登录
1[中]欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0(b＞2c＞0)$的方程的图形解法:如图,画$Rt△ ABC$,使$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$,以B为圆心,BC长为半径画圆,交射线AB于点D,E,则该方程较大的根是 (
A.CE 的长度
B.CD 的长度
C.DE 的长度
D.AE 的长度
D
)A.CE 的长度
B.CD 的长度
C.DE 的长度
D.AE 的长度
答案
1.D 【解析】$\because x^2-2bx+4c^2=0$,$\therefore x^2-2bx=-4c^2$,$\therefore x^2-2bx+b^2=b^2-4c^2$,即$(x-b)^2=b^2-4c^2$,$\therefore x-b=\pm\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2}$,$x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$. 在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore$方程较大的根为$AB+BC=AB+BE=AE$的长度,故选D.
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根对应的代数式；第二步结合直角三角形勾股定理计算BC的长度，找到代数式中根号部分对应的几何线段长度；第三步结合圆的半径相等的性质，将较大根的代数式转化为图中对应的线段，匹配选项即可。
【解析】
首先用配方法解方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$
配方得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，即$(x-b)^2 = b^2 - 4c^2$
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$
解得：$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，其中$x_1$是较大的根。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$
因为B为圆心，BC、BE都是圆的半径，所以$BE=BC=\sqrt{b^2 - 4c^2}$
因此较大根$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2} = AB + BE = AE$，即方程较大的根是AE的长度。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将一元二次方程的根与几何线段长度对应，既考查了配方法解方程的基础运算能力，也考查了勾股定理、圆的性质的应用，能有效锻炼转化思维。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步先用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根对应的代数式；第二步结合直角三角形勾股定理计算BC的长度，找到代数式中根号部分对应的几何线段长度；第三步结合圆的半径相等的性质，将较大根的代数式转化为图中对应的线段，匹配选项即可。
【解析】
首先用配方法解方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$
配方得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，即$(x-b)^2 = b^2 - 4c^2$
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$
解得：$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，其中$x_1$是较大的根。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$
因为B为圆心，BC、BE都是圆的半径，所以$BE=BC=\sqrt{b^2 - 4c^2}$
因此较大根$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2} = AB + BE = AE$，即方程较大的根是AE的长度。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将一元二次方程的根与几何线段长度对应，既考查了配方法解方程的基础运算能力，也考查了勾股定理、圆的性质的应用，能有效锻炼转化思维。
【难度系数】
0.6
2[2026湖北随州质检,中]若将方程$2x^2 -4x -10=0$配成$(x+p)^2=q$的形式,则直线$y=px+q$不经过第
三
象限.答案
2.三 【解析】$\because 2x^2-4x-10=0$,$\therefore x^2-2x-5=0$,$\therefore (x-1)^2=6$,$\therefore p=-1,q=6$,$\therefore$直线$y=px+q$可以写成直线$y=-x+6$. $\because$直线$y=-x+6$经过第一、二、四象限,不经过第三象限,$\therefore$直线$y=px+q$不经过第三象限,故答案为三.
解析
【分析】
解决本题需分两步进行：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+p)^2=q$的形式，求出$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入一次函数解析式，根据一次函数斜率、截距的正负判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限。配方法操作时要先把二次项系数化为1，再加一次项系数一半的平方完成配方；判断一次函数象限时要牢记$k$、$b$的符号对图象的影响规律。
【解析】
先对一元二次方程进行配方：
$\because 2x^2-4x-10=0$，
两边同时除以2，将二次项系数化为1得：$x^2-2x-5=0$，
移项得：$x^2-2x=5$，
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$1^2$得：$x^2-2x+1=5+1$，
整理得：$(x-1)^2=6$，
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=-1$，$q=6$，
$\therefore$直线解析式为$y=-x+6$。
在一次函数$y=-x+6$中，$k=-1＜0$，图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$b=6＞0$，图象与$y$轴正半轴相交，还经过第一象限，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法运算和一次函数的图象性质结合考查，只要熟练掌握配方法的操作步骤和一次函数中$k$、$b$对图象的影响规律，就能顺利解题，侧重基础能力的检验。
【难度系数】
0.7
解决本题需分两步进行：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+p)^2=q$的形式，求出$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入一次函数解析式，根据一次函数斜率、截距的正负判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限。配方法操作时要先把二次项系数化为1，再加一次项系数一半的平方完成配方；判断一次函数象限时要牢记$k$、$b$的符号对图象的影响规律。
【解析】
先对一元二次方程进行配方：
$\because 2x^2-4x-10=0$，
两边同时除以2，将二次项系数化为1得：$x^2-2x-5=0$，
移项得：$x^2-2x=5$，
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$1^2$得：$x^2-2x+1=5+1$，
整理得：$(x-1)^2=6$，
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=-1$，$q=6$，
$\therefore$直线解析式为$y=-x+6$。
在一次函数$y=-x+6$中，$k=-1＜0$，图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$b=6＞0$，图象与$y$轴正半轴相交，还经过第一象限，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法运算和一次函数的图象性质结合考查，只要熟练掌握配方法的操作步骤和一次函数中$k$、$b$对图象的影响规律，就能顺利解题，侧重基础能力的检验。
【难度系数】
0.7
3 判断代数式的正负 [2025 山东枣庄期末，中]
无论$a,b$为何值，代数式$a^2 +4b^2 +8a -12b +26$的值总是 （
A.非负数
B.正数
C.0
D.负数
无论$a,b$为何值，代数式$a^2 +4b^2 +8a -12b +26$的值总是 （
B
）A.非负数
B.正数
C.0
D.负数
答案
3.B 【解析】$a^2 +4b^2 +8a -12b +26=(a+4)^2-16+(2b-3)^2-9+26=(a+4)^2+(2b-3)^2+1$. $\because (a+4)^2\ge0,(2b-3)^2\ge0$,$\therefore a^2 +4b^2 +8a -12b +26\ge1$. 故选B.
解析
【分析】
要判断含两个字母的二次代数式的正负，可利用配方法，将含a的项、含b的项分别分组，凑成完全平方的形式，再结合完全平方的非负性确定代数式的取值范围。具体思考步骤：先将a的二次项、一次项归为一组，b的二次项、一次项归为一组，剩余常数项后续合并；给每组分别凑成完全平方式，再合并剩余常数，最后根据平方的非负性判断整体取值。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 +4b^2 +8a -12b +26&=(a^2+8a)+(4b^2-12b)+26\\&=(a^2+8a+16 -16)+[(2b)^2-2×2b×3 +9 -9]+26\\&=(a+4)^2 -16 + (2b-3)^2 -9 +26\\&=(a+4)^2 + (2b-3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a+4)^2≥0$，$(2b-3)^2≥0$，因此：
$(a+4)^2 + (2b-3)^2 +1 ≥ 0+0+1=1＞0$
即无论a、b取何值，代数式的值总是正数。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，合理拆分常数项凑出完全平方式，再结合非负数的性质判断代数式的取值范围，属于基础的代数变形类题型。
【难度系数】
0.6
要判断含两个字母的二次代数式的正负，可利用配方法，将含a的项、含b的项分别分组，凑成完全平方的形式，再结合完全平方的非负性确定代数式的取值范围。具体思考步骤：先将a的二次项、一次项归为一组，b的二次项、一次项归为一组，剩余常数项后续合并；给每组分别凑成完全平方式，再合并剩余常数，最后根据平方的非负性判断整体取值。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 +4b^2 +8a -12b +26&=(a^2+8a)+(4b^2-12b)+26\\&=(a^2+8a+16 -16)+[(2b)^2-2×2b×3 +9 -9]+26\\&=(a+4)^2 -16 + (2b-3)^2 -9 +26\\&=(a+4)^2 + (2b-3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(a+4)^2≥0$，$(2b-3)^2≥0$，因此：
$(a+4)^2 + (2b-3)^2 +1 ≥ 0+0+1=1＞0$
即无论a、b取何值，代数式的值总是正数。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，合理拆分常数项凑出完全平方式，再结合非负数的性质判断代数式的取值范围，属于基础的代数变形类题型。
【难度系数】
0.6
4 比较大小 [2025 江苏徐州期中,中]若 m 为实数,$P=-m^2 -m +1,Q=m^2 -5m +4$,则比较 P,Q 的大小可得
$P＜Q$
.答案
4.$P＜Q$ 【解析】$Q-P=(m^2-5m+4)-(-m^2-m+1)=m^2-5m+4+m^2+m-1=2m^2-4m+3=2(m-1)^2+1$. $\because (m-1)^2\ge0$,$\therefore 2(m-1)^2+1＞0$,$\therefore Q-P＞0$,$\therefore P＜Q$,故答案为$P＜Q$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法，即计算两个代数式的差，通过判断差的正负确定二者的大小关系。本题先计算Q与P的差，再对得到的二次多项式用配方法变形，结合平方的非负性判断差的符号，就能得出P、Q的大小关系。
【解析】
要比较P和Q的大小，计算$Q-P$的值：
$Q-P=(m^2-5m+4)-(-m^2-m+1)$
去括号得：$Q-P=m^2-5m+4+m^2+m-1$
合并同类项得：$Q-P=2m^2-4m+3$
对多项式配方：先提取二次项系数2，再对括号内的式子配完全平方
$Q-P=2(m^2-2m)+3=2[(m-1)^2-1]+3=2(m-1)^2+1$
根据平方的非负性，$(m-1)^2\ge0$，因此$2(m-1)^2\ge0$，可得$2(m-1)^2+1＞0$，即$Q-P＞0$，所以$P＜Q$。
【答案】
$P＜Q$
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差比较法的思路，通过配方将差式转化为“平方+正数”的形式即可快速判断差的符号，解题时要注意去括号的符号变化，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，常用作差法，即计算两个代数式的差，通过判断差的正负确定二者的大小关系。本题先计算Q与P的差，再对得到的二次多项式用配方法变形，结合平方的非负性判断差的符号，就能得出P、Q的大小关系。
【解析】
要比较P和Q的大小，计算$Q-P$的值：
$Q-P=(m^2-5m+4)-(-m^2-m+1)$
去括号得：$Q-P=m^2-5m+4+m^2+m-1$
合并同类项得：$Q-P=2m^2-4m+3$
对多项式配方：先提取二次项系数2，再对括号内的式子配完全平方
$Q-P=2(m^2-2m)+3=2[(m-1)^2-1]+3=2(m-1)^2+1$
根据平方的非负性，$(m-1)^2\ge0$，因此$2(m-1)^2\ge0$，可得$2(m-1)^2+1＞0$，即$Q-P＞0$，所以$P＜Q$。
【答案】
$P＜Q$
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差比较法的思路，通过配方将差式转化为“平方+正数”的形式即可快速判断差的符号，解题时要注意去括号的符号变化，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
5 判断三角形形状 [2025广东揭阳期中,中]若a,b,c为$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,则$△ ABC$的形状是
等边
三角形。答案
5.等边 【解析】$\because a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$,$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$,$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$,$\therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0$,$\therefore a=b=c$,$\therefore △ ABC$是等边三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需推导三边a、b、c的数量关系。已知等式是关于a、b、c的二次齐次式，我们可以利用配方法解题：先给等式两边同时乘2，将式子变形为三个完全平方的和的形式，再结合平方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），即可得到三边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
$\because a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$，
$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$，
分组得：$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$，
由完全平方公式得：$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$，
$\because (a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(c-a)^2≥0$，
$\therefore a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，
解得$a=b=c$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，等边三角形判定
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是通过给等式两边同乘2构造完全平方式，将代数条件转化为三角形三边的等量关系，进而判断三角形形状，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC的形状，需推导三边a、b、c的数量关系。已知等式是关于a、b、c的二次齐次式，我们可以利用配方法解题：先给等式两边同时乘2，将式子变形为三个完全平方的和的形式，再结合平方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），即可得到三边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
$\because a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$，
$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$，
分组得：$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$，
由完全平方公式得：$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$，
$\because (a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(c-a)^2≥0$，
$\therefore a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，
解得$a=b=c$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，等边三角形判定
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是通过给等式两边同乘2构造完全平方式，将代数条件转化为三角形三边的等量关系，进而判断三角形形状，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 求最值 [2025山西吕梁质检,较难]阅读与思考:配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程,还能用来解决最值问题,例如:求代数式$2x^2 -x +2 + y^2$的最小值,解法如下:
解:原式$=2(x^2 - \frac{1}{2}x)+2 + y^2 =2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16})+2 + y^2 =2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16})-\frac{1}{8} +2 + y^2 =$
$2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8}. \because 2(x-\frac{1}{4})^2 ≥0, y^2 ≥0,$
$\therefore 2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8} ≥ \frac{15}{8}, \therefore 2x^2 -x +2 + y^2$ 的最小值是$\frac{15}{8}.$
根据材料中的方法,解答下列问题.
(1)$-x^2 +4x -1$ 的最大值为
(2)求$m^2 +n^2 +6m -4n +15$ 的最小值.
刷素养 走向重高
解:原式$=2(x^2 - \frac{1}{2}x)+2 + y^2 =2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16})+2 + y^2 =2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16})-\frac{1}{8} +2 + y^2 =$
$2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8}. \because 2(x-\frac{1}{4})^2 ≥0, y^2 ≥0,$
$\therefore 2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8} ≥ \frac{15}{8}, \therefore 2x^2 -x +2 + y^2$ 的最小值是$\frac{15}{8}.$
根据材料中的方法,解答下列问题.
(1)$-x^2 +4x -1$ 的最大值为
3
;(2)求$m^2 +n^2 +6m -4n +15$ 的最小值.
刷素养 走向重高
答案
6.【解】(1)$-x^2 +4x -1=-(x^2-4x)-1=-(x^2-4x+4-4)-1=-(x-2)^2+4-1=-(x-2)^2+3$. $\because -(x-2)^2\le0$,$\therefore -(x-2)^2+3\le3$,$\therefore -(x-2)^2+3$的最大值为3,$\therefore -x^2 +4x -1$的最大值为3. 故答案为3.
(2)$m^2 +n^2 +6m -4n +15=(m^2+6m+9)+(n^2-4n+4)+2=(m+3)^2+(n-2)^2+2$. $\because (m+3)^2\ge0,(n-2)^2\ge0$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2\ge2$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2$的最小值为2,$\therefore m^2 +n^2 +6m -4n +15$的最小值为2.
(2)$m^2 +n^2 +6m -4n +15=(m^2+6m+9)+(n^2-4n+4)+2=(m+3)^2+(n-2)^2+2$. $\because (m+3)^2\ge0,(n-2)^2\ge0$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2\ge2$,$\therefore (m+3)^2+(n-2)^2+2$的最小值为2,$\therefore m^2 +n^2 +6m -4n +15$的最小值为2.
解析
【分析】
本题考查配方法在代数式最值问题中的应用，解题思路如下：①明确核心原理：完全平方式具有非负性，即$a^2≥0$，若完全平方式前带负号，则$-a^2≤0$；②对所求代数式变形，将含同一变量的项分组，提取二次项系数后，加上并减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，整理为“多个完全平方式+常数”的形式；③结合完全平方式的非负性判断最值：完全平方式前为正号时，完全平方式取0时代数式取最小值；完全平方式前为负号时，完全平方式取0时代数式取最大值。
【解析】
(1) 对$-x^2 +4x -1$配方：
$\begin{aligned}原式&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2 +4 -1\\&=-(x-2)^2 +3\end{aligned}$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$，
$\therefore -(x-2)^2 +3 ≤ 3$，当$x=2$时等号成立，
因此$-x^2 +4x -1$的最大值为3。
(2) 对$m^2 +n^2 +6m -4n +15$配方，将含$m$、含$n$的项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(m^2+6m)+(n^2-4n)+15\\&=(m^2+6m+9)+(n^2-4n+4)+15-9-4\\&=(m+3)^2 + (n-2)^2 + 2\end{aligned}$
$\because (m+3)^2 ≥ 0$，$(n-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore (m+3)^2 + (n-2)^2 + 2 ≥ 2$，当$m=-3$、$n=2$时等号成立，
因此$m^2 +n^2 +6m -4n +15$的最小值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型拓展应用题，以阅读材料的形式给出解题方法，既考查对材料的理解能力，也考查完全平方公式的灵活运用能力，掌握配方的步骤和完全平方式的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题考查配方法在代数式最值问题中的应用，解题思路如下：①明确核心原理：完全平方式具有非负性，即$a^2≥0$，若完全平方式前带负号，则$-a^2≤0$；②对所求代数式变形，将含同一变量的项分组，提取二次项系数后，加上并减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，整理为“多个完全平方式+常数”的形式；③结合完全平方式的非负性判断最值：完全平方式前为正号时，完全平方式取0时代数式取最小值；完全平方式前为负号时，完全平方式取0时代数式取最大值。
【解析】
(1) 对$-x^2 +4x -1$配方：
$\begin{aligned}原式&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2 +4 -1\\&=-(x-2)^2 +3\end{aligned}$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$，
$\therefore -(x-2)^2 +3 ≤ 3$，当$x=2$时等号成立，
因此$-x^2 +4x -1$的最大值为3。
(2) 对$m^2 +n^2 +6m -4n +15$配方，将含$m$、含$n$的项分别分组：
$\begin{aligned}原式&=(m^2+6m)+(n^2-4n)+15\\&=(m^2+6m+9)+(n^2-4n+4)+15-9-4\\&=(m+3)^2 + (n-2)^2 + 2\end{aligned}$
$\because (m+3)^2 ≥ 0$，$(n-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore (m+3)^2 + (n-2)^2 + 2 ≥ 2$，当$m=-3$、$n=2$时等号成立，
因此$m^2 +n^2 +6m -4n +15$的最小值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型拓展应用题，以阅读材料的形式给出解题方法，既考查对材料的理解能力，也考查完全平方公式的灵活运用能力，掌握配方的步骤和完全平方式的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.6
7 核心素养运算能力[2025湖南衡阳期中,中]小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:如解方程$x(x+4)=6$.
解:原方程可变形为$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,(x+2)^2 -2^2=6,(x+2)^2=10$.直接开平方并整理,得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+5)(x+9)=5$时写的解题过程.
解:原方程可变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5,(x+a)^2 -b^2=5,∴(x+a)^2=5+b^2$.直接开平方并整理,得$x_1=c,x_2=d(c＞d)$.
上述过程中的$a,b,c,d$表示的数分别为
(2)请用“平均数法”解方程:$(x-5)(x+7)=12$.
解:原方程可变形为$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,(x+2)^2 -2^2=6,(x+2)^2=10$.直接开平方并整理,得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+5)(x+9)=5$时写的解题过程.
解:原方程可变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5,(x+a)^2 -b^2=5,∴(x+a)^2=5+b^2$.直接开平方并整理,得$x_1=c,x_2=d(c＞d)$.
上述过程中的$a,b,c,d$表示的数分别为
7
,2
,-4
,-10
.(2)请用“平均数法”解方程:$(x-5)(x+7)=12$.
答案
7.【解】(1)$\because (x+5)(x+9)=5$,$\therefore [(x+7)-2][(x+7)+2]=5$,$\therefore (x+7)^2-2^2=5$,$\therefore (x+7)^2=9$,$\therefore x+7=3$或$x+7=-3$,解得$x_1=-4$,$x_2=-10$,$\therefore$题中$a,b,c,d$表示的数分别为7,2,-4,-10. 故答案为7,2,-4,-10.
(2)$\because (x-5)(x+7)=12$,$\therefore [(x+1)-6][(x+1)+6]=12$,$\therefore (x+1)^2-36=12$,$\therefore (x+1)^2=48$,$\therefore x+1=4\sqrt{3}$或$x+1=-4\sqrt{3}$,解得$x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}$.
(2)$\because (x-5)(x+7)=12$,$\therefore [(x+1)-6][(x+1)+6]=12$,$\therefore (x+1)^2-36=12$,$\therefore (x+1)^2=48$,$\therefore x+1=4\sqrt{3}$或$x+1=-4\sqrt{3}$,解得$x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题的“平均数法”本质是利用平方差公式对一元二次方程进行配方，核心解题思路为：①先找到两个一次因式中常数项的平均数记为$a$，将原方程变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=$常数的形式，其中$b$是常数项与$a$的差的绝对值；②利用平方差公式转化为$(x+a)^2=$常数$+b^2$的形式，再用直接开平方法求解。第(1)问先求$(x+5)(x+9)$中常数项的平均数得到$a$，再计算$b$，最后解方程得到$c$、$d$；第(2)问按“平均数法”的步骤逐步解方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+5)(x+9)=5$，常数项5和9的平均数为$\frac{5+9}{2}=7$，因此原方程可变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，对比形式得$a=7$，$b=2$。
整理得$(x+7)^2 - 4 =5$，即$(x+7)^2=9$，开平方得$x+7=\pm3$，解得$x_1=-7+3=-4$，$x_2=-7-3=-10$，结合$c＞d$得$c=-4$，$d=-10$。
(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$：
第一步：计算常数项$-5$和$7$的平均数为$\frac{-5+7}{2}=1$，常数项与1的差的绝对值为$|7-1|=6$，原方程变形为$[(x+1)-6][(x+1)+6]=12$；
第二步：由平方差公式展开得$(x+1)^2 - 6^2=12$，即$(x+1)^2 - 36=12$；
第三步：移项得$(x+1)^2=48$；
第四步：直接开平方得$x+1=\pm4\sqrt{3}$；
第五步：整理得方程的根为$x_1=-1+4\sqrt{3}$，$x_2=-1-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-4}$，$\boxed{-10}$
(2) $\boxed{x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解一元二次方程，配方法
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，需要先理解“平均数法”的运算逻辑，其本质是通过平方差公式实现配方，将一元二次方程转化为可直接开平方的形式，既考查了对已有知识的灵活运用，也拓宽了解一元二次方程的思路。
【难度系数】
0.65
本题的“平均数法”本质是利用平方差公式对一元二次方程进行配方，核心解题思路为：①先找到两个一次因式中常数项的平均数记为$a$，将原方程变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=$常数的形式，其中$b$是常数项与$a$的差的绝对值；②利用平方差公式转化为$(x+a)^2=$常数$+b^2$的形式，再用直接开平方法求解。第(1)问先求$(x+5)(x+9)$中常数项的平均数得到$a$，再计算$b$，最后解方程得到$c$、$d$；第(2)问按“平均数法”的步骤逐步解方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+5)(x+9)=5$，常数项5和9的平均数为$\frac{5+9}{2}=7$，因此原方程可变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，对比形式得$a=7$，$b=2$。
整理得$(x+7)^2 - 4 =5$，即$(x+7)^2=9$，开平方得$x+7=\pm3$，解得$x_1=-7+3=-4$，$x_2=-7-3=-10$，结合$c＞d$得$c=-4$，$d=-10$。
(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$：
第一步：计算常数项$-5$和$7$的平均数为$\frac{-5+7}{2}=1$，常数项与1的差的绝对值为$|7-1|=6$，原方程变形为$[(x+1)-6][(x+1)+6]=12$；
第二步：由平方差公式展开得$(x+1)^2 - 6^2=12$，即$(x+1)^2 - 36=12$；
第三步：移项得$(x+1)^2=48$；
第四步：直接开平方得$x+1=\pm4\sqrt{3}$；
第五步：整理得方程的根为$x_1=-1+4\sqrt{3}$，$x_2=-1-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-4}$，$\boxed{-10}$
(2) $\boxed{x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解一元二次方程，配方法
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，需要先理解“平均数法”的运算逻辑，其本质是通过平方差公式实现配方，将一元二次方程转化为可直接开平方的形式，既考查了对已有知识的灵活运用，也拓宽了解一元二次方程的思路。
【难度系数】
0.65
