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12.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在正比例函数$y=(-k^2 -3)x$的图象上，且$x_1＞x_2$，则下列不等式中一定成立的是（
A.$y_1 + y_2 ＞0$
B.$y_1 + y_2 ＜0$
C.$y_1 - y_2 ＞0$
D.$y_1 - y_2 ＜0$
D
）A.$y_1 + y_2 ＞0$
B.$y_1 + y_2 ＜0$
C.$y_1 - y_2 ＞0$
D.$y_1 - y_2 ＜0$
答案
12.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的增减性由比例系数的正负决定，所以第一步先判断函数$y=(-k^2-3)x$的比例系数符号：利用平方的非负性可知$k^2≥0$，由此可推出比例系数是负数，说明函数$y$随$x$的增大而减小；再结合已知条件$x_1＞x_2$，就能得到$y_1$和$y_2$的大小关系，最后对各选项的不等式变形判断即可。
【解析】
1. 判断比例系数的符号：
∵ 任何数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-k^2≤0$，进一步可得$-k^2 - 3 ≤ -3 ＜ 0$，
∴ 正比例函数$y=(-k^2-3)x$的$y$随$x$的增大而减小。
2. 结合自变量的大小关系判断函数值大小：
已知$x_1＞x_2$，根据函数的增减性可得$y_1＜y_2$。
3. 变形判断选项：
将$y_1＜y_2$移项，可得$y_1 - y_2 ＜0$，对应选项D成立；
而$y_1+y_2$的符号由$x_1$和$x_2$的具体取值决定，无法确定，故A、B不一定成立，C显然错误。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的增减性；平方的非负性；不等式的性质
【点评】
本题核心考察正比例函数的性质应用，解题关键是先通过平方的非负性确定比例系数的正负，明确函数的增减性，再结合自变量的大小关系推导函数值的大小关系，是正比例函数性质考察的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的增减性由比例系数的正负决定，所以第一步先判断函数$y=(-k^2-3)x$的比例系数符号：利用平方的非负性可知$k^2≥0$，由此可推出比例系数是负数，说明函数$y$随$x$的增大而减小；再结合已知条件$x_1＞x_2$，就能得到$y_1$和$y_2$的大小关系，最后对各选项的不等式变形判断即可。
【解析】
1. 判断比例系数的符号：
∵ 任何数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-k^2≤0$，进一步可得$-k^2 - 3 ≤ -3 ＜ 0$，
∴ 正比例函数$y=(-k^2-3)x$的$y$随$x$的增大而减小。
2. 结合自变量的大小关系判断函数值大小：
已知$x_1＞x_2$，根据函数的增减性可得$y_1＜y_2$。
3. 变形判断选项：
将$y_1＜y_2$移项，可得$y_1 - y_2 ＜0$，对应选项D成立；
而$y_1+y_2$的符号由$x_1$和$x_2$的具体取值决定，无法确定，故A、B不一定成立，C显然错误。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的增减性；平方的非负性；不等式的性质
【点评】
本题核心考察正比例函数的性质应用，解题关键是先通过平方的非负性确定比例系数的正负，明确函数的增减性，再结合自变量的大小关系推导函数值的大小关系，是正比例函数性质考察的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
13.新考向 跨物理 如图表示光从空气进入水中的折射及反射的光路图，建立平面直角坐标系，并设入射光线为$y_1=k_1x$，折射光线为$y_2=k_2x$，反射光线为$y_3=k_3x$，则$k_1,k_2,k_3$的大小关系为（
A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_2＞k_1＞k_3$
C.$k_3＞k_2＞k_1$
D.$k_3＞k_1＞k_2$
D
）A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_2＞k_1＞k_3$
C.$k_3＞k_2＞k_1$
D.$k_3＞k_1＞k_2$
答案
13.D
解析
【分析】
解题时首先结合正比例函数的性质判断三个比例系数的正负：正比例函数$y=kx$中，直线过一、三象限时$k＞0$，过二、四象限时$k＜0$，且$|k|越大，直线倾斜程度越大（越靠近y轴）$，负数比较大小时绝对值越大的数越小。再结合光的反射、折射规律：反射角等于入射角，光从空气斜射入水中时折射角小于入射角，判断两条过二、四象限直线的倾斜程度，进而比较两个负的比例系数的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
1. 判断$k_1,k_2,k_3$的正负：
$y_3=k_3x$的图象过第一、三象限，因此$k_3＞0$；
$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$的图象过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，可得$k_3$是三者中最大的。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
根据光学规律可知y轴为法线，x轴为界面，光从空气射入水中时折射角小于入射角，因此折射光线$y_2$与法线y轴的夹角小于入射光线$y_1$与法线的夹角，可得$y_2$与x轴的锐角夹角更大，即$y_2$的倾斜程度更大，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较$k_1$和$k_2$的大小：
$k_1、k_2$均为负数，负数比较大小，绝对值越大的数越小，因此$k_1＞k_2$。
综上可得$k_3＞k_1＞k_2$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；光的反射和折射规律；负数大小比较
【点评】
本题是跨学科综合题，将物理光学规律和数学正比例函数的性质结合考查，解题的关键是先判断比例系数的正负，再通过直线倾斜程度判断负系数的大小关系。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合正比例函数的性质判断三个比例系数的正负：正比例函数$y=kx$中，直线过一、三象限时$k＞0$，过二、四象限时$k＜0$，且$|k|越大，直线倾斜程度越大（越靠近y轴）$，负数比较大小时绝对值越大的数越小。再结合光的反射、折射规律：反射角等于入射角，光从空气斜射入水中时折射角小于入射角，判断两条过二、四象限直线的倾斜程度，进而比较两个负的比例系数的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
1. 判断$k_1,k_2,k_3$的正负：
$y_3=k_3x$的图象过第一、三象限，因此$k_3＞0$；
$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$的图象过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，可得$k_3$是三者中最大的。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
根据光学规律可知y轴为法线，x轴为界面，光从空气射入水中时折射角小于入射角，因此折射光线$y_2$与法线y轴的夹角小于入射光线$y_1$与法线的夹角，可得$y_2$与x轴的锐角夹角更大，即$y_2$的倾斜程度更大，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较$k_1$和$k_2$的大小：
$k_1、k_2$均为负数，负数比较大小，绝对值越大的数越小，因此$k_1＞k_2$。
综上可得$k_3＞k_1＞k_2$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；光的反射和折射规律；负数大小比较
【点评】
本题是跨学科综合题，将物理光学规律和数学正比例函数的性质结合考查，解题的关键是先判断比例系数的正负，再通过直线倾斜程度判断负系数的大小关系。
【难度系数】
0.65
14.[易错题]已知正比例函数 $ y = kx $（$ k $ 是常数，且 $ k ≠ 0 $），且当 $ -3 ≤ x ≤ 1 $ 时，函数有最大值 $ \frac{1}{3} $，则 $ k $ 的值为 ______
答案
14.$\dfrac{1}{3}$或$-\dfrac{1}{9}$ 易错点:未对k的正负进行分类讨论而造成漏解.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性与系数k的关系：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小。题目给出了x的取值范围和函数最大值，由于k的正负会影响函数的增减性，进而影响最大值对应的x取值，因此需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，分别代入对应x值计算k，再验证结果是否符合假设的k的符号即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的y随x的增大而增大
因此在$-3≤x≤1$范围内，$x=1$时y取得最大值$\frac{1}{3}$
将$x=1，y=\frac{1}{3}$代入解析式得：$\frac{1}{3}=k×1$
解得$k=\frac{1}{3}$，符合$k＞0$的假设，成立。
2. 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的y随x的增大而减小
因此在$-3≤x≤1$范围内，$x=-3$时y取得最大值$\frac{1}{3}$
将$x=-3，y=\frac{1}{3}$代入解析式得：$\frac{1}{3}=k×(-3)$
解得$k=-\frac{1}{9}$，符合$k＜0$的假设，成立。
综上，k的值为$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{9}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$或$-\dfrac{1}{9}$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，解题核心是明确正比例函数的增减性由系数k的符号决定，需分类讨论后结合自变量的取值范围确定最大值对应的自变量取值，再代入求解，要注意避免忽略k为负的情况造成漏解，求解后可验证k的符号是否符合假设，保证结果正确。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性与系数k的关系：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小。题目给出了x的取值范围和函数最大值，由于k的正负会影响函数的增减性，进而影响最大值对应的x取值，因此需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，分别代入对应x值计算k，再验证结果是否符合假设的k的符号即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的y随x的增大而增大
因此在$-3≤x≤1$范围内，$x=1$时y取得最大值$\frac{1}{3}$
将$x=1，y=\frac{1}{3}$代入解析式得：$\frac{1}{3}=k×1$
解得$k=\frac{1}{3}$，符合$k＞0$的假设，成立。
2. 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的y随x的增大而减小
因此在$-3≤x≤1$范围内，$x=-3$时y取得最大值$\frac{1}{3}$
将$x=-3，y=\frac{1}{3}$代入解析式得：$\frac{1}{3}=k×(-3)$
解得$k=-\frac{1}{9}$，符合$k＜0$的假设，成立。
综上，k的值为$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{9}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$或$-\dfrac{1}{9}$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，解题核心是明确正比例函数的增减性由系数k的符号决定，需分类讨论后结合自变量的取值范围确定最大值对应的自变量取值，再代入求解，要注意避免忽略k为负的情况造成漏解，求解后可验证k的符号是否符合假设，保证结果正确。
【难度系数】
0.6
15.已知函数$y=(m+1)x^{3-|m|}$是关于$x$的正比例函数，且$y$随$x$的增大而增大.
(1)求$m$的值；
(2)当$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$时，求$y$的最大值；
(3)若$y$的取值范围是$-\dfrac{1}{2}≤ y≤5$，求$x$的取值范围.
(1)求$m$的值；
(2)当$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$时，求$y$的最大值；
(3)若$y$的取值范围是$-\dfrac{1}{2}≤ y≤5$，求$x$的取值范围.
答案
15.解:(1)因为 $y=(m+1)x^{3-|m|}$ 是关于 $x$ 的正比例函数，
所以 $m+1≠0$ 且 $3-|m|=1$,所以 $m=2$ 或 $-2$.
因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以 $m+1＞0$,解得 $m＞-1$.
所以 $m=2$.
(2)由(1)知 $m=2$,所以正比例函数的表达式为 $y=3x$.
因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以当 $-\dfrac{3}{4}≤x≤2$ 时,$y$ 在 $x=2$ 时取得最大值.
当 $x=2$ 时,$y=3×2=6$.
所以当 $-\dfrac{3}{4}≤x≤2$ 时,$y$ 的最大值是 6.
(3)因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以当 $-\dfrac{1}{2}≤y≤5$ 时,$x$ 在 $y=-\dfrac{1}{2}$ 时取得最小值,在 $y=5$ 时取得最大值.
当 $y=-\dfrac{1}{2}$ 时,$x=-\dfrac{1}{6}$;当 $y=5$ 时,$x=\dfrac{5}{3}$.
所以 $x$ 的取值范围是 $-\dfrac{1}{6}≤x≤\dfrac{5}{3}$.
所以 $m+1≠0$ 且 $3-|m|=1$,所以 $m=2$ 或 $-2$.
因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以 $m+1＞0$,解得 $m＞-1$.
所以 $m=2$.
(2)由(1)知 $m=2$,所以正比例函数的表达式为 $y=3x$.
因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以当 $-\dfrac{3}{4}≤x≤2$ 时,$y$ 在 $x=2$ 时取得最大值.
当 $x=2$ 时,$y=3×2=6$.
所以当 $-\dfrac{3}{4}≤x≤2$ 时,$y$ 的最大值是 6.
(3)因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以当 $-\dfrac{1}{2}≤y≤5$ 时,$x$ 在 $y=-\dfrac{1}{2}$ 时取得最小值,在 $y=5$ 时取得最大值.
当 $y=-\dfrac{1}{2}$ 时,$x=-\dfrac{1}{6}$;当 $y=5$ 时,$x=\dfrac{5}{3}$.
所以 $x$ 的取值范围是 $-\dfrac{1}{6}≤x≤\dfrac{5}{3}$.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 先依据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k≠0$）的函数为正比例函数，需满足两个核心条件：一是$x$的指数为1，二是$x$的系数不为0，据此列出关于$m$的方程与不等式，得到$m$的可能取值；再结合“$y$随$x$的增大而增大”说明系数为正，筛选出符合要求的$m$值。
(2) 将(1)得到的$m$代入解析式得到具体的正比例函数，根据函数的递增性质，$x$越大$y$越大，因此在给定$x$区间内取$x$的最大值代入计算，即可得到$y$的最大值。
(3) 同样利用函数的递增性，$y$的最小值对应$x$的最小值，$y$的最大值对应$x$的最大值，分别将$y$的边界值代入解析式求解对应的$x$值，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 因为$y=(m+1)x^{3-|m|}$是关于$x$的正比例函数，根据正比例函数定义可得：
$m+1≠0$且$3-|m|=1$，
解$3-|m|=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$，两个值均满足$m+1≠0$；
又因为$y$随$x$的增大而增大，所以系数$m+1＞0$，解得$m＞-1$，因此舍去$m=-2$，得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入函数式，得正比例函数表达式为$y=3x$。
因为$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，在$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$范围内，$x$的最大值为2，此时$y$取最大值：
当$x=2$时，$y=3×2=6$。
(3) 由于$y=3x$是增函数，$y$随$x$增大而增大，当$-\dfrac{1}{2}≤ y≤5$时：
当$y=-\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{1}{2}=3x$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$，为$x$的最小值；
当$y=5$时，$5=3x$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，为$x$的最大值。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) $y$的最大值是$\boldsymbol{6}$；
(3) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-\dfrac{1}{6}≤x≤\dfrac{5}{3}}$。
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 正比例函数的增减性
3. 函数范围求解
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例函数概念和性质的掌握，解题时需注意不要遗漏正比例函数系数不为0的隐含条件，结合增减性可快速求解最值与对应取值范围，熟练掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
(1) 先依据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k≠0$）的函数为正比例函数，需满足两个核心条件：一是$x$的指数为1，二是$x$的系数不为0，据此列出关于$m$的方程与不等式，得到$m$的可能取值；再结合“$y$随$x$的增大而增大”说明系数为正，筛选出符合要求的$m$值。
(2) 将(1)得到的$m$代入解析式得到具体的正比例函数，根据函数的递增性质，$x$越大$y$越大，因此在给定$x$区间内取$x$的最大值代入计算，即可得到$y$的最大值。
(3) 同样利用函数的递增性，$y$的最小值对应$x$的最小值，$y$的最大值对应$x$的最大值，分别将$y$的边界值代入解析式求解对应的$x$值，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 因为$y=(m+1)x^{3-|m|}$是关于$x$的正比例函数，根据正比例函数定义可得：
$m+1≠0$且$3-|m|=1$，
解$3-|m|=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$，两个值均满足$m+1≠0$；
又因为$y$随$x$的增大而增大，所以系数$m+1＞0$，解得$m＞-1$，因此舍去$m=-2$，得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入函数式，得正比例函数表达式为$y=3x$。
因为$k=3＞0$，$y$随$x$的增大而增大，在$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$范围内，$x$的最大值为2，此时$y$取最大值：
当$x=2$时，$y=3×2=6$。
(3) 由于$y=3x$是增函数，$y$随$x$增大而增大，当$-\dfrac{1}{2}≤ y≤5$时：
当$y=-\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{1}{2}=3x$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$，为$x$的最小值；
当$y=5$时，$5=3x$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，为$x$的最大值。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) $y$的最大值是$\boldsymbol{6}$；
(3) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-\dfrac{1}{6}≤x≤\dfrac{5}{3}}$。
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 正比例函数的增减性
3. 函数范围求解
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例函数概念和性质的掌握，解题时需注意不要遗漏正比例函数系数不为0的隐含条件，结合增减性可快速求解最值与对应取值范围，熟练掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
16.如图,正比例函数$y=kx$的图象经过第四象限内一点$A$,过点$A$作$AH⊥x$轴,垂足为点$H$,点$A$的横坐标为$4$,且三角形$AOH$的面积为$6$.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使三角形$AOP$的面积为$9$?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使三角形$AOP$的面积为$9$?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
16.解:(1)因为 $AH⊥x$ 轴,点 $A$ 的横坐标为 4,且三角形 $AOH$ 的面积为 6，
所以 $\dfrac{1}{2}×4×AH=6$,所以 $AH=3$.
又因为点 $A$ 在第四象限,所以点 $A$ 的坐标为 $(4,-3)$.
把 $A(4,-3)$ 代入 $y=kx$,得 $4k=-3$,解得 $k=-\dfrac{3}{4}$.
所以正比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x$.
(2)存在.
设点 $P$ 的坐标为 $(t,0)$.
要使三角形 $AOP$ 的面积为 9,则 $t$ 应满足 $\dfrac{1}{2}×|t|×3=9$.
所以 $t=6$ 或 $-6$.
所以点 $P$ 的坐标为 $(6,0)$ 或 $(-6,0)$.
所以 $\dfrac{1}{2}×4×AH=6$,所以 $AH=3$.
又因为点 $A$ 在第四象限,所以点 $A$ 的坐标为 $(4,-3)$.
把 $A(4,-3)$ 代入 $y=kx$,得 $4k=-3$,解得 $k=-\dfrac{3}{4}$.
所以正比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x$.
(2)存在.
设点 $P$ 的坐标为 $(t,0)$.
要使三角形 $AOP$ 的面积为 9,则 $t$ 应满足 $\dfrac{1}{2}×|t|×3=9$.
所以 $t=6$ 或 $-6$.
所以点 $P$ 的坐标为 $(6,0)$ 或 $(-6,0)$.
解析
【分析】
(1) 求正比例函数表达式需要先得到图象上点A的坐标：已知点A横坐标为4，结合△AOH的面积，用三角形面积公式可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定其纵坐标，得到A点坐标后代入y=kx即可求出k的值，得到函数表达式。
(2) 求解x轴上是否存在满足面积条件的点P：设P点坐标为(t,0)，△AOP的底为OP的长度即|t|，高为点A纵坐标的绝对值，根据面积公式列方程求解t，若有解则存在，注意OP是长度，计算时要加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 解：
∵AH⊥x轴，点A的横坐标为4，$S_{△ AOH}=6$，
∴根据三角形面积公式可得$\dfrac{1}{2} × 4 × AH = 6$，
解得$AH=3$。
∵点A在第四象限，横坐标为4，纵坐标为负，
∴点A的坐标为$(4,-3)$。
将$A(4,-3)$代入$y=kx$，得$4k=-3$，
解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
∴正比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x$。
(2) 解：存在。
设点P的坐标为$(t,0)$，则$OP=|t|$，
△AOP中OP边上的高为点A到x轴的距离，即$|y_A|=3$，
∵$S_{△ AOP}=9$，
∴$\dfrac{1}{2} × |t| × 3 =9$，
解得$|t|=6$，即$t=6$或$t=-6$，
∴点P的坐标为$(6,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{4}x$
(2) 存在，点P的坐标为$(6,0)$或$(-6,0)$
【知识点】
正比例函数解析式求解；平面直角坐标系点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是正比例函数与几何面积的基础综合题，解题核心是先确定已知点坐标，再结合面积公式求解未知量，解题时要注意第四象限点的纵坐标为负，以及x轴上点到原点的距离为横坐标的绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求正比例函数表达式需要先得到图象上点A的坐标：已知点A横坐标为4，结合△AOH的面积，用三角形面积公式可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定其纵坐标，得到A点坐标后代入y=kx即可求出k的值，得到函数表达式。
(2) 求解x轴上是否存在满足面积条件的点P：设P点坐标为(t,0)，△AOP的底为OP的长度即|t|，高为点A纵坐标的绝对值，根据面积公式列方程求解t，若有解则存在，注意OP是长度，计算时要加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 解：
∵AH⊥x轴，点A的横坐标为4，$S_{△ AOH}=6$，
∴根据三角形面积公式可得$\dfrac{1}{2} × 4 × AH = 6$，
解得$AH=3$。
∵点A在第四象限，横坐标为4，纵坐标为负，
∴点A的坐标为$(4,-3)$。
将$A(4,-3)$代入$y=kx$，得$4k=-3$，
解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
∴正比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x$。
(2) 解：存在。
设点P的坐标为$(t,0)$，则$OP=|t|$，
△AOP中OP边上的高为点A到x轴的距离，即$|y_A|=3$，
∵$S_{△ AOP}=9$，
∴$\dfrac{1}{2} × |t| × 3 =9$，
解得$|t|=6$，即$t=6$或$t=-6$，
∴点P的坐标为$(6,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{4}x$
(2) 存在，点P的坐标为$(6,0)$或$(-6,0)$
【知识点】
正比例函数解析式求解；平面直角坐标系点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是正比例函数与几何面积的基础综合题，解题核心是先确定已知点坐标，再结合面积公式求解未知量，解题时要注意第四象限点的纵坐标为负，以及x轴上点到原点的距离为横坐标的绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
