登录
1 [2025河南周口质检]方程$x^2=2$的根是（
A.$x_1=x_2=\sqrt{2}$
B.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
C.$x=\sqrt{2}$
D.$x=-\sqrt{2}$
B
）A.$x_1=x_2=\sqrt{2}$
B.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
C.$x=\sqrt{2}$
D.$x=-\sqrt{2}$
答案
1.B 【解析】
∵$x^2=2$,$\therefore x=\pm\sqrt{2}$,$\therefore x_1=\sqrt{2}$,$x_2=-\sqrt{2}$.故选 B.
∵$x^2=2$,$\therefore x=\pm\sqrt{2}$,$\therefore x_1=\sqrt{2}$,$x_2=-\sqrt{2}$.故选 B.
解析
【分析】
本题可运用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程特征，本题方程为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，满足直接开平方法的适用条件；再结合平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，可推出方程有两个不相等的实数根，求出根后匹配选项即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^2=2$，
对等式两边直接开平方，可得$x=\pm\sqrt{2}$，
即方程的两个根为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查简单一元二次方程的解法，牢记直接开平方法的适用规则、掌握平方根的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题可运用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程特征，本题方程为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，满足直接开平方法的适用条件；再结合平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，可推出方程有两个不相等的实数根，求出根后匹配选项即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^2=2$，
对等式两边直接开平方，可得$x=\pm\sqrt{2}$，
即方程的两个根为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查简单一元二次方程的解法，牢记直接开平方法的适用规则、掌握平方根的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.9
2[2025 江苏南京期中]若关于x的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根，则m的取值范围是(
A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
B
)A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
答案
2.B 【解析】
∵ 关于 x 的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根,$\therefore m+1≥0$,解得 $m≥-1$. 故选 B.
∵ 关于 x 的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根,$\therefore m+1≥0$,解得 $m≥-1$. 故选 B.
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察方程的形式：左边是完全平方式$(x-4)^2$，右边是含参数$m$的代数式$m+1$。我们已经学过，任意实数的平方都是非负数，因此要让方程有实数根，右边的代数式必须满足非负的要求，据此列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，再对应选项选出答案。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根，
又
∵任意实数的平方均为非负数，即$(x-4)^2 ≥ 0$，
∴$m+1 ≥ 0$，
解得$m ≥ -1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性；2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方非负性的应用，以及直接开平方法解一元二次方程的前提条件，计算量小，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先观察方程的形式：左边是完全平方式$(x-4)^2$，右边是含参数$m$的代数式$m+1$。我们已经学过，任意实数的平方都是非负数，因此要让方程有实数根，右边的代数式必须满足非负的要求，据此列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围，再对应选项选出答案。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根，
又
∵任意实数的平方均为非负数，即$(x-4)^2 ≥ 0$，
∴$m+1 ≥ 0$，
解得$m ≥ -1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性；2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方非负性的应用，以及直接开平方法解一元二次方程的前提条件，计算量小，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3[2026 江苏宿迁质检]若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，则方程$m(x+2)^2 + n = 0$的根是（
A.-1或1
B.-1或-2
C.-1或-3
D.1或3
C
）A.-1或1
B.-1或-2
C.-1或-3
D.1或3
答案
3.C 【解析】
∵ 关于 x 的一元二次方程 $mx^2 + n = 0$ 的一个根为 1,$\therefore m≠0$,$m×1^2 + n = 0$,$\therefore m+n=0$,$\therefore n = -m$,$\therefore$ 方程 $m(x+2)^2 + n = 0$ 可化为 $m(x+2)^2 - m = 0$,$\therefore (x+2)^2 - 1 = 0$,$\therefore (x+2)^2 = 1$,$\therefore x+2 = 1$ 或 $x+2=-1$,解得 $x=-1$ 或 $x=-3$. 故选 C.
∵ 关于 x 的一元二次方程 $mx^2 + n = 0$ 的一个根为 1,$\therefore m≠0$,$m×1^2 + n = 0$,$\therefore m+n=0$,$\therefore n = -m$,$\therefore$ 方程 $m(x+2)^2 + n = 0$ 可化为 $m(x+2)^2 - m = 0$,$\therefore (x+2)^2 - 1 = 0$,$\therefore (x+2)^2 = 1$,$\therefore x+2 = 1$ 或 $x+2=-1$,解得 $x=-1$ 或 $x=-3$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入第一个方程，求出m与n的数量关系；再将该关系代入待解的方程，消去未知数n，结合一元二次方程二次项系数不为0的性质，将方程转化为可直接开平方的形式，最后求解即可得到方程的根。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，
∴ $m≠0$，将x=1代入方程得：$m×1^2 + n = 0$，即$m + n = 0$，
∴ $n = -m$，
把$n = -m$代入方程$m(x+2)^2 + n = 0$，可得：
$m(x+2)^2 - m = 0$，
∵ $m≠0$，方程两边同时除以m得：$(x+2)^2 - 1 = 0$，
移项得：$(x+2)^2 = 1$，
开平方得：$x+2 = 1$ 或 $x+2 = -1$，
解得：$x = -1$ 或 $x = -3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，解题核心是通过已知根得到参数间的关系，代入目标方程后转化为可直接开平方的形式求解，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入第一个方程，求出m与n的数量关系；再将该关系代入待解的方程，消去未知数n，结合一元二次方程二次项系数不为0的性质，将方程转化为可直接开平方的形式，最后求解即可得到方程的根。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，
∴ $m≠0$，将x=1代入方程得：$m×1^2 + n = 0$，即$m + n = 0$，
∴ $n = -m$，
把$n = -m$代入方程$m(x+2)^2 + n = 0$，可得：
$m(x+2)^2 - m = 0$，
∵ $m≠0$，方程两边同时除以m得：$(x+2)^2 - 1 = 0$，
移项得：$(x+2)^2 = 1$，
开平方得：$x+2 = 1$ 或 $x+2 = -1$，
解得：$x = -1$ 或 $x = -3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，解题核心是通过已知根得到参数间的关系，代入目标方程后转化为可直接开平方的形式求解，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
4[2026 辽宁大连质检]解方程：
(1)$2x^2 - 18 = 0$；
(2)$(x - 5)^2 + 8 = 0$。
(1)$2x^2 - 18 = 0$；
(2)$(x - 5)^2 + 8 = 0$。
答案
4.【解】(1)$2x^2 - 18 = 0$,$2x^2 = 18$,$x^2 = 9$,$x = ±3$,所以 $x_1 = 3$,$x_2 = -3$.
(2)$(x-5)^2 + 8 = 0$,$(x-5)^2 = -8$. 因为$-8＜0$,所以此方程无解.
(2)$(x-5)^2 + 8 = 0$,$(x-5)^2 = -8$. 因为$-8＜0$,所以此方程无解.
解析
【分析】
这两道题均适用直接开平方法求解一元二次方程，解题思路如下：(1)对于无一次项的一元二次方程，先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到$x^2=a$（$a≥0$）的形式后直接开平方即可得到两个解；(2)对于左侧为完全平方式的方程，先移项整理为“完全平方式=常数”的形式，再结合平方的非负性判断，若常数小于0，则方程无实数解。
【解析】
(1) 解$2x^2 - 18 = 0$：
移项得$2x^2 = 18$，
系数化为1得$x^2 = 9$，
开平方得$x = ±3$，
即$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
(2) 解$(x - 5)^2 + 8 = 0$：
移项得$(x - 5)^2 = -8$，
因为实数范围内任意数的平方均为非负数，即$(x - 5)^2≥0$，而$-8＜0$，因此不存在实数$x$满足该等式。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-3$；(2)此方程无解
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时要先将方程整理为“完全平方式=常数”的形式，再根据常数的符号判断解的情况，掌握平方的非负性是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
这两道题均适用直接开平方法求解一元二次方程，解题思路如下：(1)对于无一次项的一元二次方程，先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到$x^2=a$（$a≥0$）的形式后直接开平方即可得到两个解；(2)对于左侧为完全平方式的方程，先移项整理为“完全平方式=常数”的形式，再结合平方的非负性判断，若常数小于0，则方程无实数解。
【解析】
(1) 解$2x^2 - 18 = 0$：
移项得$2x^2 = 18$，
系数化为1得$x^2 = 9$，
开平方得$x = ±3$，
即$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
(2) 解$(x - 5)^2 + 8 = 0$：
移项得$(x - 5)^2 = -8$，
因为实数范围内任意数的平方均为非负数，即$(x - 5)^2≥0$，而$-8＜0$，因此不存在实数$x$满足该等式。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-3$；(2)此方程无解
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时要先将方程整理为“完全平方式=常数”的形式，再根据常数的符号判断解的情况，掌握平方的非负性是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
5 用配方法将代数式 $ x^2 + 4x - 5 $ 变形，结果正确的是（
A.$ (x+2)^2 -1 $
B.$ (x+2)^2 -5 $
C.$ (x+2)^2 +4 $
D.$ (x+2)^2 -9 $
D
）A.$ (x+2)^2 -1 $
B.$ (x+2)^2 -5 $
C.$ (x+2)^2 +4 $
D.$ (x+2)^2 -9 $
答案
5.D 【解析】$x^2 + 4x - 5 = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = (x+2)^2 - 9$.故选 D.
解析
【分析】
这道题考查配方法的应用，解题思路很清晰：配方法的核心是将含x的二次项、一次项组合凑成完全平方形式，同时要保证代数式的值不变。因为本题二次项系数已经是1，所以只需找到一次项系数的一半，计算其平方，凑完全平方时加上这个数，还要再减去这个数，避免改变原式的值，最后合并常数项即可得到变形结果。
【解析】
对代数式$x^2 + 4x - 5$进行配方法变形：
第一步，凑完全平方：一次项系数为4，它的一半是2，平方为4，因此在原式中加4再减4，保证值不变：
$x^2 + 4x - 5 = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5$
第二步，整理为完全平方形式，合并常数项：
$x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = (x+2)^2 - 9$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，解题关键是牢记二次项系数为1时配方法的操作规则，凑完全平方时注意“先加后减”同一个数保证代数式值不变，熟练掌握后很容易得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查配方法的应用，解题思路很清晰：配方法的核心是将含x的二次项、一次项组合凑成完全平方形式，同时要保证代数式的值不变。因为本题二次项系数已经是1，所以只需找到一次项系数的一半，计算其平方，凑完全平方时加上这个数，还要再减去这个数，避免改变原式的值，最后合并常数项即可得到变形结果。
【解析】
对代数式$x^2 + 4x - 5$进行配方法变形：
第一步，凑完全平方：一次项系数为4，它的一半是2，平方为4，因此在原式中加4再减4，保证值不变：
$x^2 + 4x - 5 = x^2 + 4x + 4 - 4 - 5$
第二步，整理为完全平方形式，合并常数项：
$x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = (x+2)^2 - 9$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，解题关键是牢记二次项系数为1时配方法的操作规则，凑完全平方时注意“先加后减”同一个数保证代数式值不变，熟练掌握后很容易得分。
【难度系数】
0.8
6 若把代数式$x^2 - 2x - 3$化为$(x + m)^2 + k$的形式，其中$m,k$为常数，则$m + k =$
-5
.答案
6.-5 【解析】$x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x-1)^2 - 4$,故 $m=-1$,$k=-4$,$\therefore m+k=-5$.
解析
【分析】
本题需要用配方法将二次三项式转化为指定的完全平方式加常数的形式，解题思路如下：首先明确配方法的操作要求，对于二次项系数为1的代数式，配方时需先提取含x的项，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方，再调整常数项保证代数式的值不变；然后将变形后的式子与$(x+m)^2 +k$对照，得到m、k的取值，最后计算m+k的结果即可。
【解析】
根据配方法对$x^2 - 2x - 3$进行变形：
1. 凑完全平方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，因此：
$x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$
2. 整理得：$x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$
3. 对照$(x+m)^2 +k$的形式，可得$m=-1$，$k=-4$
4. 计算$m+k=-1+(-4)=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查配方法的应用，解题时需注意完全平方的符号对应，避免将m的符号写错，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解答此类问题。
【难度系数】
0.7
本题需要用配方法将二次三项式转化为指定的完全平方式加常数的形式，解题思路如下：首先明确配方法的操作要求，对于二次项系数为1的代数式，配方时需先提取含x的项，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方，再调整常数项保证代数式的值不变；然后将变形后的式子与$(x+m)^2 +k$对照，得到m、k的取值，最后计算m+k的结果即可。
【解析】
根据配方法对$x^2 - 2x - 3$进行变形：
1. 凑完全平方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，因此：
$x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$
2. 整理得：$x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$
3. 对照$(x+m)^2 +k$的形式，可得$m=-1$，$k=-4$
4. 计算$m+k=-1+(-4)=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查配方法的应用，解题时需注意完全平方的符号对应，避免将m的符号写错，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解答此类问题。
【难度系数】
0.7
7[2026广东广州质检]已知一元二次方程$x^2 -4x +m=0$可配方成$(x-n)^2=1$,则$m+n$的值为（
A.-1
B.1
C.-5
D.5
D
）A.-1
B.1
C.-5
D.5
答案
7.D 【解析】$x^2 - 4x + m = 0$,$x^2 - 4x = -m$,$x^2 - 4x + 4 = 4 - m$,$(x-2)^2 = 4 - m$,$\therefore n=2$,$4-m=1$,解得 $m=3$,$\therefore m+n=3+2=5$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时可先对给定的一元二次方程按照配方法的步骤自行变形，再与题目给出的配方后形式$(x-n)^2=1$进行对应，得到关于m、n的关系式，求解出m和n的值后，代入计算$m+n$即可。具体思考路径：①回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：先移项将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；②将自行配方得到的式子和题目给出的配方式对比，对应项相等即可求出n和m的值；③最后计算两数之和得到结果。
【解析】
对一元二次方程$x^2 -4x +m=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = -m$
第二步，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，得：$x^2 - 4x + 4 = 4 - m$
第三步，将左侧写成完全平方式，得：$(x-2)^2 = 4 - m$
已知方程可配方成$(x-n)^2=1$，对比两个式子可得：$n=2$，$4-m=1$
解得$m=3$
因此$m+n=3+2=5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方式”的配方流程就能顺利解题，属于对核心基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题时可先对给定的一元二次方程按照配方法的步骤自行变形，再与题目给出的配方后形式$(x-n)^2=1$进行对应，得到关于m、n的关系式，求解出m和n的值后，代入计算$m+n$即可。具体思考路径：①回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：先移项将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；②将自行配方得到的式子和题目给出的配方式对比，对应项相等即可求出n和m的值；③最后计算两数之和得到结果。
【解析】
对一元二次方程$x^2 -4x +m=0$进行配方：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = -m$
第二步，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，得：$x^2 - 4x + 4 = 4 - m$
第三步，将左侧写成完全平方式，得：$(x-2)^2 = 4 - m$
已知方程可配方成$(x-n)^2=1$，对比两个式子可得：$n=2$，$4-m=1$
解得$m=3$
因此$m+n=3+2=5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方式”的配方流程就能顺利解题，属于对核心基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
8 [2025 福建泉州校级期中]若方程$x^2 - 4096576 = 0$的两根为$x_1 = 2024, x_2 = -2024$，则方程$x^2 - 2x - 4096575 = 0$的两根为
$x_1=2\ 025,x_2=-2\ 023$
.答案
8.$x_1=2\ 025,x_2=-2\ 023$ 【解析】$x^2 - 2x - 4\ 096\ 575 = 0$,则 $x^2 - 2x = 4\ 096\ 575$,$\therefore x^2 - 2x + 1 = 4\ 096\ 575 + 1$,$\therefore (x-1)^2 = 4\ 096\ 576$,$\therefore x-1 = ±2\ 024$,$\therefore x_1 = 2\ 025$,$x_2 = -2\ 023$. 故答案为 $x_1=2\ 025,x_2=-2\ 023$.
解析
【分析】
观察待求解的方程，二次项系数为1，一次项系数为-2，可优先考虑配方法求解。题目已经给出$x^2=4096576$的根为$\pm2024$，说明$4096576=2024^2$，我们可以对待求方程移项后，左右两边同时加1完成配方，将左边转化为完全平方式，右边恰好为4096576，再用直接开平方法求解即可，无需计算大数字，简化运算。
【解析】
解：对$x^2 - 2x - 4096575 = 0$移项，得
$x^2 - 2x = 4096575$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方$1^2=1$，得
$x^2 - 2x + 1 = 4096575 + 1$
由完全平方公式整理得
$(x-1)^2 = 4096576$
根据题意，$4096576$的平方根为$\pm2024$，开平方得
$x-1 = \pm2024$
当$x-1=2024$时，$x_1=2025$；当$x-1=-2024$时，$x_2=-2023$。
【答案】
$x_1=2025,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的简便解法，解题时需注意观察方程结构与题干给出的已知条件，灵活选择配方法转化方程，避免大数运算，提高解题效率与准确率。
【难度系数】
0.7
观察待求解的方程，二次项系数为1，一次项系数为-2，可优先考虑配方法求解。题目已经给出$x^2=4096576$的根为$\pm2024$，说明$4096576=2024^2$，我们可以对待求方程移项后，左右两边同时加1完成配方，将左边转化为完全平方式，右边恰好为4096576，再用直接开平方法求解即可，无需计算大数字，简化运算。
【解析】
解：对$x^2 - 2x - 4096575 = 0$移项，得
$x^2 - 2x = 4096575$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方$1^2=1$，得
$x^2 - 2x + 1 = 4096575 + 1$
由完全平方公式整理得
$(x-1)^2 = 4096576$
根据题意，$4096576$的平方根为$\pm2024$，开平方得
$x-1 = \pm2024$
当$x-1=2024$时，$x_1=2025$；当$x-1=-2024$时，$x_2=-2023$。
【答案】
$x_1=2025,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的简便解法，解题时需注意观察方程结构与题干给出的已知条件，灵活选择配方法转化方程，避免大数运算，提高解题效率与准确率。
【难度系数】
0.7
9 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 -8x +13=0$.
(2)$x^2 +5x +7=3x +11$.
(1)$x^2 -8x +13=0$.
(2)$x^2 +5x +7=3x +11$.
答案
9.【解】(1)$x^2 -8x +13=0$,移项,得 $x^2 -8x = -13$,配方,得 $x^2 -8x +16 = -13 +16$,即$(x-4)^2=3$,开平方,得 $x-4=±\sqrt{3}$,$\therefore x_1=\sqrt{3}+4$,$x_2=-\sqrt{3}+4$.
(2)移项、合并同类项,得 $x^2 + 2x = 4$.
配方,得 $x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即 $(x+1)^2 = 5$,$\therefore x+1 = ±\sqrt{5}$,$\therefore x_1=-1+\sqrt{5}$,$x_2=-1-\sqrt{5}$.
(2)移项、合并同类项,得 $x^2 + 2x = 4$.
配方,得 $x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$,即 $(x+1)^2 = 5$,$\therefore x+1 = ±\sqrt{5}$,$\therefore x_1=-1+\sqrt{5}$,$x_2=-1-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，核心思路是通过配方将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再用直接开平方法求解。解题步骤为：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项，右边为常数项的形式；②给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；③若右边的常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。其中第(1)题已是标准的一元二次方程一般形式，直接移项常数项即可；第(2)题需要先移项合并同类项，整理成标准形式再配方。
【解析】
(1) 解$x^2 -8x +13=0$：
移项，得 $x^2 -8x = -13$，
配方，得 $x^2 -8x +16 = -13 +16$，即$(x-4)^2=3$，
开平方，得 $x-4=±\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3}+4$，$x_2=-\sqrt{3}+4$。
(2) 解$x^2 +5x +7=3x +11$：
移项、合并同类项，得 $x^2 + 2x = 4$，
配方，得 $x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即 $(x+1)^2 = 5$，
开平方，得$x+1 = ±\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{3}$，$x_2=4-\sqrt{3}$；(2)$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准步骤，需注意配方时必须给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免只加左边导致出错，熟练掌握步骤后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，核心思路是通过配方将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再用直接开平方法求解。解题步骤为：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项，右边为常数项的形式；②给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；③若右边的常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。其中第(1)题已是标准的一元二次方程一般形式，直接移项常数项即可；第(2)题需要先移项合并同类项，整理成标准形式再配方。
【解析】
(1) 解$x^2 -8x +13=0$：
移项，得 $x^2 -8x = -13$，
配方，得 $x^2 -8x +16 = -13 +16$，即$(x-4)^2=3$，
开平方，得 $x-4=±\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3}+4$，$x_2=-\sqrt{3}+4$。
(2) 解$x^2 +5x +7=3x +11$：
移项、合并同类项，得 $x^2 + 2x = 4$，
配方，得 $x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即 $(x+1)^2 = 5$，
开平方，得$x+1 = ±\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{3}$，$x_2=4-\sqrt{3}$；(2)$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准步骤，需注意配方时必须给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免只加左边导致出错，熟练掌握步骤后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10[2025辽宁大连期末]将长为8 cm,宽为6 cm的长方形的长和宽都增加相同长度,结果长方形的面积增加了51 cm². 求增加后长方形的长和宽.
刷易错 小心有坑~
刷易错 小心有坑~
答案
10.【解】设长和宽各增加 x cm,则增加后长方形的长为$(8+x)\mathrm{cm}$,宽为$(6+x)\mathrm{cm}$. 由题意,得$(8+x)(6+x)=8×6+51$,整理,得 $x^2 +14x =51$. 配方,得 $x^2 +14x +7^2 =51+7^2$,$\therefore (x+7)^2=100$. 解得 $x_1=3$,$x_2=-17$(不合题意,舍去),$\therefore 8+x=8+3=11$,$6+x=6+3=9$.
答:增加后长方形的长为 11 cm,宽为 9 cm.
答:增加后长方形的长为 11 cm,宽为 9 cm.
解析
【分析】
这是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，设长和宽增加的相同长度为未知数x；第二步，分别表示出增加后矩形的长和宽，根据“增加后矩形面积=原矩形面积+增加的面积”找到等量关系列方程；第三步，用配方法解一元二次方程，注意长度不能为负，舍去不符合实际意义的根；第四步，将符合要求的根代入，计算增加后的长和宽即可。
【解析】
设长和宽各增加$x\ \mathrm{cm}$，则增加后长方形的长为$(8+x)\mathrm{cm}$，宽为$(6+x)\mathrm{cm}$。
由题意，得：
$(8+x)(6+x)=8×6+51$
整理，得：
$x^2 +14x =51$
配方，两边同时加$7^2$，得：
$x^2 +14x +7^2 =51+7^2$
即$(x+7)^2=100$
开平方得$x+7=\pm10$
解得 $x_1=3$，$x_2=-17$（长度不能为负，不合题意，舍去）
因此增加后的长：$8+x=8+3=11(\mathrm{cm})$，增加后的宽：$6+x=6+3=9(\mathrm{cm})$
【答案】
增加后长方形的长为 11 cm，宽为 9 cm。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 配方法解方程
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用类题目，重点考查找等量关系列方程的能力，以及配方法解一元二次方程的掌握程度，解题时需注意实际问题中方程的根要符合现实意义，负根需要舍去，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，设长和宽增加的相同长度为未知数x；第二步，分别表示出增加后矩形的长和宽，根据“增加后矩形面积=原矩形面积+增加的面积”找到等量关系列方程；第三步，用配方法解一元二次方程，注意长度不能为负，舍去不符合实际意义的根；第四步，将符合要求的根代入，计算增加后的长和宽即可。
【解析】
设长和宽各增加$x\ \mathrm{cm}$，则增加后长方形的长为$(8+x)\mathrm{cm}$，宽为$(6+x)\mathrm{cm}$。
由题意，得：
$(8+x)(6+x)=8×6+51$
整理，得：
$x^2 +14x =51$
配方，两边同时加$7^2$，得：
$x^2 +14x +7^2 =51+7^2$
即$(x+7)^2=100$
开平方得$x+7=\pm10$
解得 $x_1=3$，$x_2=-17$（长度不能为负，不合题意，舍去）
因此增加后的长：$8+x=8+3=11(\mathrm{cm})$，增加后的宽：$6+x=6+3=9(\mathrm{cm})$
【答案】
增加后长方形的长为 11 cm，宽为 9 cm。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 配方法解方程
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用类题目，重点考查找等量关系列方程的能力，以及配方法解一元二次方程的掌握程度，解题时需注意实际问题中方程的根要符合现实意义，负根需要舍去，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11 [2026 吉林白城期中]$(y+2)^2=(3y-1)^2.$
解:$y+2=3y-1$,……第一步
$\therefore -2y=-3$,……第二步
$\therefore y=\frac{3}{2}$.……第三步
(1)以上解方程的过程中从第
(2)请写出正确的解方程过程.
解:$y+2=3y-1$,……第一步
$\therefore -2y=-3$,……第二步
$\therefore y=\frac{3}{2}$.……第三步
(1)以上解方程的过程中从第
一
步开始出现错误,错误的原因是开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况
.(2)请写出正确的解方程过程.
答案
11.【解】(1)题中解方程的过程中从第一步开始出现错误,错误的原因是开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况. 故答案为一;开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况.
(2)直接开平方,得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$,解得 $y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$.
(2)直接开平方,得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$,解得 $y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
(1)判断解方程的错误步骤需结合直接开平方法的依据：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数。原解题第一步仅列出两式相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此第一步就出现错误。
(2)正确解题需严格遵循直接开平方法的规则，分两种情况列一元一次方程，再分别求解即可，注意避免漏解。
【解析】
(1)根据平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，题中解方程第一步仅考虑了$y+2=3y-1$这一种情况，忽略了$y+2=-(3y-1)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况。
(2)正确解方程过程：
直接开平方，得$y+2=3y-1$或$y+2=-(3y-1)$，
①解$y+2=3y-1$：移项得$y-3y=-1-2$，合并同类项得$-2y=-3$，系数化为1得$y=\frac{3}{2}$；
②解$y+2=-(3y-1)$：去括号得$y+2=-3y+1$，移项得$y+3y=1-2$，合并同类项得$4y=-1$，系数化为1得$y=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)一；开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况
(2)直接开平方，得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$，解得 $y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的易错点，解题时需注意平方相等的两个数存在相等、互为相反数两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
(1)判断解方程的错误步骤需结合直接开平方法的依据：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数。原解题第一步仅列出两式相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此第一步就出现错误。
(2)正确解题需严格遵循直接开平方法的规则，分两种情况列一元一次方程，再分别求解即可，注意避免漏解。
【解析】
(1)根据平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，题中解方程第一步仅考虑了$y+2=3y-1$这一种情况，忽略了$y+2=-(3y-1)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况。
(2)正确解方程过程：
直接开平方，得$y+2=3y-1$或$y+2=-(3y-1)$，
①解$y+2=3y-1$：移项得$y-3y=-1-2$，合并同类项得$-2y=-3$，系数化为1得$y=\frac{3}{2}$；
②解$y+2=-(3y-1)$：去括号得$y+2=-3y+1$，移项得$y+3y=1-2$，合并同类项得$4y=-1$，系数化为1得$y=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)一；开平方时，忽略被开方数互为相反数的情况
(2)直接开平方，得 $y+2=3y-1$ 或 $y+2=-(3y-1)$，解得 $y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的易错点，解题时需注意平方相等的两个数存在相等、互为相反数两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
