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1[中]小刚在解关于$x$的方程$2ax^2 -bx +2=0(a≠0)$时，将其抄成了$2ax^2 +bx +2=0$，得到一个解是$x=-2$，则原方程的根的情况是（
A.不存在实数根
B.有两个实数根
C.有一个根是$x=-2$
D.不确定
B
）A.不存在实数根
B.有两个实数根
C.有一个根是$x=-2$
D.不确定
答案
1.B
【解析】把$x=-2$代入$2ax^2+bx+2=0$得$8a-2b+2=0$,∴$b=4a+1$. 把$b=4a+1$代入方程$2ax^2-bx+2=0$得$2ax^2-(4a+1)x+2=0$.
∵$(4a+1)^2-4×2a×2=(4a-1)^2≥0$,
∴方程$2ax^2-bx+2=0(a≠0)$有两个实数根. 故选B.
解析
【分析】
解题思路：首先小刚抄错符号后得到的方程的解$x=-2$满足抄错的方程，因此先将$x=-2$代入抄错的方程，得到$a$和$b$的数量关系；再将$b$用含$a$的式子代换，代入原方程，计算原方程的根的判别式，根据判别式的正负性即可判断原方程根的情况。
【解析】
解：把$x=-2$代入抄错的方程$2ax^2+bx+2=0$，得：
$2a× (-2)^2 + b× (-2) + 2 = 0$
整理得$8a - 2b + 2 = 0$，即$b=4a+1$。
将$b=4a+1$代入原方程$2ax^2 -bx +2=0$，可得：
$2ax^2-(4a+1)x+2=0$
计算该方程的根的判别式：
$\Delta = [-(4a+1)]^2 - 4× 2a × 2 = 16a^2 + 8a + 1 - 16a = 16a^2 - 8a + 1 = (4a-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(4a-1)^2 ≥ 0$，也就是$\Delta ≥ 0$
∴ 原方程有两个实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的典型应用，采用“将错就错”的思路，先通过错解得到参数间的关系，再回归原方程结合判别式判断根的情况，解题时要注意区分抄错的方程和原方程，不要混淆代入的对象。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先小刚抄错符号后得到的方程的解$x=-2$满足抄错的方程，因此先将$x=-2$代入抄错的方程，得到$a$和$b$的数量关系；再将$b$用含$a$的式子代换，代入原方程，计算原方程的根的判别式，根据判别式的正负性即可判断原方程根的情况。
【解析】
解：把$x=-2$代入抄错的方程$2ax^2+bx+2=0$，得：
$2a× (-2)^2 + b× (-2) + 2 = 0$
整理得$8a - 2b + 2 = 0$，即$b=4a+1$。
将$b=4a+1$代入原方程$2ax^2 -bx +2=0$，可得：
$2ax^2-(4a+1)x+2=0$
计算该方程的根的判别式：
$\Delta = [-(4a+1)]^2 - 4× 2a × 2 = 16a^2 + 8a + 1 - 16a = 16a^2 - 8a + 1 = (4a-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(4a-1)^2 ≥ 0$，也就是$\Delta ≥ 0$
∴ 原方程有两个实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的典型应用，采用“将错就错”的思路，先通过错解得到参数间的关系，再回归原方程结合判别式判断根的情况，解题时要注意区分抄错的方程和原方程，不要混淆代入的对象。
【难度系数】
0.7
2 新考法[2026浙江杭州期末,中]如图,在长方形ABCD中,以点D为圆心,AD为半径作弧交BD于点E,以点B为圆心,AB为半径作弧交BD于点F.设AB=a,AD=b,则方程$x^2+2ax=b^2$的一个正根等于 (
A.DF的长
B.BE的长
C.EF的长
D.BD的长
A
)A.DF的长
B.BE的长
C.EF的长
D.BD的长
答案
2.A 【解析】解方程$x^2+2ax=b^2$得$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}$,所以方程的正根为$x=-a+\sqrt{a^2+b^2}$. 因为在Rt△ABD中,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}$,$BF=AB=a$,所以$x=-BF+BD=DF$. 故选A.
解析
【分析】
要解决本题，可按两步思考：第一步，运用公式法求解给定的一元二次方程，得到用a、b表示的正根表达式；第二步，结合长方形的性质，用勾股定理求出对角线BD的长度，再根据作弧时半径相等的性质，将各选项的线段长度用a、b表示，与方程正根的表达式对比，匹配的即为正确答案。
【解析】
先将方程整理为标准一元二次方程形式：$x^2+2ax-b^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$-b^2$。
代入求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$（其中$A=1,B=2a,C=-b^2$），可得：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{(2a)^2-4×1×(-b^2)}}{2×1}=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}$
化简得：$x=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$，取正根得$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
在长方形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}$。
由作弧规则可知，以B为圆心、AB为半径作弧时，半径$BF=AB=a$，因此$DF=BD-BF=\sqrt{a^2+b^2}-a$，与方程的正根表达式一致。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公式法解一元二次方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，既考查了一元二次方程求根公式的运用，也考查了勾股定理和圆半径相等的性质，需要学生熟练掌握数形结合的思想，实现代数式与几何线段长度的对应转换。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可按两步思考：第一步，运用公式法求解给定的一元二次方程，得到用a、b表示的正根表达式；第二步，结合长方形的性质，用勾股定理求出对角线BD的长度，再根据作弧时半径相等的性质，将各选项的线段长度用a、b表示，与方程正根的表达式对比，匹配的即为正确答案。
【解析】
先将方程整理为标准一元二次方程形式：$x^2+2ax-b^2=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$-b^2$。
代入求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$（其中$A=1,B=2a,C=-b^2$），可得：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{(2a)^2-4×1×(-b^2)}}{2×1}=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}$
化简得：$x=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$，取正根得$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
在长方形$ABCD$中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}$。
由作弧规则可知，以B为圆心、AB为半径作弧时，半径$BF=AB=a$，因此$DF=BD-BF=\sqrt{a^2+b^2}-a$，与方程的正根表达式一致。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
公式法解一元二次方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，既考查了一元二次方程求根公式的运用，也考查了勾股定理和圆半径相等的性质，需要学生熟练掌握数形结合的思想，实现代数式与几何线段长度的对应转换。
【难度系数】
0.6
3[2026安徽六安调研,较难]对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,下列说法:
①若$a+b+c=0$,则$b^2-4ac≥0$;
②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根;
③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$.
其中所有正确结论的序号是 (
A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①③
①若$a+b+c=0$,则$b^2-4ac≥0$;
②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根;
③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$.
其中所有正确结论的序号是 (
B
)A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①③
答案
3.B 【解析】①若$a+b+c=0$,则$x=1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知$\Delta=b^2-4ac≥0$,故①正确;②
∵方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,
∴$\Delta=0-4ac＞0$,
∴$-4ac＞0$,则方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$,
∴方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故②正确;③
∵$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,
∴$ac^2+bc+c=0$,
∴$c(ac+b+1)=0$,当$c=0$时,等式成立,但$ac+b+1=0$不一定成立,故③不正确;④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则由求根公式可得$x_0=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x_0=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴$2ax_0+b=\sqrt{b^2-4ac}$或$2ax_0+b=-\sqrt{b^2-4ac}$,
∴$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故④正确. 故选B.
∵方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,
∴$\Delta=0-4ac＞0$,
∴$-4ac＞0$,则方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$,
∴方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故②正确;③
∵$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,
∴$ac^2+bc+c=0$,
∴$c(ac+b+1)=0$,当$c=0$时,等式成立,但$ac+b+1=0$不一定成立,故③不正确;④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则由求根公式可得$x_0=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x_0=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴$2ax_0+b=\sqrt{b^2-4ac}$或$2ax_0+b=-\sqrt{b^2-4ac}$,
∴$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故④正确. 故选B.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关性质，需逐一判断4个结论的正误：①先根据$a+b+c=0$判断$x=1$是方程的根，结合实根与判别式的关系判断；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得到$-4ac＞0$，再推导方程$ax^2+bx+c=0$的判别式符号判断；③将$x=c$代入方程，因式分解后考虑$c=0$的特殊情况判断；④可以用求根公式推导，或者将$x_0$代入方程结合完全平方公式变形验证，最后选出所有正确结论即可。
【解析】
①若$a+b+c=0$，则$x=1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，方程有实根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，故①正确；
②$\because$方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，$\therefore$其判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$，方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，$\because b^2≥0$，$-4ac＞0$，$\therefore \Delta_2=b^2-4ac＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，故②正确；
③$\because c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将$x=c$代入方程得$ac^2+bc+c=0$，整理得$c(ac+b+1)=0$，当$c=0$时等式成立，但此时$ac+b+1=0$不一定成立，故③错误；
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，由求根公式得$x_0=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，移项得$2ax_0+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$，两边同时平方可得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程性质的综合辨析题，需要熟练掌握根的定义、判别式与根的个数的关系等知识点，易错点为分析结论③时忽略$c=0$的特殊情况，能有效考查对知识点的灵活运用和逻辑辨析能力。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程的相关性质，需逐一判断4个结论的正误：①先根据$a+b+c=0$判断$x=1$是方程的根，结合实根与判别式的关系判断；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得到$-4ac＞0$，再推导方程$ax^2+bx+c=0$的判别式符号判断；③将$x=c$代入方程，因式分解后考虑$c=0$的特殊情况判断；④可以用求根公式推导，或者将$x_0$代入方程结合完全平方公式变形验证，最后选出所有正确结论即可。
【解析】
①若$a+b+c=0$，则$x=1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，方程有实根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，故①正确；
②$\because$方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，$\therefore$其判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$，方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，$\because b^2≥0$，$-4ac＞0$，$\therefore \Delta_2=b^2-4ac＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，故②正确；
③$\because c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将$x=c$代入方程得$ac^2+bc+c=0$，整理得$c(ac+b+1)=0$，当$c=0$时等式成立，但此时$ac+b+1=0$不一定成立，故③错误；
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，由求根公式得$x_0=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，移项得$2ax_0+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$，两边同时平方可得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程性质的综合辨析题，需要熟练掌握根的定义、判别式与根的个数的关系等知识点，易错点为分析结论③时忽略$c=0$的特殊情况，能有效考查对知识点的灵活运用和逻辑辨析能力。
【难度系数】
0.6
4[中]如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是$2x-1$，点B对应的数是$x^2+x$，已知$AB=5$，则x的值为
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
。答案
4.$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$ 【解析】根据题意,得$x^2+x-(2x-1)=5$,整理,得$x^2-x-4=0$.
∵$a=1,b=-1,c=-4$,
∴$\Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$,则$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$,
∴$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
∵点A在数轴的负半轴,
∴$2x-1＜0$,即$x＜\frac{1}{2}$,
∴$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$,故答案为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
∵$a=1,b=-1,c=-4$,
∴$\Delta=(-1)^2-4×1×(-4)=17＞0$,则$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$,
∴$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
∵点A在数轴的负半轴,
∴$2x-1＜0$,即$x＜\frac{1}{2}$,
∴$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$,故答案为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点距离的计算规则：右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间距离。本题中点B在点A右侧，因此可根据AB=5列出关于x的方程，将方程整理为一元二次方程的一般形式后，用公式法求解方程的根，最后结合“点A在数轴负半轴，即点A对应的数小于0”的限制条件，对求出的两个根进行筛选，保留符合条件的根即可。
【解析】
根据题意，点B在点A右侧，AB的长度为点B对应的数减去点A对应的数，因此列方程：
$x^2+x-(2x-1)=5$
整理得：$x^2 - x - 4 = 0$
在该一元二次方程中，$a=1$，$b=-1$，$c=-4$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×(-4) = 1+16=17＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$。
又因为点A在数轴负半轴，所以点A对应的数$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，
其中$\frac{1+\sqrt{17}}{2}＞\frac{1}{2}$，不符合条件，舍去；$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜\frac{1}{2}$，符合条件。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；根的取舍判断
【点评】
本题是数轴性质与一元二次方程求解的综合题，难度适中，解题的关键是先根据数轴距离关系正确列方程，求解后要注意结合题目的隐含条件对根进行筛选，避免因忽略限制条件出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确数轴上两点距离的计算规则：右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间距离。本题中点B在点A右侧，因此可根据AB=5列出关于x的方程，将方程整理为一元二次方程的一般形式后，用公式法求解方程的根，最后结合“点A在数轴负半轴，即点A对应的数小于0”的限制条件，对求出的两个根进行筛选，保留符合条件的根即可。
【解析】
根据题意，点B在点A右侧，AB的长度为点B对应的数减去点A对应的数，因此列方程：
$x^2+x-(2x-1)=5$
整理得：$x^2 - x - 4 = 0$
在该一元二次方程中，$a=1$，$b=-1$，$c=-4$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×(-4) = 1+16=17＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$。
又因为点A在数轴负半轴，所以点A对应的数$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，
其中$\frac{1+\sqrt{17}}{2}＞\frac{1}{2}$，不符合条件，舍去；$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜\frac{1}{2}$，符合条件。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；公式法解一元二次方程；根的取舍判断
【点评】
本题是数轴性质与一元二次方程求解的综合题，难度适中，解题的关键是先根据数轴距离关系正确列方程，求解后要注意结合题目的隐含条件对根进行筛选，避免因忽略限制条件出现多解错误。
【难度系数】
0.6
5[2025河南洛阳质检,中]已知关于x的方程
$(2 - k)x^2 + kx - 2 = 0$.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;
(2)若此方程有两个整数根,求正整数k的值.
$(2 - k)x^2 + kx - 2 = 0$.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;
(2)若此方程有两个整数根,求正整数k的值.
答案
5.(1)【证明】当$2-k=0$,即$k=2$时,方程为$2x-2=0$,解得$x=1$;当$2-k≠0$,即$k≠2$时,方程为一元二次方程,$\Delta=k^2-4(2-k)×(-2)=k^2-8k+16=(k-4)^2≥0$,则此时方程有实数根.
∴无论k取何值,此方程总有实数根.
(2)【解】
∵此方程有两个整数根,
∴$k≠2$,解得$x_1=\frac{-k-(k-4)}{2(2-k)}=1$,$x_2=\frac{-k+(k-4)}{2(2-k)}=\frac{-2}{2-k}=\frac{2}{k-2}$.
∵$x_1,x_2$为整数,k为正整数,
∴$k=1$或$k=3$或$k=4$.
∴无论k取何值,此方程总有实数根.
(2)【解】
∵此方程有两个整数根,
∴$k≠2$,解得$x_1=\frac{-k-(k-4)}{2(2-k)}=1$,$x_2=\frac{-k+(k-4)}{2(2-k)}=\frac{-2}{2-k}=\frac{2}{k-2}$.
∵$x_1,x_2$为整数,k为正整数,
∴$k=1$或$k=3$或$k=4$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论k取何值方程总有实数根，因方程二次项系数含参数，需分类讨论：①当二次项系数为0时，方程是一元一次方程，直接求解即可判断有实根；②当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程，计算根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0，即可得此时方程有实根，两种情况综合即可完成证明。
(2) 方程有两个整数根，说明方程为一元二次方程，因此k≠2，先用求根公式求出两个根，其中一个根为固定整数1，另一个根为含k的分式，结合k是正整数、根为整数的条件，可得k-2是2的整数因数，筛选出符合要求的正整数k即可。
【解析】
(1) 证明：分两种情况讨论：
① 当$2-k=0$，即$k=2$时，方程化简为一元一次方程$2x-2=0$，解得$x=1$，有实数根；
② 当$2-k≠0$，即$k≠2$时，方程为一元二次方程，根的判别式：
$\Delta = k^2 - 4×(2-k)×(-2) = k^2 - 8k + 16 = (k-4)^2$，
由平方的非负性可得$(k-4)^2≥0$，即$\Delta≥0$，此时一元二次方程有两个实数根。
综上，无论k取何值，此方程总有实数根。
(2) 解：
∵方程有两个整数根，
∴方程为一元二次方程，即$2-k≠0$，$k≠2$，
由求根公式可得方程的两根为：
$x_1=\frac{-k - \sqrt{(k-4)^2}}{2(2-k)}=\frac{-k-(k-4)}{2(2-k)}=1$，
$x_2=\frac{-k + \sqrt{(k-4)^2}}{2(2-k)}=\frac{-k+(k-4)}{2(2-k)}=\frac{2}{k-2}$，
∵$x_1,x_2$均为整数，k为正整数，
∴$k-2$是2的整数因数，即$k-2=\pm1,\pm2$，
结合k为正整数的要求筛选：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$；当$k-2=2$时，$k=4$；当$k-2=-2$时，$k=0$（不符合正整数要求，舍去）。
【答案】
(1) 无论k取何值，此方程总有实数根，证明成立；
(2) 正整数k的值为$\boxed{1}$、$\boxed{3}$、$\boxed{4}$。
【知识点】
1. 含参方程分类讨论
2. 根的判别式应用
3. 整数根问题求解
【点评】
本题核心考察分类讨论思想在含参方程中的应用，易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解；整数根问题需要结合参数的取值限制，通过因数分析筛选符合条件的参数，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明无论k取何值方程总有实数根，因方程二次项系数含参数，需分类讨论：①当二次项系数为0时，方程是一元一次方程，直接求解即可判断有实根；②当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程，计算根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0，即可得此时方程有实根，两种情况综合即可完成证明。
(2) 方程有两个整数根，说明方程为一元二次方程，因此k≠2，先用求根公式求出两个根，其中一个根为固定整数1，另一个根为含k的分式，结合k是正整数、根为整数的条件，可得k-2是2的整数因数，筛选出符合要求的正整数k即可。
【解析】
(1) 证明：分两种情况讨论：
① 当$2-k=0$，即$k=2$时，方程化简为一元一次方程$2x-2=0$，解得$x=1$，有实数根；
② 当$2-k≠0$，即$k≠2$时，方程为一元二次方程，根的判别式：
$\Delta = k^2 - 4×(2-k)×(-2) = k^2 - 8k + 16 = (k-4)^2$，
由平方的非负性可得$(k-4)^2≥0$，即$\Delta≥0$，此时一元二次方程有两个实数根。
综上，无论k取何值，此方程总有实数根。
(2) 解：
∵方程有两个整数根，
∴方程为一元二次方程，即$2-k≠0$，$k≠2$，
由求根公式可得方程的两根为：
$x_1=\frac{-k - \sqrt{(k-4)^2}}{2(2-k)}=\frac{-k-(k-4)}{2(2-k)}=1$，
$x_2=\frac{-k + \sqrt{(k-4)^2}}{2(2-k)}=\frac{-k+(k-4)}{2(2-k)}=\frac{2}{k-2}$，
∵$x_1,x_2$均为整数，k为正整数，
∴$k-2$是2的整数因数，即$k-2=\pm1,\pm2$，
结合k为正整数的要求筛选：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$；当$k-2=2$时，$k=4$；当$k-2=-2$时，$k=0$（不符合正整数要求，舍去）。
【答案】
(1) 无论k取何值，此方程总有实数根，证明成立；
(2) 正整数k的值为$\boxed{1}$、$\boxed{3}$、$\boxed{4}$。
【知识点】
1. 含参方程分类讨论
2. 根的判别式应用
3. 整数根问题求解
【点评】
本题核心考察分类讨论思想在含参方程中的应用，易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解；整数根问题需要结合参数的取值限制，通过因数分析筛选符合条件的参数，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6[中]已知关于x的一元二次方程$x^2 - (2m + 3)x + m^2 + 3m + 2 = 0$.
(1)若$x=2$是方程的一个根，求$m$的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为$△ ABC$中$AB,AC(AB＜AC)$的长，当$BC=\sqrt{5}$时，$△ ABC$是直角三角形，求此时$m$的值.
@刷素养 走向重高
(1)若$x=2$是方程的一个根，求$m$的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为$△ ABC$中$AB,AC(AB＜AC)$的长，当$BC=\sqrt{5}$时，$△ ABC$是直角三角形，求此时$m$的值.
@刷素养 走向重高
答案
6.【解】(1)
∵$x=2$是方程的一个根,
∴$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$,整理得$m^2-m=0$,
∴$m=0$或$m=1$.
(2)
∵$\Delta=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1$,
∴$x=\frac{2m+3\pm1}{2}$,
∴$x_1=m+2$,$x_2=m+1$.
∵$AB,AC(AB＜AC)$的长是这个方程的两个实数根,
∴$AC=m+2＞0$,$AB=m+1＞0$,
∴$m＞-1$.
∵$BC=\sqrt{5}$,$△ABC$是直角三角形,
∴当$BC$为斜边时,有$(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$,解得$m_1=-3$(不符合题意,舍去),$m_2=0$;
当$AC$为斜边时,有$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$,解得$m=1$.
综上所述,$m$的值为0或1.
∵$x=2$是方程的一个根,
∴$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$,整理得$m^2-m=0$,
∴$m=0$或$m=1$.
(2)
∵$\Delta=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=1$,
∴$x=\frac{2m+3\pm1}{2}$,
∴$x_1=m+2$,$x_2=m+1$.
∵$AB,AC(AB＜AC)$的长是这个方程的两个实数根,
∴$AC=m+2＞0$,$AB=m+1＞0$,
∴$m＞-1$.
∵$BC=\sqrt{5}$,$△ABC$是直角三角形,
∴当$BC$为斜边时,有$(m+2)^2+(m+1)^2=(\sqrt{5})^2$,解得$m_1=-3$(不符合题意,舍去),$m_2=0$;
当$AC$为斜边时,有$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$,解得$m=1$.
综上所述,$m$的值为0或1.
解析
【分析】
(1) 根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=2代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的取值。
(2) 先计算方程的判别式，判断根的情况后用公式法求出两个实数根，结合AB＜AC的条件确定AB、AC对应的根的表达式；已知△ABC为直角三角形且BC=√5，需分两种情况讨论斜边：①BC为斜边，②较长边AC为斜边，分别用勾股定理列方程求解，同时结合三角形边长为正的隐含条件，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1)
∵$x=2$是方程的一个根，
∴将$x=2$代入方程得：$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$，
整理得$m^2-m=0$，
∴$m=0$或$m=1$。
(2) 计算方程的判别式：
$\Delta=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得$x=\frac{2m+3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2m+3\pm1}{2}$，
∴$x_1=m+2$，$x_2=m+1$。
∵$AB,AC(AB＜AC)$是方程的两个实数根，
∴$AC=m+2$，$AB=m+1$，且边长为正，即$m+1＞0$，解得$m＞-1$。
∵$BC=\sqrt{5}$，△ABC是直角三角形，分两种情况讨论：
①当BC为斜边时，由勾股定理得：$(m+1)^2+(m+2)^2=(\sqrt{5})^2$，
整理得$2m^2+6m=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=0$，
∵$m＞-1$，故$m=-3$舍去，得$m=0$；
②当AC为斜边时，由勾股定理得：$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$，
整理得$2m=2$，解得$m=1$，符合$m＞-1$的条件。
综上，m的值为0或1。
【答案】
(1) $m=0$或$m=1$；
(2) $m$的值为0或1。
【知识点】
一元二次方程根的定义；公式法解一元二次方程；勾股定理应用
【点评】
本题属于代数与几何的综合题，既考察了一元二次方程的基础性质，又结合了直角三角形的特征，解题时要注意分类讨论斜边的可能性，同时不要忽略边长为正的隐含条件对解的取舍，锻炼分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=2代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的取值。
(2) 先计算方程的判别式，判断根的情况后用公式法求出两个实数根，结合AB＜AC的条件确定AB、AC对应的根的表达式；已知△ABC为直角三角形且BC=√5，需分两种情况讨论斜边：①BC为斜边，②较长边AC为斜边，分别用勾股定理列方程求解，同时结合三角形边长为正的隐含条件，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1)
∵$x=2$是方程的一个根，
∴将$x=2$代入方程得：$4-2(2m+3)+m^2+3m+2=0$，
整理得$m^2-m=0$，
∴$m=0$或$m=1$。
(2) 计算方程的判别式：
$\Delta=[-(2m+3)]^2-4(m^2+3m+2)=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得$x=\frac{2m+3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2m+3\pm1}{2}$，
∴$x_1=m+2$，$x_2=m+1$。
∵$AB,AC(AB＜AC)$是方程的两个实数根，
∴$AC=m+2$，$AB=m+1$，且边长为正，即$m+1＞0$，解得$m＞-1$。
∵$BC=\sqrt{5}$，△ABC是直角三角形，分两种情况讨论：
①当BC为斜边时，由勾股定理得：$(m+1)^2+(m+2)^2=(\sqrt{5})^2$，
整理得$2m^2+6m=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=0$，
∵$m＞-1$，故$m=-3$舍去，得$m=0$；
②当AC为斜边时，由勾股定理得：$(\sqrt{5})^2+(m+1)^2=(m+2)^2$，
整理得$2m=2$，解得$m=1$，符合$m＞-1$的条件。
综上，m的值为0或1。
【答案】
(1) $m=0$或$m=1$；
(2) $m$的值为0或1。
【知识点】
一元二次方程根的定义；公式法解一元二次方程；勾股定理应用
【点评】
本题属于代数与几何的综合题，既考察了一元二次方程的基础性质，又结合了直角三角形的特征，解题时要注意分类讨论斜边的可能性，同时不要忽略边长为正的隐含条件对解的取舍，锻炼分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
7 核心素养运算能力[较难]对于任意一个三位数k,如果k满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.例如:$k=169$,因为$6^2=4×1×9$,所以169是“喜鹊数”.
(1)已知一个“喜鹊数”$k=100a+10b+c(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9$,且a,b,c为整数),请直接写出a,b,c所满足的关系式:
(2)利用(1)中“喜鹊数”k中的a,b,c构造两个一元二次方程①$ax^2+bx+c=0$与②$cx^2+bx+a=0$,若$x=m$是方程①的一个根,$x=n$是方程②的一个根,求m与n满足的关系式.
(3)在(2)的条件下,若$m+n=-2$,请直接写出满足条件的所有k的值.
(1)已知一个“喜鹊数”$k=100a+10b+c(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9$,且a,b,c为整数),请直接写出a,b,c所满足的关系式:
$b^2-4ac=0$
;241 不是
“喜鹊数”(填“是”或“不是”).(2)利用(1)中“喜鹊数”k中的a,b,c构造两个一元二次方程①$ax^2+bx+c=0$与②$cx^2+bx+a=0$,若$x=m$是方程①的一个根,$x=n$是方程②的一个根,求m与n满足的关系式.
(3)在(2)的条件下,若$m+n=-2$,请直接写出满足条件的所有k的值.
答案
7.【解】(1)
∵$k=100a+10b+c$是“喜鹊数”($1≤a≤9$,$1≤b≤9$,$1≤c≤9$,且a,b,c为整数),
∴$b^2=4ac$,即$b^2-4ac=0$.
∵$4^2=16$,$4×2×1=8$,$16≠8$,
∴241不是“喜鹊数”.
故答案为$b^2-4ac=0$,不是.
(2)
∵$x=m$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,$x=n$是一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
∴$am^2+bm+c=0$,$cn^2+bn+a=0$.
将$cn^2+bn+a=0$两边同除以$n^2$得$a(\frac{1}{n})^2 + b(\frac{1}{n}) + c=0$,
∴将$m,\frac{1}{n}$看成是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根.
∵$b^2-4ac=0$,
∴方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,
∴$m=\frac{1}{n}$,即$mn=1$.
(3)满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
∵$m+n=-2$,$mn=1$,
∴$m=-1$,$n=-1$,
∴$a-b+c=0$,
∴$b=a+c$.
∵$b^2=4ac$,
∴$(a+c)^2=4ac$,解得$a=c$,
∴满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
∵$k=100a+10b+c$是“喜鹊数”($1≤a≤9$,$1≤b≤9$,$1≤c≤9$,且a,b,c为整数),
∴$b^2=4ac$,即$b^2-4ac=0$.
∵$4^2=16$,$4×2×1=8$,$16≠8$,
∴241不是“喜鹊数”.
故答案为$b^2-4ac=0$,不是.
(2)
∵$x=m$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,$x=n$是一元二次方程$cx^2+bx+a=0$的一个根,
∴$am^2+bm+c=0$,$cn^2+bn+a=0$.
将$cn^2+bn+a=0$两边同除以$n^2$得$a(\frac{1}{n})^2 + b(\frac{1}{n}) + c=0$,
∴将$m,\frac{1}{n}$看成是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根.
∵$b^2-4ac=0$,
∴方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根,
∴$m=\frac{1}{n}$,即$mn=1$.
(3)满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
∵$m+n=-2$,$mn=1$,
∴$m=-1$,$n=-1$,
∴$a-b+c=0$,
∴$b=a+c$.
∵$b^2=4ac$,
∴$(a+c)^2=4ac$,解得$a=c$,
∴满足条件的所有k的值为121,242,363,484.
解析
【分析】
(1)直接根据“喜鹊数”的定义，将十位数字平方、百位与个位数字乘积的4倍对应到a、b、c，即可写出关系式；判断241时代入关系式验证是否成立即可。
(2)先利用一元二次方程根的定义，将m、n分别代入对应方程，再将含n的方程两边除以不为0的n²，可发现m和$\frac{1}{n}$都是方程$ax^2+bx+c=0$的根，结合“喜鹊数”满足判别式$b^2-4ac=0$，可知方程有两个相等实根，即可推出m和$\frac{1}{n}$相等，得到m、n的关系。
(3)结合$m+n=-2$和(2)的结论$mn=1$，求出m=n=-1，代入方程①得到$a-b+c=0$，再联立$b^2=4ac$推导得a=c、b=2a，结合a、b、c的取值范围即可求出所有符合条件的k值。
【解析】
(1)
∵“喜鹊数”的十位数字的平方等于百位数字与个位数字乘积的4倍，k=100a+10b+c中a为百位数字，b为十位数字，c为个位数字，
∴$b^2=4ac$，即$b^2-4ac=0$。
对于241，a=2，b=4，c=1，计算得$4^2=16$，$4×2×1=8$，$16≠8$，不满足关系式，因此241不是“喜鹊数”。
(2)
∵x=m是方程①$ax^2+bx+c=0$的根，
∴代入得：$am^2+bm+c=0$；
∵x=n是方程②$cx^2+bx+a=0$的根，
∴代入得：$cn^2+bn+a=0$。
∵a、c均不为0，若n=0则方程②左边为a≠0，矛盾，故n≠0，将$cn^2+bn+a=0$两边同除以$n^2$得：
$a·(\frac{1}{n})^2 + b·(\frac{1}{n}) + c=0$，
即m和$\frac{1}{n}$都是方程$ax^2+bx+c=0$的实根。
又
∵k是“喜鹊数”，
∴$b^2-4ac=0$，方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实根，
∴$m=\frac{1}{n}$，即$mn=1$。
(3)已知$m+n=-2$，结合$mn=1$，解得$m=n=-1$，
将x=-1代入方程①得$a-b+c=0$，即$b=a+c$，
联立$b^2=4ac$，代入得$(a+c)^2=4ac$，整理得$(a-c)^2=0$，即$a=c$，
因此$b=2a$，结合$1≤a≤9、1≤b=2a≤9$，a可取1、2、3、4，对应b=2、4、6、8，c=1、2、3、4，对应的k为121、242、363、484。
【答案】
(1)$b^2=4ac$（或$b^2-4ac=0$）；不是
(2)$mn=1$
(3)121，242，363，484
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，需要先准确理解新定义规则，再灵活运用方程根的性质、判别式的意义推导，既考查信息提取能力，也考查代数逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3
(1)直接根据“喜鹊数”的定义，将十位数字平方、百位与个位数字乘积的4倍对应到a、b、c，即可写出关系式；判断241时代入关系式验证是否成立即可。
(2)先利用一元二次方程根的定义，将m、n分别代入对应方程，再将含n的方程两边除以不为0的n²，可发现m和$\frac{1}{n}$都是方程$ax^2+bx+c=0$的根，结合“喜鹊数”满足判别式$b^2-4ac=0$，可知方程有两个相等实根，即可推出m和$\frac{1}{n}$相等，得到m、n的关系。
(3)结合$m+n=-2$和(2)的结论$mn=1$，求出m=n=-1，代入方程①得到$a-b+c=0$，再联立$b^2=4ac$推导得a=c、b=2a，结合a、b、c的取值范围即可求出所有符合条件的k值。
【解析】
(1)
∵“喜鹊数”的十位数字的平方等于百位数字与个位数字乘积的4倍，k=100a+10b+c中a为百位数字，b为十位数字，c为个位数字，
∴$b^2=4ac$，即$b^2-4ac=0$。
对于241，a=2，b=4，c=1，计算得$4^2=16$，$4×2×1=8$，$16≠8$，不满足关系式，因此241不是“喜鹊数”。
(2)
∵x=m是方程①$ax^2+bx+c=0$的根，
∴代入得：$am^2+bm+c=0$；
∵x=n是方程②$cx^2+bx+a=0$的根，
∴代入得：$cn^2+bn+a=0$。
∵a、c均不为0，若n=0则方程②左边为a≠0，矛盾，故n≠0，将$cn^2+bn+a=0$两边同除以$n^2$得：
$a·(\frac{1}{n})^2 + b·(\frac{1}{n}) + c=0$，
即m和$\frac{1}{n}$都是方程$ax^2+bx+c=0$的实根。
又
∵k是“喜鹊数”，
∴$b^2-4ac=0$，方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实根，
∴$m=\frac{1}{n}$，即$mn=1$。
(3)已知$m+n=-2$，结合$mn=1$，解得$m=n=-1$，
将x=-1代入方程①得$a-b+c=0$，即$b=a+c$，
联立$b^2=4ac$，代入得$(a+c)^2=4ac$，整理得$(a-c)^2=0$，即$a=c$，
因此$b=2a$，结合$1≤a≤9、1≤b=2a≤9$，a可取1、2、3、4，对应b=2、4、6、8，c=1、2、3、4，对应的k为121、242、363、484。
【答案】
(1)$b^2=4ac$（或$b^2-4ac=0$）；不是
(2)$mn=1$
(3)121，242，363，484
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，需要先准确理解新定义规则，再灵活运用方程根的性质、判别式的意义推导，既考查信息提取能力，也考查代数逻辑推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3
