登录
1 [2025 湖南娄底期末]在用求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了 $a, b, c$ 的值得到 $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$,则她求解的一元二次方程是（
A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
A
）A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
答案
1.A 【解析】由题意得a=2,b=-3,c=-1,
∴她求解的一元二次方程是$2x^2-3x-1=0$. 故选A.
∴她求解的一元二次方程是$2x^2-3x-1=0$. 故选A.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式与求根公式的对应关系：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$中的$a$、$b$、$c$分别对应一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数、一次项系数、常数项。我们只需从题目给出的代入后的求根公式中，对应提取出$a$、$b$、$c$的取值，再代入一般式，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的代入结果$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$与求根公式对比：
1. 由分母$2a=2×2$，可得$a=2$；
2. 由分子的$-b=3$，可得$b=-3$；
3. 由根号内的常数项因子可得$c=-1$。
将$a=2$、$b=-3$、$c=-1$代入一般式，得方程$2x^2-3x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查求根公式中各参数与一元二次方程一般式系数的对应关系，解题时要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的一般形式与求根公式的对应关系：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$中的$a$、$b$、$c$分别对应一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数、一次项系数、常数项。我们只需从题目给出的代入后的求根公式中，对应提取出$a$、$b$、$c$的取值，再代入一般式，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的代入结果$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$与求根公式对比：
1. 由分母$2a=2×2$，可得$a=2$；
2. 由分子的$-b=3$，可得$b=-3$；
3. 由根号内的常数项因子可得$c=-1$。
将$a=2$、$b=-3$、$c=-1$代入一般式，得方程$2x^2-3x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查求根公式中各参数与一元二次方程一般式系数的对应关系，解题时要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2[2026安徽合肥质检]若$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b-c$的值为
2
.答案
2 【解析】由条件可知a=3,b=-2,c=-1,
∴a+b-c=3-2+1=2,故答案为2.
∴a+b-c=3-2+1=2,故答案为2.
解析
【分析】
解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式结构，首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，即可确定$a$、$b$、$c$的取值，最后将系数代入$a+b-c$计算即可得到结果，计算时注意符号处理。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比可得：
分母$2a=2×3$，解得$a=3$；
分子的有理项$-b=2$，解得$b=-2$；
根号内的常数项对应$-4ac=-4×3×(-1)$，结合$a=3$可得$c=-1$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-1$代入$a+b-c$得：
$a+b-c=3+(-2)-(-1)=3-2+1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式求值
【点评】
本题核心考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，易错点是容易混淆$b$的符号，对应系数时要注意求根公式分子的第一项是$-b$，计算含负数的加减运算时要正确处理符号。
【难度系数】
0.7
解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式结构，首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，即可确定$a$、$b$、$c$的取值，最后将系数代入$a+b-c$计算即可得到结果，计算时注意符号处理。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式对比可得：
分母$2a=2×3$，解得$a=3$；
分子的有理项$-b=2$，解得$b=-2$；
根号内的常数项对应$-4ac=-4×3×(-1)$，结合$a=3$可得$c=-1$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-1$代入$a+b-c$得：
$a+b-c=3+(-2)-(-1)=3-2+1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式求值
【点评】
本题核心考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，易错点是容易混淆$b$的符号，对应系数时要注意求根公式分子的第一项是$-b$，计算含负数的加减运算时要正确处理符号。
【难度系数】
0.7
3[2025甘肃陇南质检]方程$x^2 + x -1=0$的一个根是（
A.$1-\sqrt{5}$
B.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C.$-1+\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D
）A.$1-\sqrt{5}$
B.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C.$-1+\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案
3.D 【解析】
∵$a=1,b=1,c=-1$,
∴$b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5＞0$,则$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$,
∴$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. 故选D.
∵$a=1,b=1,c=-1$,
∴$b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5＞0$,则$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$,
∴$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. 故选D.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；第一步先从给定方程中对应找出a、b、c的取值，注意符号不要出错；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步代入求根公式计算出根，再和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将a、b、c的值代入求根公式，得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$
即两个根分别为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，对比选项，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程求根公式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数，牢记求根公式的形式，避免因符号记错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；第一步先从给定方程中对应找出a、b、c的取值，注意符号不要出错；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步代入求根公式计算出根，再和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将a、b、c的值代入求根公式，得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$
即两个根分别为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，对比选项，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程求根公式的应用，解题关键是准确识别方程各项的系数，牢记求根公式的形式，避免因符号记错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
4 利用公式法可得一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$的两解为$a,b$，且$a＞b$，则$a$的值为 (
D
)答案
4.D 【解析】$3x^2-11x-1=0$中,$a=3,b=-11,c=-1$,
∴$\Delta=(-11)^2-4×3×(-1)=133＞0$,
∴$x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$.
∵一元二次方程$3x^2-11x-1=0$的两解为$a,b$,且$a＞b$,
∴$a$的值为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$. 故选D.
∴$\Delta=(-11)^2-4×3×(-1)=133＞0$,
∴$x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$.
∵一元二次方程$3x^2-11x-1=0$的两解为$a,b$,且$a＞b$,
∴$a$的值为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}$. 故选D.
解析
【分析】
要解这道题，我们按照公式法解一元二次方程的常规思路逐步推导：首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，第一步从题干给出的方程中找出对应的二次项系数A、一次项系数B、常数项C，注意不要带错符号；第二步计算判别式$\Delta=B^2-4AC$，判断根的存在性；第三步代入求根公式$x=\frac{-B±\sqrt{\Delta}}{2A}$得到两个根的表达式；最后根据$a＞b$的条件，选择数值更大的根即为所求的a。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，各系数分别为：二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
先计算判别式：$\Delta=B^2-4AC=(-11)^2 - 4×3×(-1)=121+12=133＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将系数代入求根公式可得：$x=\frac{-B±\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{11±\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{133}}{6}$。
已知方程的两解为$a、b$且$a＞b$，由于$\sqrt{133}＞0$，取加号的根数值更大，即$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式法解一元二次方程的应用，解题的核心是准确识别方程各项的系数，牢记求根公式的形式，计算过程中要格外注意符号问题，避免因符号记错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，我们按照公式法解一元二次方程的常规思路逐步推导：首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，第一步从题干给出的方程中找出对应的二次项系数A、一次项系数B、常数项C，注意不要带错符号；第二步计算判别式$\Delta=B^2-4AC$，判断根的存在性；第三步代入求根公式$x=\frac{-B±\sqrt{\Delta}}{2A}$得到两个根的表达式；最后根据$a＞b$的条件，选择数值更大的根即为所求的a。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，各系数分别为：二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
先计算判别式：$\Delta=B^2-4AC=(-11)^2 - 4×3×(-1)=121+12=133＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将系数代入求根公式可得：$x=\frac{-B±\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{11±\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{133}}{6}$。
已知方程的两解为$a、b$且$a＞b$，由于$\sqrt{133}＞0$，取加号的根数值更大，即$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式法解一元二次方程的应用，解题的核心是准确识别方程各项的系数，牢记求根公式的形式，计算过程中要格外注意符号问题，避免因符号记错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5 解方程：
(1)$x^2 - 2x -4 =0$；
(2)$2x(x-3)=x-4$.
(1)$x^2 - 2x -4 =0$；
(2)$2x(x-3)=x-4$.
答案
5.【解】(1)$x^2-2x-4=0$,$a=1,b=-2,c=-4$,$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-4)=20＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$,
∴$x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(2)整理,得$2x^2-7x+4=0$,$a=2,b=-7,c=4$,
∴$b^2-4ac=(-7)^2-4×2×4=17＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}$,
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$.
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$,
∴$x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(2)整理,得$2x^2-7x+4=0$,$a=2,b=-7,c=4$,
∴$b^2-4ac=(-7)^2-4×2×4=17＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}$,
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$.
解析
【分析】
这两道题均为一元二次方程，采用公式法求解思路如下：①首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意不要遗漏系数的符号；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若方程有实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的解。其中第一题已经是一般形式，可直接确定系数；第二题需要先去括号、移项合并同类项化为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 2x -4 =0$，取$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-4)=20＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
(2) 先整理方程$2x(x-3)=x-4$：
去括号得$2x^2-6x=x-4$，
移项、合并同类项得$2x^2-7x+4=0$，
取$a=2$，$b=-7$，$c=4$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-7)^2 - 4×2×4=17＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；
(2) $x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是熟练掌握公式法的解题步骤，需要注意确定各项系数时不要漏写符号，化简根式时要保证结果为最简形式，第二题要先将方程整理为一般形式再计算，避免系数取值错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元二次方程，采用公式法求解思路如下：①首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意不要遗漏系数的符号；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若方程有实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的解。其中第一题已经是一般形式，可直接确定系数；第二题需要先去括号、移项合并同类项化为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 2x -4 =0$，取$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-4)=20＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
(2) 先整理方程$2x(x-3)=x-4$：
去括号得$2x^2-6x=x-4$，
移项、合并同类项得$2x^2-7x+4=0$，
取$a=2$，$b=-7$，$c=4$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-7)^2 - 4×2×4=17＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；
(2) $x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是熟练掌握公式法的解题步骤，需要注意确定各项系数时不要漏写符号，化简根式时要保证结果为最简形式，第二题要先将方程整理为一般形式再计算，避免系数取值错误。
【难度系数】
0.8
6[2026广东广州期中]关于x的方程$x^2 -2kx +k^2=0$根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
A
）A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
6.A 【解析】由题意知,$\Delta=(-2k)^2-4k^2=0$,所以方程有两个相等的实数根. 故选A.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式Δ的值，再根据Δ的符号对应判断：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先从给定方程中找出对应系数$a、b、c$，第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果，第三步根据Δ的取值判断根的情况：Δ＞0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ＜0无实根。
【解析】
对于方程$x^2 -2kx +k^2=0$，符合一元二次方程一般形式，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=k^2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2k)^2 - 4×1× k^2 = 4k^2 - 4k^2 = 0$
根据判别式的性质，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 根的判别式 2. 判别式判定根的情况
【点评】
本题是基础常考题，核心考查用判别式判断一元二次方程根的情况，只要准确识别方程各项系数，正确计算判别式的值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式Δ的值，再根据Δ的符号对应判断：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步先从给定方程中找出对应系数$a、b、c$，第二步代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算结果，第三步根据Δ的取值判断根的情况：Δ＞0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ＜0无实根。
【解析】
对于方程$x^2 -2kx +k^2=0$，符合一元二次方程一般形式，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=k^2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2k)^2 - 4×1× k^2 = 4k^2 - 4k^2 = 0$
根据判别式的性质，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 根的判别式 2. 判别式判定根的情况
【点评】
本题是基础常考题，核心考查用判别式判断一元二次方程根的情况，只要准确识别方程各项系数，正确计算判别式的值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7 已知关于$x$的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，则$\sqrt{(k-1)^2}-(\sqrt{2-k})^2$的化简结果是（
A.$-1$
B.$1$
C.$-1-2k$
D.$2k-3$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$-1-2k$
D.$2k-3$
答案
7.A 【解析】
∵关于$x$的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根,
∴判别式$\Delta=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)≥0$,整理得$-8k+8≥0$,
∴$k≤1$,
∴$k-1≤0$,$2-k＞0$,
∴$\sqrt{(k-1)^2}-(\sqrt{2-k})^2=-(k-1)-(2-k)=-1$. 故选A.
∵关于$x$的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根,
∴判别式$\Delta=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)≥0$,整理得$-8k+8≥0$,
∴$k≤1$,
∴$k-1≤0$,$2-k＞0$,
∴$\sqrt{(k-1)^2}-(\sqrt{2-k})^2=-(k-1)-(2-k)=-1$. 故选A.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式Δ≥0，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围；第二步，根据k的取值范围，判断待化简式子中k-1和2-k的正负性；第三步，结合二次根式的性质、绝对值的化简规则，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = [-(2k-2)]^2 - 4×1×(k^2-1) ≥ 0$，
展开计算得：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，
整理得：$-8k + 8 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
∴$k-1 ≤ 0$，$2-k ＞ 0$。
根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2 = |k-1| - (2-k)$，
∵$k-1 ≤ 0$，
∴$|k-1| = -(k-1)$，
代入得：原式$= -(k-1) - 2 + k = -k +1 -2 +k = -1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.二次根式的性质 3.绝对值的化简
【点评】
本题是一元二次方程根的情况与代数式化简的综合题，解题的核心是先通过判别式确定参数k的取值范围，再根据范围判断代数式中各部分的正负，避免化简二次根式时出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步，已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式Δ≥0，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围；第二步，根据k的取值范围，判断待化简式子中k-1和2-k的正负性；第三步，结合二次根式的性质、绝对值的化简规则，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = [-(2k-2)]^2 - 4×1×(k^2-1) ≥ 0$，
展开计算得：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，
整理得：$-8k + 8 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
∴$k-1 ≤ 0$，$2-k ＞ 0$。
根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2 = |k-1| - (2-k)$，
∵$k-1 ≤ 0$，
∴$|k-1| = -(k-1)$，
代入得：原式$= -(k-1) - 2 + k = -k +1 -2 +k = -1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.二次根式的性质 3.绝对值的化简
【点评】
本题是一元二次方程根的情况与代数式化简的综合题，解题的核心是先通过判别式确定参数k的取值范围，再根据范围判断代数式中各部分的正负，避免化简二次根式时出现符号错误。
【难度系数】
0.6
8 新考向开放性试题 已知关于x的方程$mx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值为
$\frac{1}{2}$(答案不唯一)
。答案
8.$\frac{1}{2}$(答案不唯一) 【解析】
∵方程有两个不相等的实数根,
∴$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×m＞0$,且$m≠0$,解得$m＜1$且$m≠0$. 故答案为$\frac{1}{2}$(答案不唯一).
∵方程有两个不相等的实数根,
∴$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×m＞0$,且$m≠0$,解得$m＜1$且$m≠0$. 故答案为$\frac{1}{2}$(答案不唯一).
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“有两个不相等的实数根”说明方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次根据一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，判别式Δ＞0，代入对应系数列出不等式，解出m的取值范围，最后在范围内任选一个符合条件的实数即可。
【解析】
∵关于x的方程$mx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，
且根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m × 1 ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$，
综上，m的取值范围为$m ＜ 1$且$m≠0$，取$m=\frac{1}{2}$即可。
【答案】
$\frac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意二次项系数不为0这个隐藏限制条件，避免因忽略该条件扩大m的取值范围导致出错，只要在符合要求的取值范围内任选一个值即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“有两个不相等的实数根”说明方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次根据一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，判别式Δ＞0，代入对应系数列出不等式，解出m的取值范围，最后在范围内任选一个符合条件的实数即可。
【解析】
∵关于x的方程$mx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，
且根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m × 1 ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$，
综上，m的取值范围为$m ＜ 1$且$m≠0$，取$m=\frac{1}{2}$即可。
【答案】
$\frac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意二次项系数不为0这个隐藏限制条件，避免因忽略该条件扩大m的取值范围导致出错，只要在符合要求的取值范围内任选一个值即可。
【难度系数】
0.7
9 已知关于 x 的一元二次方程 $x^2 - (2k - 1)x = -k^2 + 2k + 3$.
(1)当k为何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)当k为何值时,方程有两个相等的实数根?
(3)当k为何值时,方程无实数根?
(1)当k为何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)当k为何值时,方程有两个相等的实数根?
(3)当k为何值时,方程无实数根?
答案
9.【解】原方程整理得$x^2-(2k-1)x+k^2-2k-3=0$,$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k-3)=4k+13$.
(1)当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根,即$4k+13＞0$,解得$k＞-\frac{13}{4}$.
(2)当$\Delta=0$时,方程有两个相等的实数根,即$4k+13=0$,解得$k=-\frac{13}{4}$.
(3)当$\Delta＜0$时,方程没有实数根,即$4k+13＜0$,解得$k＜-\frac{13}{4}$.
(1)当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根,即$4k+13＞0$,解得$k＞-\frac{13}{4}$.
(2)当$\Delta=0$时,方程有两个相等的实数根,即$4k+13=0$,解得$k=-\frac{13}{4}$.
(3)当$\Delta＜0$时,方程没有实数根,即$4k+13＜0$,解得$k＜-\frac{13}{4}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定$a、b、c$的表达式，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$求出$\Delta$关于$k$的表达式，最后分别对应三个问题的$\Delta$取值要求，解不等式或方程即可得到$k$的取值。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程一般形式：
$x^2-(2k-1)x + k^2 - 2k - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2-2k-3$，代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-2k-3)$
$= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k +12 = 4k +13$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即：
$4k+13＞0$
解得$k＞-\frac{13}{4}$
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即：
$4k+13=0$
解得$k=-\frac{13}{4}$
(3) 当方程无实数根时，$\Delta＜0$，即：
$4k+13＜0$
解得$k＜-\frac{13}{4}$
【答案】
(1) $k＞-\frac{13}{4}$
(2) $k=-\frac{13}{4}$
(3) $k＜-\frac{13}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是先将方程化为一般式，准确计算判别式，再根据根的不同情况对应的判别式取值范围列关系式求解，掌握根的判别式与根的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定$a、b、c$的表达式，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$求出$\Delta$关于$k$的表达式，最后分别对应三个问题的$\Delta$取值要求，解不等式或方程即可得到$k$的取值。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程一般形式：
$x^2-(2k-1)x + k^2 - 2k - 3 = 0$
其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2-2k-3$，代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-2k-3)$
$= 4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k +12 = 4k +13$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即：
$4k+13＞0$
解得$k＞-\frac{13}{4}$
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即：
$4k+13=0$
解得$k=-\frac{13}{4}$
(3) 当方程无实数根时，$\Delta＜0$，即：
$4k+13＜0$
解得$k＜-\frac{13}{4}$
【答案】
(1) $k＞-\frac{13}{4}$
(2) $k=-\frac{13}{4}$
(3) $k＜-\frac{13}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是先将方程化为一般式，准确计算判别式，再根据根的不同情况对应的判别式取值范围列关系式求解，掌握根的判别式与根的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
