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8.(合肥高新区一模)如图,一次函数$y=kx+b$($k≠0$)的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$($m≠0$)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,点A的坐标为$(-3,4)$,点B的坐标为$(6,n)$.
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接OA,OB,求$△ AOB$的面积.
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接OA,OB,求$△ AOB$的面积.
答案
8.解:(1)将 $A(-3,4)$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $4=\frac{m}{-3}$,解得 $m=-12. \therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{12}{x}$. 将 $B(6,n)$ 代入 $y=-\frac{12}{x}$,得 $n=-\frac{12}{6}=-2, \therefore B(6,-2)$. 将 $A(-3,4),B(6,-2)$ 代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases}-3k+b=4,\\6k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x+2$. (2)令 $-\frac{2}{3}x+2=0$,解得 $x=3. \therefore C(3,0). \therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × 3 × 4+\frac{1}{2} × 3 × 2=9$.
解析
【分析】
(1)求函数表达式可使用待定系数法：首先反比例函数仅含1个未知参数m，将已知点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出一次函数表达式。
(2)求解$△ AOB$的面积时，由于$△ AOB$没有边在坐标轴上，直接计算较复杂，可先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底边OC，高分别为点A、点B纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积求和即可。
【解析】
(1) 将$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$4=\frac{m}{-3}$，解得$m=-12$
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$
将$B(6,n)$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$n=-\frac{12}{6}=-2$，即$B(6,-2)$
将$A(-3,4)$、$B(6,-2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-3k+b=4\\6k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$
(2) 令一次函数$y=-\frac{2}{3}x+2$中$y=0$，得：
$-\frac{2}{3}x+2=0$，解得$x=3$
即一次函数与x轴交点$C(3,0)$，$OC=3$
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC×|y_A|+\frac{1}{2}× OC×|y_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×2=6+3=9$
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数交点坐标计算
3. 坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考察核心知识点清晰，解题思路固定，重点要求学生掌握待定系数法的应用，以及利用分割法将不规则三角形转化为易计算面积的图形的技巧，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)求函数表达式可使用待定系数法：首先反比例函数仅含1个未知参数m，将已知点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出一次函数表达式。
(2)求解$△ AOB$的面积时，由于$△ AOB$没有边在坐标轴上，直接计算较复杂，可先求出一次函数与x轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底边OC，高分别为点A、点B纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积求和即可。
【解析】
(1) 将$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$4=\frac{m}{-3}$，解得$m=-12$
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$
将$B(6,n)$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$n=-\frac{12}{6}=-2$，即$B(6,-2)$
将$A(-3,4)$、$B(6,-2)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-3k+b=4\\6k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=2\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$
(2) 令一次函数$y=-\frac{2}{3}x+2$中$y=0$，得：
$-\frac{2}{3}x+2=0$，解得$x=3$
即一次函数与x轴交点$C(3,0)$，$OC=3$
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC×|y_A|+\frac{1}{2}× OC×|y_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×2=6+3=9$
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数交点坐标计算
3. 坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考察核心知识点清晰，解题思路固定，重点要求学生掌握待定系数法的应用，以及利用分割法将不规则三角形转化为易计算面积的图形的技巧，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.(合肥瑶海区二模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A(-2,n),B(4,-2)$两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若$C$是$y$轴上一点,且$△ ABC$的面积为8,求点$C$的坐标.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若$C$是$y$轴上一点,且$△ ABC$的面积为8,求点$C$的坐标.
答案
9.解:(1)将 $B(4,-2)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $-2=\frac{k}{4}$,解得 $k=-8. \therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{8}{x}$. 将 $A(-2,n)$ 代入 $y=-\frac{8}{x}$,得 $n=\frac{-8}{-2}=4. \therefore A(-2,4)$. 将 $A(-2,4),B(4,-2)$ 代入 $y=ax+b$,得 $\begin{cases}-2a+b=4,\\4a+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-x+2$. (2)设直线 $y=-x+2$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$,易得 $D(0,2)$. 设 $C(0,m), \therefore CD=|m-2|. \therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}CD · |x_A|+\frac{1}{2}CD · |x_B|=3|m-2|=8$,解得 $m=\frac{14}{3}$ 或 $-\frac{2}{3}. \therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,\frac{14}{3})$ 或 $(0,-\frac{2}{3})$.
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出参数k，因此先将点B坐标代入反比例函数得到k值，再将点A的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标，得到完整的A点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数a、b。
(2) 点C在y轴上，可先找到一次函数与y轴的交点D，将△ABC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积和，两个三角形的底均为CD的长度，高分别为A、B两点到y轴的水平距离（即两点横坐标的绝对值），结合已知面积列绝对值方程求解，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将$B(4,-2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，得$-2=\frac{k}{4}$，解得$k=-8$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{8}{x}$。
求A点坐标：
将$A(-2,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=\frac{-8}{-2}=4$，即$A(-2,4)$。
求一次函数表达式：
将$A(-2,4)$、$B(4,-2)$代入$y=ax+b(a≠0)$，得方程组：
$\begin{cases}-2a+b=4\\4a+b=-2\end{cases}$
消去b解得$a=-1$，代入得$b=2$，
∴一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 设直线$y=-x+2$与y轴的交点为D，令$x=0$得$y=2$，即$D(0,2)$。
设$C(0,m)$，则$CD=|m-2|$。
△ABC的面积可拆分为两个三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}·|CD|·|x_A|+\frac{1}{2}·|CD|·|x_B|$
代入$|x_A|=2$、$|x_B|=4$、$S_{△ ABC}=8$得：
$\frac{1}{2}|m-2|×2+\frac{1}{2}|m-2|×4=3|m-2|=8$
即$|m-2|=\frac{8}{3}$，解得$m=\frac{14}{3}$或$m=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{8}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{14}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-\frac{2}{3})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、坐标系中三角形面积计算、绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，第一问考查待定系数法的基础应用，第二问通过拆分不规则三角形简化面积计算，需注意绝对值解方程时存在两种情况，不要漏解，整体侧重对数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.65
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出参数k，因此先将点B坐标代入反比例函数得到k值，再将点A的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标，得到完整的A点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数a、b。
(2) 点C在y轴上，可先找到一次函数与y轴的交点D，将△ABC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积和，两个三角形的底均为CD的长度，高分别为A、B两点到y轴的水平距离（即两点横坐标的绝对值），结合已知面积列绝对值方程求解，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将$B(4,-2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，得$-2=\frac{k}{4}$，解得$k=-8$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{8}{x}$。
求A点坐标：
将$A(-2,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=\frac{-8}{-2}=4$，即$A(-2,4)$。
求一次函数表达式：
将$A(-2,4)$、$B(4,-2)$代入$y=ax+b(a≠0)$，得方程组：
$\begin{cases}-2a+b=4\\4a+b=-2\end{cases}$
消去b解得$a=-1$，代入得$b=2$，
∴一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 设直线$y=-x+2$与y轴的交点为D，令$x=0$得$y=2$，即$D(0,2)$。
设$C(0,m)$，则$CD=|m-2|$。
△ABC的面积可拆分为两个三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}·|CD|·|x_A|+\frac{1}{2}·|CD|·|x_B|$
代入$|x_A|=2$、$|x_B|=4$、$S_{△ ABC}=8$得：
$\frac{1}{2}|m-2|×2+\frac{1}{2}|m-2|×4=3|m-2|=8$
即$|m-2|=\frac{8}{3}$，解得$m=\frac{14}{3}$或$m=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{8}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{14}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-\frac{2}{3})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、坐标系中三角形面积计算、绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，第一问考查待定系数法的基础应用，第二问通过拆分不规则三角形简化面积计算，需注意绝对值解方程时存在两种情况，不要漏解，整体侧重对数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.65
10.(泸州中考)如图,一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$。
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值。
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值。
答案
10.解:(1)把 $A(2,6)$ 代入 $y=2x+b$,得 $6=2 × 2+b$,解得 $b=2. \therefore$ 一次函数的表达式为 $y=2x+2$. 把 $A(2,6)$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $6=\frac{m}{2}$,解得 $m=12. \therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$. (2)由题意,得直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=2x+2-12=2x-10$. 联立 $\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12),C(6,2)$. 过点 $A$ 作 $AT // y$ 轴,交直线 $BC$ 于点 $T$. $\because A(2,6), \therefore$ 点 $T$ 的横坐标为 2. 在 $y=2x-10$ 中,当 $x=2$ 时, $y=2 × 2-10=-6, \therefore T(2,-6). \therefore AT=6-(-6)=12. \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AT · (x_C-x_B)=\frac{1}{2} × 12 × [6-(-1)]=42$.
解析
【分析】
(1) 已知交点A的坐标同时满足一次函数和反比例函数的解析式，将A点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数b和m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式，再联立反比例函数解析式，解方程组得到B、C两点的坐标。求△ABC的面积时，采用铅垂高法：过点A作平行于y轴的直线交BC于点T，先求出T点坐标得到铅垂高AT的长度，再结合B、C两点的横坐标差得到水平宽，利用“三角形面积=1/2×铅垂高×水平宽”即可算出结果。
【解析】
(1) 把$A(2,6)$代入$y=2x+b$，得$6=2 × 2+b$，解得$b=2$，$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x+2$。
把$A(2,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 由题意，得直线$BC$的函数表达式为$y=2x+2-12=2x-10$。
联立$\begin{cases}y=2x-10\\y=\frac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=-12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$，$\therefore B(-1,-12),C(6,2)$。
过点$A$作$AT // y$轴，交直线$BC$于点$T$。$\because A(2,6), \therefore$ 点$T$的横坐标为2。在$y=2x-10$中，当$x=2$时，$y=2 × 2-10=-6, \therefore T(2,-6)$。
$\therefore AT=6-(-6)=12$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AT · (x_C-x_B)=\frac{1}{2} × 12 × [6-(-1)]=42$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=2x+2$，反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$；
(2) $S_{△ ABC}=42$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象平移，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数解析式的求解方法、平移规律以及坐标系中三角形面积的简便计算技巧，掌握铅垂高法可以有效降低这类面积题的计算难度。
【难度系数】
0.65
(1) 已知交点A的坐标同时满足一次函数和反比例函数的解析式，将A点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数b和m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式，再联立反比例函数解析式，解方程组得到B、C两点的坐标。求△ABC的面积时，采用铅垂高法：过点A作平行于y轴的直线交BC于点T，先求出T点坐标得到铅垂高AT的长度，再结合B、C两点的横坐标差得到水平宽，利用“三角形面积=1/2×铅垂高×水平宽”即可算出结果。
【解析】
(1) 把$A(2,6)$代入$y=2x+b$，得$6=2 × 2+b$，解得$b=2$，$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x+2$。
把$A(2,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 由题意，得直线$BC$的函数表达式为$y=2x+2-12=2x-10$。
联立$\begin{cases}y=2x-10\\y=\frac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=-12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$，$\therefore B(-1,-12),C(6,2)$。
过点$A$作$AT // y$轴，交直线$BC$于点$T$。$\because A(2,6), \therefore$ 点$T$的横坐标为2。在$y=2x-10$中，当$x=2$时，$y=2 × 2-10=-6, \therefore T(2,-6)$。
$\therefore AT=6-(-6)=12$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AT · (x_C-x_B)=\frac{1}{2} × 12 × [6-(-1)]=42$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=2x+2$，反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$；
(2) $S_{△ ABC}=42$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象平移，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数解析式的求解方法、平移规律以及坐标系中三角形面积的简便计算技巧，掌握铅垂高法可以有效降低这类面积题的计算难度。
【难度系数】
0.65
