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1 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax + 6 = 0$的一个根是2，则$a$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. D 【解析】
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2 - ax + 6=0$ 的一个根是 2, $\therefore 2^2 - 2a + 6 = 0$, 解得 $a=5$. 故选 D.
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2 - ax + 6=0$ 的一个根是 2, $\therefore 2^2 - 2a + 6 = 0$, 解得 $a=5$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时利用一元二次方程根的定义思考：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=2是该方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，解出a的值后对应选项选择即可。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - ax + 6 = 0$的一个根是2，
∴ 将$x=2$代入方程得：$2^2 - 2a + 6 = 0$，
计算得：$4 - 2a + 6 = 0$，
合并同类项得：$10 - 2a = 0$，
移项解得：$a=5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”的规律即可解题，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
解题时利用一元二次方程根的定义思考：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=2是该方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，解出a的值后对应选项选择即可。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - ax + 6 = 0$的一个根是2，
∴ 将$x=2$代入方程得：$2^2 - 2a + 6 = 0$，
计算得：$4 - 2a + 6 = 0$，
合并同类项得：$10 - 2a = 0$，
移项解得：$a=5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，只要掌握“方程的根代入原方程等式成立”的规律即可解题，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
2[2025广东江门质检]若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a-b+c=0$，则方程必有一个根是（
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=0$
D.$x=2$
B
）A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=0$
D.$x=2$
答案
2. B 【解析】当 $x=-1$ 时, $ax^2 + bx + c = a×(-1)^2 + b×(-1)+c=a-b+c$. $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 满足 $a-b+c=0$,$\therefore$ 此方程必有一个根为 $x=-1$. 故选 B.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根，可根据一元二次方程根的定义思考：若某个x的值代入方程后，能使左边的$ax^2+bx+c$等于0，这个x就是方程的根。题目给出了$a-b+c=0$，我们只需要找到x取哪个值时，$ax^2+bx+c$的计算结果为$a-b+c$即可。观察式子可知，当$x^2=1$且$bx=-b$时，就能得到$a-b+c$，由此可推出x的取值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程左边验证：
当$x=-1$时，代入$ax^2+bx+c$得：
$ax^2 + bx + c = a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$
已知$a-b+c=0$，即$x=-1$时方程左边等于右边0，满足方程成立的条件，因此方程必有一个根是$x=-1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只要掌握“代入根能使方程左右两边相等”这一核心要点，就能快速推出结果，也可以通过直接代入选项验证的方法解题。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根，可根据一元二次方程根的定义思考：若某个x的值代入方程后，能使左边的$ax^2+bx+c$等于0，这个x就是方程的根。题目给出了$a-b+c=0$，我们只需要找到x取哪个值时，$ax^2+bx+c$的计算结果为$a-b+c$即可。观察式子可知，当$x^2=1$且$bx=-b$时，就能得到$a-b+c$，由此可推出x的取值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程左边验证：
当$x=-1$时，代入$ax^2+bx+c$得：
$ax^2 + bx + c = a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$
已知$a-b+c=0$，即$x=-1$时方程左边等于右边0，满足方程成立的条件，因此方程必有一个根是$x=-1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，只要掌握“代入根能使方程左右两边相等”这一核心要点，就能快速推出结果，也可以通过直接代入选项验证的方法解题。
【难度系数】
0.9
3 若$x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，设$M = 2 - ac$，$N = (ax_0 + 1)^2$，则$M$与$N$的大小关系为（
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
A
）A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
答案
3. A 【解析】$\because x_0$ 是方程 $ax^2+2x+c=0(a≠0)$ 的一个根,$\therefore ax_0^2+2x_0+c=0$, 即 $ax_0^2+2x_0=-c$, 则 $N-M=(ax_0+1)^2-(2-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+1-2+ac=a(ax_0^2+2x_0)+ac-1=-ac+ac-1=-1$. $\because -1＜0$,$\therefore M＞N$. 故选 A.
解析
【分析】
要比较M和N的大小，可采用作差法，通过判断差的正负确定二者大小关系。首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入方程得到等量关系式，再将N展开后与M作差，把得到的等量关系式代入差式中化简，最后判断差的符号即可得到结论。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + 2x_0 = -c$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(ax_0 + 1)^2-(2-ac)\\&=a^2x_0^2 + 2ax_0 + 1 - 2 + ac\\&=a(ax_0^2 + 2x_0) + ac - 1\end{aligned}$
将$ax_0^2 + 2x_0 = -c$代入上式：
$\begin{aligned}N-M&=a·(-c)+ac - 1\\&=-ac + ac -1\\&=-1\end{aligned}$
$\because -1＜0$，即$N-M＜0$，
$\therefore M＞N$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；作差法比较大小；完全平方公式
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的定义的应用，作差法是比较代数式大小的常用方法，解题的关键是利用根的定义得到等量关系，代入差式化简即可判断，解题逻辑清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要比较M和N的大小，可采用作差法，通过判断差的正负确定二者大小关系。首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_0$代入方程得到等量关系式，再将N展开后与M作差，把得到的等量关系式代入差式中化简，最后判断差的符号即可得到结论。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + 2x_0 = -c$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(ax_0 + 1)^2-(2-ac)\\&=a^2x_0^2 + 2ax_0 + 1 - 2 + ac\\&=a(ax_0^2 + 2x_0) + ac - 1\end{aligned}$
将$ax_0^2 + 2x_0 = -c$代入上式：
$\begin{aligned}N-M&=a·(-c)+ac - 1\\&=-ac + ac -1\\&=-1\end{aligned}$
$\because -1＜0$，即$N-M＜0$，
$\therefore M＞N$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；作差法比较大小；完全平方公式
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的定义的应用，作差法是比较代数式大小的常用方法，解题的关键是利用根的定义得到等量关系，代入差式化简即可判断，解题逻辑清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
4 已知$x=0$是关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 + mx + 4m^2 -4=0$的一个根，则直线$y=mx-2$不经过第
一
象限。答案
4. 一 【解析】$\because x=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+mx+4m^2-4=0$ 的一个根,$\therefore 4m^2-4=0$, 解得 $m=\pm1$. 根据题意, 得 $m-1≠0$,$\therefore m≠1$,$\therefore m=-1＜0$,$\therefore$ 直线 $y=mx-2$ 经过第二、三、四象限, 不经过第一象限. 故答案为一.
解析
【分析】
解题首先利用方程根的定义，把x=0代入一元二次方程，得到关于m的方程求出m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值；最后将确定的m值代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的符号判断直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
∵x=0是关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 + mx + 4m^2 -4=0$的一个根，
∴将x=0代入方程得：$4m^2 -4=0$，
解得：$m=\pm1$，
又
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$，
∴$m=-1$，
∴直线解析式为$y=-x-2$，
∵$k=-1＜0$，$b=-2＜0$，
∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的意义；一次函数的图象性质
【点评】
本题是方程与函数的小综合题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免多解出错，同时要熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题首先利用方程根的定义，把x=0代入一元二次方程，得到关于m的方程求出m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值；最后将确定的m值代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的符号判断直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
∵x=0是关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 + mx + 4m^2 -4=0$的一个根，
∴将x=0代入方程得：$4m^2 -4=0$，
解得：$m=\pm1$，
又
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$，
∴$m=-1$，
∴直线解析式为$y=-x-2$，
∵$k=-1＜0$，$b=-2＜0$，
∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的意义；一次函数的图象性质
【点评】
本题是方程与函数的小综合题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免多解出错，同时要熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系。
【难度系数】
0.7
5[2026江苏南京质检]若关于x的方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2025，则方程$a(x+1)^2+b(x+1)=5$必有一个根为
2024
。答案
5. 2 024 【解析】由条件可知 $a(x+1)^2+b(x+1)-5=0$. $\because$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx-5=0$ 有一个根为 2 025,$\therefore x+1=2\ 025$,$\therefore x=2\ 024$,故答案为 2 024.
解析
【分析】
本题可通过整体换元的思路求解：首先观察两个方程的结构特征，先将待求方程变形为和已知方程形式完全一致的结构，把$(x+1)$看作一个整体，结合一元二次方程根的定义，令这个整体等于已知方程的根，即可快速求出待求方程的根。
【解析】
首先对所求方程进行变形：将$a(x+1)^2+b(x+1)=5$移项，得到$a(x+1)^2 + b(x+1) - 5 = 0$。
已知关于$x$的方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2025，根据一元二次方程根的定义，当$x=2025$时，$a·2025^2 + b·2025 -5=0$成立。
对比两个方程的结构，设$t=x+1$，则第二个方程可写为$at^2+bt-5=0$，因此当$t=2025$时该方程成立，即$x+1=2025$，解得$x=2025-1=2024$。
【答案】
2024
【知识点】
一元二次方程的根；整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的灵活应用，解题关键是识别两个方程的相同结构，通过整体代换简化计算，侧重考查学生的观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.75
本题可通过整体换元的思路求解：首先观察两个方程的结构特征，先将待求方程变形为和已知方程形式完全一致的结构，把$(x+1)$看作一个整体，结合一元二次方程根的定义，令这个整体等于已知方程的根，即可快速求出待求方程的根。
【解析】
首先对所求方程进行变形：将$a(x+1)^2+b(x+1)=5$移项，得到$a(x+1)^2 + b(x+1) - 5 = 0$。
已知关于$x$的方程$ax^2+bx-5=0$有一个根为2025，根据一元二次方程根的定义，当$x=2025$时，$a·2025^2 + b·2025 -5=0$成立。
对比两个方程的结构，设$t=x+1$，则第二个方程可写为$at^2+bt-5=0$，因此当$t=2025$时该方程成立，即$x+1=2025$，解得$x=2025-1=2024$。
【答案】
2024
【知识点】
一元二次方程的根；整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的灵活应用，解题关键是识别两个方程的相同结构，通过整体代换简化计算，侧重考查学生的观察能力和转化思维。
【难度系数】
0.75
6[2026辽宁丹东期末]定义:方程$cx^2+bx+a=0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的“倒方程”,其中$a,b,c$为常数,且$a≠0,c≠0$.根据此定义解决下列问题:
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是________;
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的一个解,求出$c$的值;
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2025$的值为________.
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是________;
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的一个解,求出$c$的值;
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根,则$m^3+m^2-6m+2025$的值为________.
答案
6.【解】(1)方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是 $x^2+3x-4=0$. 故答案为 $x^2+3x-4=0$.
(2)方程 $x^2-2x+c=0$ 的“倒方程”为 $cx^2-2x+1=0$, 把 $x=-1$ 代入,得 $c+2+1=0$,$\therefore c=-3$.
(3)方程 $-6x^2+x+1=0$ 的“倒方程”为 $x^2+x-6=0$.
$\because m$ 是方程 $x^2+x-6=0$ 的一个实数根,$\therefore m^2+m-6=0$,$\therefore m^3+m^2-6m+2\ 025=m(m^2+m-6)+2\ 025=2\ 025$. 故答案为 2 025.
(2)方程 $x^2-2x+c=0$ 的“倒方程”为 $cx^2-2x+1=0$, 把 $x=-1$ 代入,得 $c+2+1=0$,$\therefore c=-3$.
(3)方程 $-6x^2+x+1=0$ 的“倒方程”为 $x^2+x-6=0$.
$\because m$ 是方程 $x^2+x-6=0$ 的一个实数根,$\therefore m^2+m-6=0$,$\therefore m^3+m^2-6m+2\ 025=m(m^2+m-6)+2\ 025=2\ 025$. 故答案为 2 025.
解析
【分析】
本题围绕“倒方程”的新定义展开考查，解题思路如下：
(1) 首先明确“倒方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换位置，得到的$cx^2+bx+a=0$就是原方程的倒方程，只需找出原方程的$a、b、c$，互换$a$和$c$即可写出倒方程；
(2) 先按照定义写出原方程的倒方程，再根据方程的解的定义，把$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值；
(3) 先写出原方程的倒方程，因为$m$是倒方程的根，所以满足倒方程的等式，可得$m^2+m-6=0$，再对所求代数式进行因式分解变形，将$m^2+m-6$作为整体代入，即可求出代数式的值。
【解析】
(1) 原方程为$-4x^2+3x+1=0$，对应二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义，互换二次项系数和常数项，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$；
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”为$cx^2-2x+1=0$，
将$x=-1$代入倒方程得：$c·(-1)^2 -2×(-1) +1=0$，
化简得：$c+2+1=0$，解得$c=-3$；
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”为$x^2+x-6=0$，
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2025 = m(m^2+m-6) + 2025$，
将$m^2+m-6=0$代入得：原式$= m×0 +2025=2025$。
【答案】
(1) $x^2+3x-4=0$；(2) $c=-3$；(3) $2025$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解、代数式化简求值
【点评】
本题以新定义“倒方程”为载体，考查一元二次方程的基本概念和方程解的应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，再结合代入求值、整体代换的思想求解，能有效考查对新信息的理解能力和知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕“倒方程”的新定义展开考查，解题思路如下：
(1) 首先明确“倒方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换位置，得到的$cx^2+bx+a=0$就是原方程的倒方程，只需找出原方程的$a、b、c$，互换$a$和$c$即可写出倒方程；
(2) 先按照定义写出原方程的倒方程，再根据方程的解的定义，把$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值；
(3) 先写出原方程的倒方程，因为$m$是倒方程的根，所以满足倒方程的等式，可得$m^2+m-6=0$，再对所求代数式进行因式分解变形，将$m^2+m-6$作为整体代入，即可求出代数式的值。
【解析】
(1) 原方程为$-4x^2+3x+1=0$，对应二次项系数为$-4$，一次项系数为$3$，常数项为$1$，根据倒方程定义，互换二次项系数和常数项，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$；
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”为$cx^2-2x+1=0$，
将$x=-1$代入倒方程得：$c·(-1)^2 -2×(-1) +1=0$，
化简得：$c+2+1=0$，解得$c=-3$；
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”为$x^2+x-6=0$，
$\because m$是该倒方程的实数根，$\therefore m^2+m-6=0$，
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2025 = m(m^2+m-6) + 2025$，
将$m^2+m-6=0$代入得：原式$= m×0 +2025=2025$。
【答案】
(1) $x^2+3x-4=0$；(2) $c=-3$；(3) $2025$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解、代数式化简求值
【点评】
本题以新定义“倒方程”为载体，考查一元二次方程的基本概念和方程解的应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，再结合代入求值、整体代换的思想求解，能有效考查对新信息的理解能力和知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
7 根据下列表格的对应值：
可判断方程$x^2+12x-15=0$必有一个解x满足
（
A.$-1＜x＜1$
B.$1＜x＜1.1$
C.$1.1＜x＜1.2$
D.$-0.59＜x＜0.84$
可判断方程$x^2+12x-15=0$必有一个解x满足
（
C
）A.$-1＜x＜1$
B.$1＜x＜1.1$
C.$1.1＜x＜1.2$
D.$-0.59＜x＜0.84$
答案
7. C 【解析】$\because x=1.1$ 时,$x^2+12x-15=-0.59＜0$,$x=1.2$ 时,$x^2+12x-15=0.84＞0$,$\therefore x^2+12x-15=0$ 时,$1.1＜x＜1.2$,即方程 $x^2+12x-15=0$ 必有一个解 $x$ 满足 $1.1＜x＜1.2$,故选 C.
解析
【分析】
方程$x^2+12x-15=0$的解就是使代数式$x^2+12x-15$的值为0的$x$的取值。由于这个二次代数式的值随$x$的变化是连续的，因此当两个相邻的$x$对应的代数式值一正一负时，两个$x$之间一定存在使代数式值为0的点，也就是方程的解。我们只需要找到表格中代数式值正负发生变化的相邻$x$区间即可。
【解析】
观察表格中的对应值：
当$x=1.1$时，$x^2+12x-15=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2+12x-15=0.84＞0$。
因此当$x$在$1.1$到$1.2$之间时，必然存在一个$x$使得$x^2+12x-15=0$，即方程$x^2+12x-15=0$的一个解满足$1.1＜x＜1.2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程的解
【点评】
本题是估算一元二次方程解的基础题型，解题核心是理解方程的解与对应代数式值的关联，通过代数式值的正负变化快速锁定解的区间，掌握对应方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
方程$x^2+12x-15=0$的解就是使代数式$x^2+12x-15$的值为0的$x$的取值。由于这个二次代数式的值随$x$的变化是连续的，因此当两个相邻的$x$对应的代数式值一正一负时，两个$x$之间一定存在使代数式值为0的点，也就是方程的解。我们只需要找到表格中代数式值正负发生变化的相邻$x$区间即可。
【解析】
观察表格中的对应值：
当$x=1.1$时，$x^2+12x-15=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$x^2+12x-15=0.84＞0$。
因此当$x$在$1.1$到$1.2$之间时，必然存在一个$x$使得$x^2+12x-15=0$，即方程$x^2+12x-15=0$的一个解满足$1.1＜x＜1.2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程的解
【点评】
本题是估算一元二次方程解的基础题型，解题核心是理解方程的解与对应代数式值的关联，通过代数式值的正负变化快速锁定解的区间，掌握对应方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8[2025山西吕梁质检]如图是一张长8 cm、宽6 cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,可制成一个底面积是12 cm²的无盖长方体纸盒.小华设剪去的正方形边长为x cm,列出关于x的方程$(8-2x)(6-2x)=12$,整理得$x^2-7x+9=0$.
他想知道剪去的正方形边长到底是多少,下面是他的探索过程.
第一步:
因此,
第二步:
因此,
(1)请你帮助小华完成表格中未完成的部分,并写出x的范围;
(2)通过以上探索,请直接估计出x的值.(结果保留一位小数)
他想知道剪去的正方形边长到底是多少,下面是他的探索过程.
第一步:
因此,
1
＜x＜2
.第二步:
因此,
1.6
＜x＜1.7
.(1)请你帮助小华完成表格中未完成的部分,并写出x的范围;
(2)通过以上探索,请直接估计出x的值.(结果保留一位小数)
答案
8.【解】(1)第一步:当 $x=1$ 时,$x^2-7x+9=1^2-7×1+9=3$,当 $x=2$ 时,$x^2-7x+9=2^2-7×2+9=-1$,$\therefore 1＜x＜2$.
第二步:当 $x=1.6$ 时,$x^2-7x+9=0.36$,当 $x=1.7$ 时,$x^2-7x+9=-0.01$,$\therefore 1.6＜x＜1.7$. 故答案为 3, $-1$,1,2,1.6,1.7.
(2)通过以上探索,$x$ 的值约为 1.7.
第二步:当 $x=1.6$ 时,$x^2-7x+9=0.36$,当 $x=1.7$ 时,$x^2-7x+9=-0.01$,$\therefore 1.6＜x＜1.7$. 故答案为 3, $-1$,1,2,1.6,1.7.
(2)通过以上探索,$x$ 的值约为 1.7.
解析
【分析】
要估算一元二次方程$x^2-7x+9=0$的解，可利用“夹逼法”：当代入两个不同的$x$值时，若代数式$x^2-7x+9$的值一正一负，则方程的解就在这两个$x$值之间。解题时首先代入整数$x$确定解的大致范围，再在该范围内代入一位小数的$x$值进一步缩小范围，最后根据代数式值接近0的程度估算近似解，同时要注意结合实际意义，$x$需满足剪去正方形后长方体的长、宽均为正数。
【解析】
(1) 第一步：分别将$x=1$、$x=2$代入代数式$x^2-7x+9$计算：
当$x=1$时，$x^2-7x+9=1^2-7×1+9=3$；
当$x=2$时，$x^2-7x+9=2^2-7×2+9=-1$；
代数式的值由正变负，因此$1＜x＜2$。
第二步：在$1＜x＜2$的范围内，代入$x=1.6$、$x=1.7$计算：
当$x=1.6$时，$x^2-7x+9=1.6^2-7×1.6+9=0.36$；
当$x=1.7$时，$x^2-7x+9=1.7^2-7×1.7+9=-0.01$；
代数式的值由正变负，因此$1.6＜x＜1.7$。
(2) 对比$x=1.6$和$x=1.7$对应的代数式值，$x=1.7$时$x^2-7x+9=-0.01$，与0的差值更小，因此可估计$x$的近似值为1.7。
【答案】
(1) 第一步依次填：$3$，$-1$，$1$，$2$；第二步依次填：$1.6$，$1.7$，$x$的取值范围为$1.6＜x＜1.7$；
(2) $x\approx1.7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程近似解
3. 代数式求值
【点评】
本题采用“夹逼法”逐步缩小一元二次方程解的范围得到近似解，是估算方程解的常用方法，解题时需先结合实际问题确定解的初步取值范围，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
要估算一元二次方程$x^2-7x+9=0$的解，可利用“夹逼法”：当代入两个不同的$x$值时，若代数式$x^2-7x+9$的值一正一负，则方程的解就在这两个$x$值之间。解题时首先代入整数$x$确定解的大致范围，再在该范围内代入一位小数的$x$值进一步缩小范围，最后根据代数式值接近0的程度估算近似解，同时要注意结合实际意义，$x$需满足剪去正方形后长方体的长、宽均为正数。
【解析】
(1) 第一步：分别将$x=1$、$x=2$代入代数式$x^2-7x+9$计算：
当$x=1$时，$x^2-7x+9=1^2-7×1+9=3$；
当$x=2$时，$x^2-7x+9=2^2-7×2+9=-1$；
代数式的值由正变负，因此$1＜x＜2$。
第二步：在$1＜x＜2$的范围内，代入$x=1.6$、$x=1.7$计算：
当$x=1.6$时，$x^2-7x+9=1.6^2-7×1.6+9=0.36$；
当$x=1.7$时，$x^2-7x+9=1.7^2-7×1.7+9=-0.01$；
代数式的值由正变负，因此$1.6＜x＜1.7$。
(2) 对比$x=1.6$和$x=1.7$对应的代数式值，$x=1.7$时$x^2-7x+9=-0.01$，与0的差值更小，因此可估计$x$的近似值为1.7。
【答案】
(1) 第一步依次填：$3$，$-1$，$1$，$2$；第二步依次填：$1.6$，$1.7$，$x$的取值范围为$1.6＜x＜1.7$；
(2) $x\approx1.7$
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程近似解
3. 代数式求值
【点评】
本题采用“夹逼法”逐步缩小一元二次方程解的范围得到近似解，是估算方程解的常用方法，解题时需先结合实际问题确定解的初步取值范围，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
