例题 (真题·宁波慈溪)在分式中,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,假分式可以化成“带分式”,即整式与真分式的和的形式,如:$\frac{2x+3}{x+1}=\frac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$。
(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确(填写“是”或者“否”):
①$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$;②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=a+2+\frac{2}{a+1}$。
(2)若分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,求满足条件的所有正整数$a$的值。
(3)若分式$\frac{3x+6}{3-2x}$和$\frac{1}{x}$的值同时为整数,求满足条件的所有实数$x$的值。
拆解剖析

解:(1)①$\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$,故答案为:是;
②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{a^2+2a+1+a+2}{a+1}=\frac{(a+1)^2+a+2}{a+1}=a+1+\frac{a+2}{a+1}=a+1+\frac{a+1+1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$,故答案为:否。
(2)$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4a-4+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$,因为分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,所以$a-1=\pm1$或$a-1=\pm7$,解得$a=2$或$0$或$8$或$-6$,因为$a$为正整数,所以满足条件的所有正整数$a$的值为$2$或$8$。
(3)设$\frac{3x+6}{3-2x}=m,\frac{1}{x}=n$,其中$m,n$都是整数,由$\frac{1}{x}=n$得$x=\frac{1}{n}$,代入$\frac{3x+6}{3-2x}=m$,得$m=\frac{\frac{3}{n}+6}{3-\frac{2}{n}}=\frac{6n+3}{3n-2}=2+\frac{7}{3n-2}$,所以$3n-2=\pm1$或$3n-2=\pm7$,解得$n=1$或$n=\frac{1}{3}$(舍去)或$n=3$或$n=-\frac{5}{3}$(舍去),所以$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。

(1)①$\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$,故答案为:是;
②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=\frac{a^2+2a+1+a+2}{a+1}=\frac{(a+1)^2+a+2}{a+1}=a+1+\frac{a+2}{a+1}=a+1+\frac{a+1+1}{a+1}=a+2+\frac{1}{a+1}$,故答案为:否。
(2)$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4a-4+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$,因为分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,所以$a-1=\pm1$或$a-1=\pm7$,解得$a=2$或$0$或$8$或$-6$,因为$a$为正整数,所以满足条件的所有正整数$a$的值为$2$或$8$。
(3)设$\frac{3x+6}{3-2x}=m,\frac{1}{x}=n$,其中$m,n$都是整数,由$\frac{1}{x}=n$得$x=\frac{1}{n}$,代入$\frac{3x+6}{3-2x}=m$,得$m=\frac{\frac{3}{n}+6}{3-\frac{2}{n}}=\frac{6n+3}{3n-2}=2+\frac{7}{3n-2}$,所以$3n-2=\pm1$或$3n-2=\pm7$,解得$n=1$或$n=\frac{1}{3}$(舍去)或$n=3$或$n=-\frac{5}{3}$(舍去),所以$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。