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1 [2025 河北沧州质检]将二次三项式$2x^2 -8x +7$进行配方，正确的结果是（
A.$(x-2)^2 +3$
B.$2(x-2)^2 +3$
C.$2(x-2)^2 -1$
D.$2(x-2)^2 +1$
C
）A.$(x-2)^2 +3$
B.$2(x-2)^2 +3$
C.$2(x-2)^2 -1$
D.$2(x-2)^2 +1$
答案
1.C 【解析】原式=2(x²-4x)+7=2(x²-4x+4-4)+7=2(x-2)²-8+7=2(x-2)²-1. 故选C.
解析
【分析】
本题考查二次三项式的配方，解题思路如下：对于二次项系数不为1的二次三项式配方，首先提取二次项系数，将二次项、一次项部分转化为二次项系数为1的多项式；接着对括号内的多项式凑完全平方，即加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证原式的值不变；再将括号内的部分写成完全平方形式，展开后合并常数项，最后对比选项得到结果。
【解析】
对$2x^2 -8x +7$配方步骤如下：
1. 提取二次项系数2，仅对含x的项变形：
原式$=2(x^2 -4x)+7$
2. 括号内凑完全平方，增删相同的数保证值不变：
$=2(x^2 -4x +4 -4)+7$
3. 将括号内前三项改写为完全平方形式：
$=2[(x-2)^2 -4]+7$
4. 去括号合并常数项：
$=2(x-2)^2 -8 +7=2(x-2)^2 -1$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础常规题，重点考查二次项系数不为1的二次三项式的配方步骤，解题时需注意凑完全平方时增删的项要与提取的二次项系数相乘，避免常数项计算错误，熟练掌握配方步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次三项式的配方，解题思路如下：对于二次项系数不为1的二次三项式配方，首先提取二次项系数，将二次项、一次项部分转化为二次项系数为1的多项式；接着对括号内的多项式凑完全平方，即加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证原式的值不变；再将括号内的部分写成完全平方形式，展开后合并常数项，最后对比选项得到结果。
【解析】
对$2x^2 -8x +7$配方步骤如下：
1. 提取二次项系数2，仅对含x的项变形：
原式$=2(x^2 -4x)+7$
2. 括号内凑完全平方，增删相同的数保证值不变：
$=2(x^2 -4x +4 -4)+7$
3. 将括号内前三项改写为完全平方形式：
$=2[(x-2)^2 -4]+7$
4. 去括号合并常数项：
$=2(x-2)^2 -8 +7=2(x-2)^2 -1$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础常规题，重点考查二次项系数不为1的二次三项式的配方步骤，解题时需注意凑完全平方时增删的项要与提取的二次项系数相乘，避免常数项计算错误，熟练掌握配方步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2[2026 四川绵阳调研]用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，配方正确的是（
A.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
B.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
C.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{11}{4}$
A
）A.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
B.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
C.$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{11}{4}$
答案
2.A 【解析】原方程移项得$2x^2-3x=1$,二次项系数化为1得$x^2-\dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{2}$,配方得$x^2-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}+(\dfrac{3}{4})^2$,即$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$. 故选A.
解析
【分析】
要选出正确的配方结果，需按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐步变形，再匹配选项。首先将常数项移到方程右侧，其次把二次项系数化为1，最后给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式，计算右侧结果即可得到配方后的方程。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 - 3x = 1$
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
给方程左右两边同时加上一次项系数$-\dfrac{3}{2}$的一半的平方$(\dfrac{3}{4})^2$，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + (\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{4})^2$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得$\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{16}$，即：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，解题核心是牢记配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号左右需同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的项导致错误。
【难度系数】
0.8
要选出正确的配方结果，需按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐步变形，再匹配选项。首先将常数项移到方程右侧，其次把二次项系数化为1，最后给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式，计算右侧结果即可得到配方后的方程。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$2x^2 - 3x = 1$
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
给方程左右两边同时加上一次项系数$-\dfrac{3}{2}$的一半的平方$(\dfrac{3}{4})^2$，得：
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + (\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2} + (\dfrac{3}{4})^2$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得$\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{16}$，即：
$(x - \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，解题核心是牢记配方法的操作步骤，注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号左右需同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的项导致错误。
【难度系数】
0.8
3 在解方程$2x^2 +4x +1=0$时，对方程进行配方，①是嘉嘉的做法，②是琪琪的做法，对于两人的做法，说法正确的是（
A.两人都正确
B.嘉嘉正确,琪琪不正确
C.嘉嘉不正确,琪琪正确
D.两人都不正确
A
）A.两人都正确
B.嘉嘉正确,琪琪不正确
C.嘉嘉不正确,琪琪正确
D.两人都不正确
答案
3.A 【解析】两种配方思路：将方程$2x^2+4x+1=0$先移项得$2x^2+4x=-1$，第一种是两边同乘2得到$4x^2+8x=-2$，配方得$4x^2+8x+4=2$，即$(2x+2)^2=2$；第二种是两边同除以2得到$x^2+2x=-\dfrac{1}{2}$，配方得$x^2+2x+1=\dfrac{1}{2}$，即$(x+1)^2=\dfrac{1}{2}$，两种做法均正确，故选A。
解析
【分析】
解题时核心要抓住两点：一是配方法的本质是利用完全平方公式将方程左边化为完全平方式，二是变形过程要符合等式的基本性质。首先先明确两人的共同出发点：将原方程移项得到$2x^2+4x=-1$，再分别验证两人的变形：嘉嘉选择将方程两边同乘2，把二次项系数变为完全平方数，再凑完全平方，每一步变形都符合等式性质，配方正确；琪琪选择先将二次项系数化为1（两边同除以2），再凑完全平方，变形也符合规则，配方正确，因此两人做法都对。
【解析】
先将原方程$2x^2+4x+1=0$移项，得$2x^2+4x=-1$。
1. 验证嘉嘉的做法：
根据等式的基本性质，方程两边同时乘2，得$4x^2+8x=-2$；
为凑完全平方，方程两边同时加4，得$4x^2+8x+4=-2+4$；
左边用完全平方公式因式分解，得$(2x+2)^2=2$，嘉嘉的做法正确。
2. 验证琪琪的做法：
根据等式的基本性质，方程两边同时除以2将二次项系数化为1，得$x^2+2x=-\frac{1}{2}$；
为凑完全平方，方程两边同时加1，得$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$；
左边用完全平方公式因式分解，得$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，琪琪的做法正确。
综上两人做法均正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的灵活运用，配方没有固定的唯一流程，既可以先把二次项系数化为1再配方，也可以根据式子特征直接凑完全平方式，只要变形符合等式性质、配方正确即可，解题时可根据题目特点选择更简便的方法。
【难度系数】
0.8
解题时核心要抓住两点：一是配方法的本质是利用完全平方公式将方程左边化为完全平方式，二是变形过程要符合等式的基本性质。首先先明确两人的共同出发点：将原方程移项得到$2x^2+4x=-1$，再分别验证两人的变形：嘉嘉选择将方程两边同乘2，把二次项系数变为完全平方数，再凑完全平方，每一步变形都符合等式性质，配方正确；琪琪选择先将二次项系数化为1（两边同除以2），再凑完全平方，变形也符合规则，配方正确，因此两人做法都对。
【解析】
先将原方程$2x^2+4x+1=0$移项，得$2x^2+4x=-1$。
1. 验证嘉嘉的做法：
根据等式的基本性质，方程两边同时乘2，得$4x^2+8x=-2$；
为凑完全平方，方程两边同时加4，得$4x^2+8x+4=-2+4$；
左边用完全平方公式因式分解，得$(2x+2)^2=2$，嘉嘉的做法正确。
2. 验证琪琪的做法：
根据等式的基本性质，方程两边同时除以2将二次项系数化为1，得$x^2+2x=-\frac{1}{2}$；
为凑完全平方，方程两边同时加1，得$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$；
左边用完全平方公式因式分解，得$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，琪琪的做法正确。
综上两人做法均正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的灵活运用，配方没有固定的唯一流程，既可以先把二次项系数化为1再配方，也可以根据式子特征直接凑完全平方式，只要变形符合等式性质、配方正确即可，解题时可根据题目特点选择更简便的方法。
【难度系数】
0.8
4 用配方法解一元二次方程$-3x^2 + 12x - 2 = 0$时，将它化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a + b$的值为________。
答案
4.$\dfrac{4}{3}$ 【解析】$-3x^2+12x-2=0$,二次项系数化为1,得$x^2-4x+\dfrac{2}{3}=0$,移项,得$x^2-4x=-\dfrac{2}{3}$,配方,得$x^2-4x+4=-\dfrac{2}{3}+4$,即$(x-2)^2=\dfrac{10}{3}$,$\therefore a=-2,b=\dfrac{10}{3}$,$\therefore a+b=-2+\dfrac{10}{3}=\dfrac{4}{3}$. 故答案为$\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
要解这道题，需按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐步变形，最终化为题目要求的$(x+a)^2=b$的形式，再确定$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。具体思考路径：第一步先把二次项系数化为1，因为完全平方式的二次项系数为1，这是配方的前提；第二步移项，将常数项移到等号右侧，只留含未知数的项在左侧；第三步配方，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，即可得到目标形式，再对应找到$a$、$b$计算和。
【解析】
解：原方程为$-3x^2 + 12x - 2 = 0$，
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$-3$，得$x^2 - 4x + \dfrac{2}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 4x = -\dfrac{2}{3}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = -\dfrac{2}{3} + 4$，
整理得$(x - 2)^2 = \dfrac{10}{3}$。
对比$(x + a)^2 = b$的形式，可得$a = -2$，$b = \dfrac{10}{3}$，
因此$a + b = -2 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的典型应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数化为1时各项的符号变化，以及配方时等式两边必须同时加相同的数，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐步变形，最终化为题目要求的$(x+a)^2=b$的形式，再确定$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。具体思考路径：第一步先把二次项系数化为1，因为完全平方式的二次项系数为1，这是配方的前提；第二步移项，将常数项移到等号右侧，只留含未知数的项在左侧；第三步配方，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，即可得到目标形式，再对应找到$a$、$b$计算和。
【解析】
解：原方程为$-3x^2 + 12x - 2 = 0$，
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$-3$，得$x^2 - 4x + \dfrac{2}{3} = 0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 4x = -\dfrac{2}{3}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = -\dfrac{2}{3} + 4$，
整理得$(x - 2)^2 = \dfrac{10}{3}$。
对比$(x + a)^2 = b$的形式，可得$a = -2$，$b = \dfrac{10}{3}$，
因此$a + b = -2 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的典型应用，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数化为1时各项的符号变化，以及配方时等式两边必须同时加相同的数，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
5 当$x=$
$1\pm\sqrt{5}$
时，代数式$3x^2 -6x$的值等于12.答案
5.$1\pm\sqrt{5}$ 【解析】根据题意得$3x^2-6x=12$,即$x^2-2x=4$,配方得$x^2-2x+1=5$,即$(x-1)^2=5$,开方得$x-1=\pm\sqrt{5}$,解得$x=1\pm\sqrt{5}$. 故答案为$1\pm\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时首先根据“代数式的值等于12”这一条件建立关于x的一元二次方程，本题适配配方法的解题思路：第一步先将方程的二次项系数化为1，第二步对二次式配方，将其变形为完全平方式的形式，第三步通过开平方将二次方程降为一次方程，最后求解一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$3x^2 - 6x = 12$
方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - 2x = 4$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
整理得：
$(x - 1)^2 = 5$
开平方得：
$x - 1 = \pm\sqrt{5}$
移项解得：
$x = 1\pm\sqrt{5}$
【答案】
$1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤：先化二次项系数为1，再配方为完全平方式，最后开方求解，属于常规基础题，熟练掌握配方法步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“代数式的值等于12”这一条件建立关于x的一元二次方程，本题适配配方法的解题思路：第一步先将方程的二次项系数化为1，第二步对二次式配方，将其变形为完全平方式的形式，第三步通过开平方将二次方程降为一次方程，最后求解一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$3x^2 - 6x = 12$
方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - 2x = 4$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
整理得：
$(x - 1)^2 = 5$
开平方得：
$x - 1 = \pm\sqrt{5}$
移项解得：
$x = 1\pm\sqrt{5}$
【答案】
$1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤：先化二次项系数为1，再配方为完全平方式，最后开方求解，属于常规基础题，熟练掌握配方法步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.7
6 用配方法解下列方程：
(1)[2026上海静安区期中]$4x^2 -12x -891=0$；
(2)$-3x^2 +4x +1=0$；
(3)$(3x-1)(x-2)=12$；
(4)$\frac{3}{4}x^2 +3x +1=0$；
(1)[2026上海静安区期中]$4x^2 -12x -891=0$；
(2)$-3x^2 +4x +1=0$；
(3)$(3x-1)(x-2)=12$；
(4)$\frac{3}{4}x^2 +3x +1=0$；
答案
6.【解】(1)$4x^2 -12x -891=0$,二次项系数化为1并移项,得$x^2-3x=\dfrac{891}{4}$,配方,得$x^2-3x+(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{891}{4}+\dfrac{9}{4}$,即$(x-\dfrac{3}{2})^2=225$,$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm15$,$\therefore x=\dfrac{3}{2}\pm15$,$\therefore x_1=\dfrac{33}{2},x_2=-\dfrac{27}{2}$.
(2)$-3x^2 +4x +1=0$,二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$. 移项并配方,得$x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}$,即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{7}{9}$,$\therefore x-\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$,$\therefore x=\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$,$\therefore x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$.
(3)展开,得$3x^2-6x-x+2=12$. 整理,得$3x^2-7x-10=0$. 配方,得$3(x^2-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{49}{36})-\dfrac{49}{12}-10=0$. 移项、合并同类项,得$3(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{12}$,即$(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{36}$. 开平方,得$x-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{13}{6}$,$\therefore x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$.
(4)$\dfrac{3}{4}x^2 +3x +1=0$,二次项系数化为1,得$x^2+4x+\dfrac{4}{3}=0$. 配方,得$(x+2)^2-4+\dfrac{4}{3}=0$. 移项、合并同类项,得$(x+2)^2=\dfrac{8}{3}$. 开平方,得$x+2=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$. $\therefore x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$.
(2)$-3x^2 +4x +1=0$,二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$. 移项并配方,得$x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}$,即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{7}{9}$,$\therefore x-\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$,$\therefore x=\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$,$\therefore x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$.
(3)展开,得$3x^2-6x-x+2=12$. 整理,得$3x^2-7x-10=0$. 配方,得$3(x^2-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{49}{36})-\dfrac{49}{12}-10=0$. 移项、合并同类项,得$3(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{12}$,即$(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{36}$. 开平方,得$x-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{13}{6}$,$\therefore x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$.
(4)$\dfrac{3}{4}x^2 +3x +1=0$,二次项系数化为1,得$x^2+4x+\dfrac{4}{3}=0$. 配方,得$(x+2)^2-4+\dfrac{4}{3}=0$. 移项、合并同类项,得$(x+2)^2=\dfrac{8}{3}$. 开平方,得$x+2=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$. $\therefore x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的通用思路为：①若方程不是一般形式，先去括号、移项、合并同类项，化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；②将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数，方便后续配方；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式；⑤开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程；⑥求解一元一次方程，得到原方程的根。解题时注意每一步变形都要保证等号两边相等，避免计算错误。
【解析】
(1) $4x^2 -12x -891=0$，
二次项系数化为1并移项，得$x^2-3x=\dfrac{891}{4}$，
配方，得$x^2-3x+(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{891}{4}+\dfrac{9}{4}$，即$(x-\dfrac{3}{2})^2=225$，
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm15$，
$\therefore x=\dfrac{3}{2}\pm15$，
$\therefore x_1=\dfrac{33}{2},x_2=-\dfrac{27}{2}$。
(2) $-3x^2 +4x +1=0$，
二次项系数化为1，得$x^2-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$，
移项并配方，得$x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}$，即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{7}{9}$，
$\therefore x-\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$，
$\therefore x=\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$，
$\therefore x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(3) $(3x-1)(x-2)=12$，
展开，得$3x^2-6x-x+2=12$，
整理，得$3x^2-7x-10=0$，
配方，得$3(x^2-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{49}{36})-\dfrac{49}{12}-10=0$，
移项、合并同类项，得$3(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{12}$，即$(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{36}$，
开平方，得$x-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{13}{6}$，
$\therefore x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$。
(4) $\dfrac{3}{4}x^2 +3x +1=0$，
二次项系数化为1，得$x^2+4x+\dfrac{4}{3}=0$，
配方，得$(x+2)^2-4+\dfrac{4}{3}=0$，
移项、合并同类项，得$(x+2)^2=\dfrac{8}{3}$，
开平方，得$x+2=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{33}{2},x_2=-\dfrac{27}{2}$；
(2)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$；
(3)$x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$；
(4)$x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1时各项都要除以二次项系数，配方时等号两侧需同时加上相同的数，计算时注意符号和分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的通用思路为：①若方程不是一般形式，先去括号、移项、合并同类项，化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；②将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数，方便后续配方；③移项，将常数项移到等号右侧；④配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式；⑤开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程；⑥求解一元一次方程，得到原方程的根。解题时注意每一步变形都要保证等号两边相等，避免计算错误。
【解析】
(1) $4x^2 -12x -891=0$，
二次项系数化为1并移项，得$x^2-3x=\dfrac{891}{4}$，
配方，得$x^2-3x+(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{891}{4}+\dfrac{9}{4}$，即$(x-\dfrac{3}{2})^2=225$，
$\therefore x-\dfrac{3}{2}=\pm15$，
$\therefore x=\dfrac{3}{2}\pm15$，
$\therefore x_1=\dfrac{33}{2},x_2=-\dfrac{27}{2}$。
(2) $-3x^2 +4x +1=0$，
二次项系数化为1，得$x^2-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$，
移项并配方，得$x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}$，即$(x-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{7}{9}$，
$\therefore x-\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$，
$\therefore x=\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}$，
$\therefore x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(3) $(3x-1)(x-2)=12$，
展开，得$3x^2-6x-x+2=12$，
整理，得$3x^2-7x-10=0$，
配方，得$3(x^2-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{49}{36})-\dfrac{49}{12}-10=0$，
移项、合并同类项，得$3(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{12}$，即$(x-\dfrac{7}{6})^2=\dfrac{169}{36}$，
开平方，得$x-\dfrac{7}{6}=\pm\dfrac{13}{6}$，
$\therefore x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$。
(4) $\dfrac{3}{4}x^2 +3x +1=0$，
二次项系数化为1，得$x^2+4x+\dfrac{4}{3}=0$，
配方，得$(x+2)^2-4+\dfrac{4}{3}=0$，
移项、合并同类项，得$(x+2)^2=\dfrac{8}{3}$，
开平方，得$x+2=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{33}{2},x_2=-\dfrac{27}{2}$；
(2)$x_1=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$；
(3)$x_1=\dfrac{10}{3},x_2=-1$；
(4)$x_1=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{3},x_2=-\dfrac{2\sqrt{6}+6}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1时各项都要除以二次项系数，配方时等号两侧需同时加上相同的数，计算时注意符号和分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
7[2025陕西西安调研]某种爆竹点燃后，其上升高度$h$（m）和时间$t$（s）符合关系式：$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2(0＜t＜4)$，其中$g$按$10\ \mathrm{m/s}^2$计算。这种爆竹点燃后以$v_0=20\ \mathrm{m/s}$的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多长时间离地面的高度为$15\ \mathrm{m}$？
刷易错 .....................小心有坑~
刷易错 .....................小心有坑~
答案
7.【解】根据题意可得$h=20t - \dfrac{1}{2}×10t^2=-5t^2+20t$,$\therefore$当这种爆竹离地面的高度为15 m时,$-5t^2+20t=15$,整理,得$t^2-4t=-3$,配方,得$t^2-4t+(-2)^2=-3+(-2)^2$,$\therefore (t-2)^2=1$,解得$t_1=1$,$t_2=3$. 故这种爆竹在地面上点燃后,经过1 s或3 s离地面的高度为15 m.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出了高度h与时间t的关系式，且已知初速度v₀=20m/s、重力加速度g=10m/s²，要求h=15m时对应的时间t。首先将已知的v₀、g代入关系式，得到h关于t的一元二次表达式；再令h=15，列出关于t的一元二次方程；之后用配方法求解方程，最后验证得到的解是否在题目规定的0＜t＜4的范围内，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
将v₀=20m/s、g=10m/s²代入关系式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，可得：
$h=20t - \dfrac{1}{2}×10t^2=-5t^2+20t$
当爆竹离地面高度为15m时，h=15，代入得方程：
$-5t^2+20t=15$
两边同时除以-5，整理得：
$t^2-4t=-3$
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(-2)^2$，得：
$t^2-4t+(-2)^2=-3+(-2)^2$
即$(t-2)^2=1$
开方得$t-2=±1$
解得$t_1=1$，$t_2=3$
验证：$0＜1＜4$，$0＜3＜4$，两个解均符合题意。
【答案】
1 s或3 s
【知识点】
一元二次方程的实际应用；配方法解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题的关键是准确代入已知量列出方程，用配方法求解后要注意检验解是否符合题目的限定条件，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：题目给出了高度h与时间t的关系式，且已知初速度v₀=20m/s、重力加速度g=10m/s²，要求h=15m时对应的时间t。首先将已知的v₀、g代入关系式，得到h关于t的一元二次表达式；再令h=15，列出关于t的一元二次方程；之后用配方法求解方程，最后验证得到的解是否在题目规定的0＜t＜4的范围内，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
将v₀=20m/s、g=10m/s²代入关系式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，可得：
$h=20t - \dfrac{1}{2}×10t^2=-5t^2+20t$
当爆竹离地面高度为15m时，h=15，代入得方程：
$-5t^2+20t=15$
两边同时除以-5，整理得：
$t^2-4t=-3$
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(-2)^2$，得：
$t^2-4t+(-2)^2=-3+(-2)^2$
即$(t-2)^2=1$
开方得$t-2=±1$
解得$t_1=1$，$t_2=3$
验证：$0＜1＜4$，$0＜3＜4$，两个解均符合题意。
【答案】
1 s或3 s
【知识点】
一元二次方程的实际应用；配方法解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题的关键是准确代入已知量列出方程，用配方法求解后要注意检验解是否符合题目的限定条件，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.7
8 小明在学习了用配方法解一元二次方程后，用配方法解方程$2x^2 -8x +3=0$的过程如下.
解:$2x^2 -8x = -3 \xrightarrow{①} x^2 -4x = -3 \xrightarrow{②} x^2 -4x +4 = -3 +4 \xrightarrow{③} (x-2)^2 =1 \xrightarrow{④} x-2=\pm1 \xrightarrow{⑤} x_1=3,x_2=1.$
(1)上述解方程的过程中,小明从第
(2)请正确利用配方法解方程$2x^2 -8x +3=0.$
解:$2x^2 -8x = -3 \xrightarrow{①} x^2 -4x = -3 \xrightarrow{②} x^2 -4x +4 = -3 +4 \xrightarrow{③} (x-2)^2 =1 \xrightarrow{④} x-2=\pm1 \xrightarrow{⑤} x_1=3,x_2=1.$
(1)上述解方程的过程中,小明从第
①
步开始出现了错误(填序号);(2)请正确利用配方法解方程$2x^2 -8x +3=0.$
答案
8.【解】(1)题中解方程的过程中,从第①步开始出现了错误. 故答案为①.
(2)$2x^2 -8x +3=0$,移项,得$2x^2-8x=-3$,二次项系数化为1,得$x^2-4x=-\dfrac{3}{2}$,配方,得$x^2-4x+4=-\dfrac{3}{2}+4$,即$(x-2)^2=\dfrac{5}{2}$,开平方,得$x-2=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$,解得$x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
(2)$2x^2 -8x +3=0$,移项,得$2x^2-8x=-3$,二次项系数化为1,得$x^2-4x=-\dfrac{3}{2}$,配方,得$x^2-4x+4=-\dfrac{3}{2}+4$,即$(x-2)^2=\dfrac{5}{2}$,开平方,得$x-2=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$,解得$x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
解析
【分析】
（1）要判断错误步骤，先明确配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的正确步骤：先移项，将常数项移到方程右侧；再将二次项系数化为1，即方程左右两边同时除以二次项系数，每一项都要参与除法运算。观察小明的解题过程，第①步是将二次项系数化为1，他仅将左侧两项除以2，右侧的-3没有除以2，不符合等式的性质，因此从第①步开始出错。
（2）正确求解时严格按照配方法步骤操作：先移项，再化二次项系数为1，接着配方（方程两边同时加一次项系数一半的平方），将左侧写成完全平方式，再开平方转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小明的第①步操作是将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，但右侧常数项-3未除以2，不符合等式的基本性质，因此从第①步开始出现错误。
(2) 正确解方程$2x^2 -8x +3=0$：
移项，得$2x^2-8x=-3$，
二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2-4x=-\dfrac{3}{2}$，
配方，两边同时加一次项系数一半的平方4，得$x^2-4x+4=-\dfrac{3}{2}+4$，
整理得$(x-2)^2=\dfrac{5}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) $\boxed{x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，易错点是化二次项系数为1时常数项漏除以二次项系数，解题时需注意每一步变形都要符合等式的性质，配方时要保证方程两边同时加上相同的数。
【难度系数】
0.75
（1）要判断错误步骤，先明确配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的正确步骤：先移项，将常数项移到方程右侧；再将二次项系数化为1，即方程左右两边同时除以二次项系数，每一项都要参与除法运算。观察小明的解题过程，第①步是将二次项系数化为1，他仅将左侧两项除以2，右侧的-3没有除以2，不符合等式的性质，因此从第①步开始出错。
（2）正确求解时严格按照配方法步骤操作：先移项，再化二次项系数为1，接着配方（方程两边同时加一次项系数一半的平方），将左侧写成完全平方式，再开平方转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小明的第①步操作是将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，但右侧常数项-3未除以2，不符合等式的基本性质，因此从第①步开始出现错误。
(2) 正确解方程$2x^2 -8x +3=0$：
移项，得$2x^2-8x=-3$，
二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2-4x=-\dfrac{3}{2}$，
配方，两边同时加一次项系数一半的平方4，得$x^2-4x+4=-\dfrac{3}{2}+4$，
整理得$(x-2)^2=\dfrac{5}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，
解得$x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) $\boxed{x_1=2+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_2=2-\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，易错点是化二次项系数为1时常数项漏除以二次项系数，解题时需注意每一步变形都要符合等式的性质，配方时要保证方程两边同时加上相同的数。
【难度系数】
0.75
