1.(真题·金华义乌)定义:如果关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$($a,b,c$为常数且$a≠0,b≠0$)满足$c=b+1=a+2$,我们就称方程$ax+by=c$为“阶梯方程”。
(1)下列方程是“阶梯方程”的是________。
①$x-2y=3$;②$2x-3y=4$;③$x+2y-3=0$;④$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{5}{2}$。
(2)任意“阶梯方程”都有一组相同的解,请求出这组解。
(3)若方程组$\begin{cases}ax+by=c,\\x+2y=1\end{cases}$的解为整数,求整数$a$的值。

(1)①$x-2y=3,a=1,b=-2,c=3,a+2=1+2=3,b+1=-2+1=-1$,所以$c=a+2≠b+1$,所以$x-2y=3$不是“阶梯方程”,故①不符合题意;②$2x-3y=4,a=2,b=-3,c=4,a+2=2+2=4,b+1=-3+1=-2$,所以$c=a+2≠b+1$,所以$2x-3y=4$不是“阶梯方程”,故②不符合题意;③$x+2y-3=0$化为$x+2y=3,a=1,b=2,c=3,a+2=1+2=3,b+1=2+1=3$,所以$c=a+2=b+1$,所以$x+2y=3$是“阶梯方程”,故③符合题意;④$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{5}{2},a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2},c=\frac{5}{2},a+2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2},b+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$,所以$c=a+2=b+1$,所以$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{5}{2}$是“阶梯方程”,故④符合题意,故答案为③④。
(2)因为$c=b+1=a+2$,所以$b=a+1$,所以$ax+by=c$化为$ax+(a+1)y=a+2,ax+ay+y-a-2=0,a(x+y-1)+y-2=0$,因为等式$a$为任意数时都成立,所以$\begin{cases}x+y-1=0,\\y-2=0,\end{cases}$由②得$y=2$,把$y=2$代入①得$x=-1$,所以这组解为$\begin{cases}x=-1,\\y=2。\end{cases}$
(3)因为$c=b+1=a+2$,所以$b=a+1$,所以方程组化为$\begin{cases}ax+(a+1)y=a+2,\\x+2y=1,\end{cases}$由②得$x=1-2y$,把③代入①得$a(1-2y)+(a+1)y=a+2,a-2ay+ay+y=a+2,(a-2a+1)y=a+2-a,(1-a)y=2,y=\frac{2}{1-a}$,把$y=\frac{2}{1-a}$代入③得$x=\frac{a+3}{a-1}$,因为$y$为整数,所以$1-a=\pm1$或$\pm2$,解得$a=0$或$2$或$-1$或$3$,因为$a≠0$,所以$a=-1$或$2$或$3$,当$a=-1$时,$x=-1$;当$a=2$时,$x=5$;当$a=3$时,$x=3$;所以$a$的整数值为$-1$或$2$或$3$。