析图象位置：由二次项系数$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，因此开口向下的抛物线在两个交点之间的部分位于x轴上方，对应$y＞0$，即x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次不等式结合的基础题型，解题核心是理解不等式对应的函数图象位置特征，结合抛物线与x轴的交点和开口方向即可快速得出解集，熟练掌握该方法能大幅提升不等式求解的效率。
【难度系数】
0.8
要解不等式$-x^2+4x＞0$，可结合二次函数图象分析：不等式的解集对应抛物线$y=-x^2+4x$的图象位于x轴上方时x的取值范围。解题步骤分为两步：第一步先求抛物线与x轴的交点坐标，可通过解方程$-x^2+4x=0$得到交点的横坐标；第二步结合抛物线的开口方向，判断图象在x轴上方对应的x区间即可。
【解析】
不等式$-x^2+4x＞0$等价于二次函数$y=-x^2+4x$的函数值大于0，即图象位于x轴上方的部分对应的x取值。
1. 求抛物线与x轴的交点：令$y=0$，则$-x^2+4x=0$，因式分解得$-x(x-4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$，即抛物线与x轴交于点$(0,0)$和$(4,0)$。
2. 分析图象位置：由二次项系数$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，因此开口向下的抛物线在两个交点之间的部分位于x轴上方，对应$y＞0$，即x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次不等式结合的基础题型，解题核心是理解不等式对应的函数图象位置特征，结合抛物线与x轴的交点和开口方向即可快速得出解集，熟练掌握该方法能大幅提升不等式求解的效率。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知二次函数$y_1=ax^2+bx+c$与一次函数$y_2=kx+m$的图象相交于点$A(-2,4),B(8,2)$,则当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围是（
A.$x＜-2$
B.$x＜8$
C.$x＜-2$或$x＞8$
D.$-2＜x＜8$
C
）A.$x＜-2$
B.$x＜8$
C.$x＜-2$或$x＞8$
D.$-2＜x＜8$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，首先明确函数值大小关系的几何意义：$y_1＞y_2$对应二次函数图象在一次函数图象上方的部分。两个函数的交点是函数值相等的位置，是解集的分界点，结合图象的上下位置分布，就能直接读出对应的$x$的范围。
【解析】
$y_1＞y_2$表示二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象位于一次函数$y_2=kx+m$图象上方时对应$x$的取值。
已知两函数图象交于$A(-2,4)$、$B(8,2)$两点，观察图象可得：
1. 当$x＜-2$时，抛物线在直线上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-2＜x＜8$时，直线在抛物线上方，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
3. 当$x＞8$时，抛物线再次位于直线上方，满足$y_1＞y_2$。
因此$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞8$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数与不等式的关系，二次函数图象，一次函数图象
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题关键是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，无需计算解析式，直接通过读图即可得到结果，属于基础的函数图象应用类题目。
【难度系数】
0.7
要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，首先明确函数值大小关系的几何意义：$y_1＞y_2$对应二次函数图象在一次函数图象上方的部分。两个函数的交点是函数值相等的位置，是解集的分界点，结合图象的上下位置分布，就能直接读出对应的$x$的范围。
【解析】
$y_1＞y_2$表示二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象位于一次函数$y_2=kx+m$图象上方时对应$x$的取值。
已知两函数图象交于$A(-2,4)$、$B(8,2)$两点，观察图象可得：
1. 当$x＜-2$时，抛物线在直线上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-2＜x＜8$时，直线在抛物线上方，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
3. 当$x＞8$时，抛物线再次位于直线上方，满足$y_1＞y_2$。
因此$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞8$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数与不等式的关系，二次函数图象，一次函数图象
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题关键是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，无需计算解析式，直接通过读图即可得到结果，属于基础的函数图象应用类题目。
【难度系数】
0.7
3.(合肥月考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的一部分如图所示，与x轴的一个交点为$M(-5,0)$，对称轴为直线$x=-2$。当$y＜0$时，x的取值范围是（
A.$x＜-5$
B.$x＜-5$或$x＞1$
C.$-5＜x＜1$
D.$-5＜x＜-2$
（第3题图）
（第4题图）
C
）A.$x＜-5$
B.$x＜-5$或$x＞1$
C.$-5＜x＜1$
D.$-5＜x＜-2$
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，二次函数的图象是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点和对称轴，我们可以先求出另一个与x轴的交点坐标；其次，$y＜0$对应的是二次函数图象在x轴下方的部分，结合开口方向，就能确定对应的x的取值范围。
【解析】
第一步：求二次函数与x轴的另一个交点坐标
已知二次函数对称轴为直线$x=-2$，与x轴的一个交点为$M(-5,0)$，设另一个交点坐标为$(x,0)$。
根据二次函数的对称性，两个交点的中点在对称轴上，因此有：
$\frac{-5+x}{2}=-2$
解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$。
第二步：确定$y＜0$时x的取值范围
观察图象可知二次函数开口向上，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应的x的取值在两个交点之间，即$-5＜x＜1$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的轴对称性求出未知的交点坐标，再结合数形结合思想，通过图象判断不等式的解集，熟练掌握二次函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，二次函数的图象是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点和对称轴，我们可以先求出另一个与x轴的交点坐标；其次，$y＜0$对应的是二次函数图象在x轴下方的部分，结合开口方向，就能确定对应的x的取值范围。
【解析】
第一步：求二次函数与x轴的另一个交点坐标
已知二次函数对称轴为直线$x=-2$，与x轴的一个交点为$M(-5,0)$，设另一个交点坐标为$(x,0)$。
根据二次函数的对称性，两个交点的中点在对称轴上，因此有：
$\frac{-5+x}{2}=-2$
解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$。
第二步：确定$y＜0$时x的取值范围
观察图象可知二次函数开口向上，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应的x的取值在两个交点之间，即$-5＜x＜1$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的轴对称性求出未知的交点坐标，再结合数形结合思想，通过图象判断不等式的解集，熟练掌握二次函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 4 $ 的图象如图所示，则使 $ y ≤ 1 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是
$x≤-1$
$x≥3$
.答案
4.$x≤-1$或$x≥3$
解析
【分析】
要确定使$y≤1$成立的$x$的取值范围，可按以下思路思考：首先$y≤1$的本质是二次函数图象上点的纵坐标小于等于1，对应图象为抛物线位于直线$y=1$及下方的部分。第一步先求出$y=1$时对应的$x$值，即求解一元二次方程$-x^2+2x+4=1$的根；第二步结合抛物线开口方向判断取值区间：开口向下的抛物线，函数值小于等于某一常数时，$x$的取值在方程两根的外侧，也可结合图象直接验证结果。
【解析】
解：令$y=1$，代入二次函数解析式得：
$\quad -x^2 + 2x + 4 = 1$
移项整理得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=3$
∵二次函数$y=-x^2+2x+4$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下
∴当$y≤1$时，$x$的取值范围为$x≤-1$或$x≥3$
【答案】
$x≤-1$或$x≥3$
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程求解；函数与不等式转化
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，既可以通过代数方法解方程结合抛物线开口方向判断解集，也可以直接观察函数图象得到取值范围，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定使$y≤1$成立的$x$的取值范围，可按以下思路思考：首先$y≤1$的本质是二次函数图象上点的纵坐标小于等于1，对应图象为抛物线位于直线$y=1$及下方的部分。第一步先求出$y=1$时对应的$x$值，即求解一元二次方程$-x^2+2x+4=1$的根；第二步结合抛物线开口方向判断取值区间：开口向下的抛物线，函数值小于等于某一常数时，$x$的取值在方程两根的外侧，也可结合图象直接验证结果。
【解析】
解：令$y=1$，代入二次函数解析式得：
$\quad -x^2 + 2x + 4 = 1$
移项整理得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=3$
∵二次函数$y=-x^2+2x+4$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下
∴当$y≤1$时，$x$的取值范围为$x≤-1$或$x≥3$
【答案】
$x≤-1$或$x≥3$
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程求解；函数与不等式转化
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，既可以通过代数方法解方程结合抛物线开口方向判断解集，也可以直接观察函数图象得到取值范围，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$和函数值$y$的部分对应值如下表所示，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c-5≤0$的解集为
$-2≤x≤0$
。答案
5.$-2≤x≤0$
解析
【分析】
解题时先观察表格中y的取值规律，首先找到y值相等的两组对应x，利用二次函数的对称性求出对称轴，再根据y的最小值判断抛物线开口方向，接着将所求不等式变形为y≤5的形式，最后结合抛物线开口方向和y=5对应的x值，即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 观察表格数据：当x=-2和x=0时，y都等于5，说明这两个点在二次函数图象上且关于对称轴对称，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$；
2. 看x=-1时y=4，是表格中y的最小值，说明二次函数开口向上（a＞0）；
3. 不等式$ax^2+bx+c-5≤0$可变形为$ax^2+bx+c≤5$，也就是求$y≤5$时x的取值范围；
4. 已知开口向上的二次函数，函数值小于等于5时，x的取值在y=5对应的两个x值之间，即x在-2和0之间，包含端点。
【答案】
$-2≤x≤0$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；一元二次不等式解集
【点评】
本题考查二次函数性质和一元二次不等式的结合应用，解题关键是通过表格数据快速判断二次函数的对称轴和开口方向，结合函数图象的特征求解不等式，不需要求出函数解析式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先观察表格中y的取值规律，首先找到y值相等的两组对应x，利用二次函数的对称性求出对称轴，再根据y的最小值判断抛物线开口方向，接着将所求不等式变形为y≤5的形式，最后结合抛物线开口方向和y=5对应的x值，即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 观察表格数据：当x=-2和x=0时，y都等于5，说明这两个点在二次函数图象上且关于对称轴对称，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$；
2. 看x=-1时y=4，是表格中y的最小值，说明二次函数开口向上（a＞0）；
3. 不等式$ax^2+bx+c-5≤0$可变形为$ax^2+bx+c≤5$，也就是求$y≤5$时x的取值范围；
4. 已知开口向上的二次函数，函数值小于等于5时，x的取值在y=5对应的两个x值之间，即x在-2和0之间，包含端点。
【答案】
$-2≤x≤0$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；一元二次不等式解集
【点评】
本题考查二次函数性质和一元二次不等式的结合应用，解题关键是通过表格数据快速判断二次函数的对称轴和开口方向，结合函数图象的特征求解不等式，不需要求出函数解析式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象过点 $ A(1,0), B(4,3) $.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象与直线 $ y = mx + n $ 交于 $ A,B $ 两点,请结合图象直接写出不等式 $ x^2 + (b - m)x + c ≥ n $ 的解集.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象与直线 $ y = mx + n $ 交于 $ A,B $ 两点,请结合图象直接写出不等式 $ x^2 + (b - m)x + c ≥ n $ 的解集.
答案
6.解:(1)把$ A(1,0),B(4,3) $代入$ y=x^2+bx+c $,得$\begin{cases}1+b+c=0,\\16+4b+c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-4,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$这个二次函数的表达式为$ y=x^2-4x+3 $.(2)$x≤1$或$x≥4$.【解析】$\because x^2+(b-m)x+c≥n,\therefore x^2+bx+c≥mx+n.$ $\therefore$不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为二次函数图象在一次函数图象上方部分所对应的$x$的取值范围,即不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为$x≤1$或$x≥4$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式可采用待定系数法，已知二次函数图象经过A、B两个点，将两点坐标代入二次函数一般式，就能得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可得到解析式；
(2) 先对不等式变形，转化为“二次函数值≥一次函数值”的形式，其几何意义是二次函数图象在一次函数图象上方（包含交点）的部分，对应x的取值就是不等式的解集，结合两函数交点的横坐标即可确定解集。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(4,3)$代入$y = x^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\16+4b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$15+3b=3$，解得$b=-4$；
将$b=-4$代入$1+b+c=0$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 对不等式$x^2 + (b - m)x + c ≥ n$移项可得$x^2+bx+c ≥ mx+n$，即二次函数$y=x^2+bx+c$的函数值大于等于一次函数$y=mx+n$的函数值，对应图象为抛物线在直线上方（含交点）的部分。
已知两函数交点为$A(1,0)$、$B(4,3)$，结合图象可得不等式的解集为$x≤1$或$x≥4$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $x≤1$或$x≥4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规应用，第二问需要理解函数值大小关系和图象位置的对应关系，体现了数形结合的数学思想，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数表达式可采用待定系数法，已知二次函数图象经过A、B两个点，将两点坐标代入二次函数一般式，就能得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可得到解析式；
(2) 先对不等式变形，转化为“二次函数值≥一次函数值”的形式，其几何意义是二次函数图象在一次函数图象上方（包含交点）的部分，对应x的取值就是不等式的解集，结合两函数交点的横坐标即可确定解集。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(4,3)$代入$y = x^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\16+4b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$15+3b=3$，解得$b=-4$；
将$b=-4$代入$1+b+c=0$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 对不等式$x^2 + (b - m)x + c ≥ n$移项可得$x^2+bx+c ≥ mx+n$，即二次函数$y=x^2+bx+c$的函数值大于等于一次函数$y=mx+n$的函数值，对应图象为抛物线在直线上方（含交点）的部分。
已知两函数交点为$A(1,0)$、$B(4,3)$，结合图象可得不等式的解集为$x≤1$或$x≥4$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $x≤1$或$x≥4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规应用，第二问需要理解函数值大小关系和图象位置的对应关系，体现了数形结合的数学思想，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
