6.如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,6),B(\frac{3}{a},a-3)$,与x轴交于点C,与y轴交于点D.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)求不等式组$\frac{m}{x}＜kx+b＜0$的解集.

6.解:(1)把 $A(-1,6)$代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $6=\frac{m}{-1}$,解得 $m=-6. \therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{6}{x}$. 把 $B(\frac{3}{a},a-3)$代入 $y=-\frac{6}{x}$,得 $\frac{3}{a}(a-3)=-6$,解得 $a=1. \therefore B(3,-2)$. 把 $A(-1,6),B(3,-2)$代入 $y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=6,\\3k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=4.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-2x+4$. (2)把 $y=0$ 代入 $y=-2x+4$,得 $0=-2x+4$,解得 $x=2. \therefore C(2,0)$. 由图象,得不等式组 $\frac{m}{x}＜kx+b＜0$ 的解集是 $2＜x＜3$.

【分析】
(1) 求解函数表达式使用待定系数法：①反比例函数仅需1个已知点即可求解析式，先将点A代入反比例函数求出m的值，得到反比例函数表达式；②点B在反比例函数图象上，将B的坐标代入已得的反比例函数，求出a的值得到B的具体坐标；③一次函数需要2个点求解析式，将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 求解不等式组需结合图象分析：①先求$kx+b＜0$的解集，即一次函数图象在x轴下方对应的x的取值范围，先求出一次函数与x轴交点C的坐标即可得到该部分解集；②再求$\frac{m}{x}＜kx+b$的解集，即反比例函数图象在一次函数图象下方对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标分析；最后取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
(1) 将点$A(-1,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得：
$6=\frac{m}{-1}$，解得$m=-6$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$B(\frac{3}{a},a-3)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得：
$\frac{3}{a}×(a-3)=-6$，解得$a=1$，
∴B点坐标为$(3,-2)$。
将$A(-1,6)$、$B(3,-2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=6\\3k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=4\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
(2) 将$y=0$代入$y=-2x+4$，得：
$0=-2x+4$，解得$x=2$，即一次函数与x轴交点$C(2,0)$。
结合图象：$kx+b＜0$对应一次函数图象在x轴下方的部分，解集为$x＞2$；$\frac{m}{x}＜kx+b$对应反比例函数图象在一次函数图象下方的部分，解集为$x＜-1$或$0＜x＜3$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$2＜x＜3$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+4}$；
(2) 不等式组的解集为$\boldsymbol{2＜x＜3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与不等式，函数图象交点应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常见综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础方法，又考查了数形结合思想解不等式的能力，解题时要注意结合交点坐标准确划分取值范围。
【难度系数】
0.7

7.(江西中考)如图,直线$l:y=\frac{2}{3}x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(6,2)$。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式。
(2)将直线$l$向上平移,在$x$轴上方与反比例函数图象交于点$C$,连接$OA,OC$.当$∠1=∠2$时,求点$C$的坐标及直线$l$平移的距离。

7.解:(1)将 $A(6,2)$ 分别代入 $y=\frac{2}{3}x+m,y=\frac{k}{x}$,得 $\frac{2}{3} × 6+m=2,2=\frac{k}{6}$,解得 $m=-2,k=12. \therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\frac{2}{3}x-2$,反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$. (2) $\because ∠ 1=∠ 2$,反比例函数的图象关于直线 $y=x$ 对称, $\therefore$ 点 $A$ 与点 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称. 由 $A(6,2)$,易得 $C(2,6)$. 设平移的距离为 $n$,则平移后的直线对应的函数表达式为 $y=\frac{2}{3}x-2+n$. 将 $C(2,6)$ 代入,得 $\frac{2}{3} × 2-2+n=6$,解得 $n=\frac{20}{3}. \therefore$ 直线 $l$ 向上平移的距离为 $\frac{20}{3}$.

【分析】
(1) 求函数表达式优先使用待定系数法，已知点A是一次函数和反比例函数的公共交点，将A点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出未知参数m、k，进而得到两个函数的表达式。
(2) 已知∠1是OA与x轴正方向的夹角，∠2是OC与y轴正方向的夹角，由∠1=∠2，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于直线$y=x$对称的性质，可得点A与点C关于直线$y=x$对称，互换A点横纵坐标即可得到C点坐标；直线向上平移时斜率不变，截距随平移距离增大，设平移距离为n，写出平移后的直线解析式，代入C点坐标即可求出平移距离。
【解析】
(1) 将点$A(6,2)$分别代入$y=\frac{2}{3}x+m$和$y=\frac{k}{x}$：
代入一次函数得：$\frac{2}{3} × 6 + m = 2$，解得$m=-2$；
代入反比例函数得：$2 = \frac{k}{6}$，解得$k=12$。
因此一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x - 2$，反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 因为$∠1=∠2$，且反比例函数图象关于直线$y=x$对称，所以点A与点C关于直线$y=x$对称。
由$A(6,2)$可得C点坐标为$(2,6)$。
设直线l向上平移的距离为n，根据一次函数平移“上加下减”的规律，平移后的直线解析式为$y=\frac{2}{3}x - 2 + n$。
将$C(2,6)$代入平移后的解析式：$\frac{2}{3} × 2 - 2 + n = 6$，解得$n=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x - 2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$，直线l向上平移的距离为$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数对称性、一次函数平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查待定系数法的应用和函数图象的基本性质，解题的突破口是结合角度相等的条件，利用反比例函数的对称性快速得到点C的坐标，是函数模块的典型常考题。
【难度系数】
0.7