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1. 如图①,一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛物线形,建立如图②所示的平面直角坐标系,跳跃时兔子重心的高度$y$(单位:m)关于水平距离$x$(单位:m)的函数解析式为$y=-x^2+2x$,则此兔子跳到重心最高时的水平距离为 (
A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
A
)A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
答案
A 解析:$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,
∵ 图象开口向下,
∴ $x=1$时,$y$有最大值.故选 A.
∵ 图象开口向下,
∴ $x=1$时,$y$有最大值.故选 A.
2.（2026·崇左月考）数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400 m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（
B
）答案
B 解析:设矩形直线跑道长为$x$ m,矩形面积为$y$ m²,由题意得 $y=\frac{400-2x}{π} · x = \frac{2}{π}(-x^2+200x) = -\frac{2}{π}(x-100)^2 + \frac{20000}{π}$.
∵ $-\frac{2}{π}＜0$,
∴ 当$x=100$时,$y$最大,即直线跑道长应为100 m,半圆形的直径为$\frac{400-2×100}{π}\approx63.7(\mathrm{m})$,所以应设计矩形的长为100 m,宽约为63.7 m时,矩形面积最大.故选 B.
∵ $-\frac{2}{π}＜0$,
∴ 当$x=100$时,$y$最大,即直线跑道长应为100 m,半圆形的直径为$\frac{400-2×100}{π}\approx63.7(\mathrm{m})$,所以应设计矩形的长为100 m,宽约为63.7 m时,矩形面积最大.故选 B.
3. (2026·上海模拟)如图,小明推铅球,已知铅球运行时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+bx+c$,如果小明铅球出手的高度为1.5米,成绩为6米,那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为
2
米.答案
2 解析:
∵ 小明铅球出手的高度为1.5米,成绩为6米,
∴ $y=-\frac{1}{8}x^2+bx+c$ 过$(0,1.5)$,$(6,0)$,
∴ $\begin{cases}1.5=c,\\0=-\frac{1}{8}×6^2+6b+c,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}b=\frac{1}{2},\\c=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴ 铅球运行时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数解析式为 $y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$,
当$x=2$时,函数 $y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 有最大值为$y=2$,
∴ 铅球在运行中的高度最高大约为2米.
∵ 小明铅球出手的高度为1.5米,成绩为6米,
∴ $y=-\frac{1}{8}x^2+bx+c$ 过$(0,1.5)$,$(6,0)$,
∴ $\begin{cases}1.5=c,\\0=-\frac{1}{8}×6^2+6b+c,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}b=\frac{1}{2},\\c=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴ 铅球运行时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数解析式为 $y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$,
当$x=2$时,函数 $y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 有最大值为$y=2$,
∴ 铅球在运行中的高度最高大约为2米.
4. (2026·唐山月考)某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,如果不考虑空气阻力,足球飞行的高度$h$(单位:$m$)与足球飞行的时间$t$(单位:$s$)之间具有二次函数关系,其部分图象如图所示,则足球到达最高点所需的时间是
0.8
s.答案
0.8 解析:
∵ 函数图象的开口向下,
∴ 在顶点处取得最大值,根据函数的图象可得抛物线的对称轴为直线 $t=(0.5+1.1)÷2=0.8$,
∴ 在 $t=0.8$ 时,足球到达最高点,即足球到达最高点所需的时间是0.8 s.
∵ 函数图象的开口向下,
∴ 在顶点处取得最大值,根据函数的图象可得抛物线的对称轴为直线 $t=(0.5+1.1)÷2=0.8$,
∴ 在 $t=0.8$ 时,足球到达最高点,即足球到达最高点所需的时间是0.8 s.
5. (2026·大连期末)如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m.设垂直于墙的边长为x m,即AB=x m,矩形菜园ABCD的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当x为何值时,矩形菜园的面积最大?并求出菜园的最大面积.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当x为何值时,矩形菜园的面积最大?并求出菜园的最大面积.
答案
(1)设垂直于墙的一边长为$x$ m,则平行于墙的边长为$(30-2x)\mathrm{m}$,
∵ 墙长 18 m,
∴ $0＜30-2x≤18$,解得 $6≤ x＜15$,根据题意得,$y=x(30-2x)=-2x^2+30x(6≤ x＜15)$.
(2)根据题意得 $y=x(30-2x)=-2(x-\frac{15}{2})^2+\frac{225}{2}$,
∵ $-2＜0$,$6≤ x＜15$;
∴ 当 $x=\frac{15}{2}=7.5$ 时,$y$ 的值最大,即菜园的面积最大,最大面积是$\frac{225}{2}\mathrm{ m}^2$.
∵ 墙长 18 m,
∴ $0＜30-2x≤18$,解得 $6≤ x＜15$,根据题意得,$y=x(30-2x)=-2x^2+30x(6≤ x＜15)$.
(2)根据题意得 $y=x(30-2x)=-2(x-\frac{15}{2})^2+\frac{225}{2}$,
∵ $-2＜0$,$6≤ x＜15$;
∴ 当 $x=\frac{15}{2}=7.5$ 时,$y$ 的值最大,即菜园的面积最大,最大面积是$\frac{225}{2}\mathrm{ m}^2$.
6.（潍坊中考）如图，有一块边长为6 cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（
A.$\sqrt{3}$ cm²
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm²
C.$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ cm²
D.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$ cm²
C
）A.$\sqrt{3}$ cm²
B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm²
C.$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ cm²
D.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$ cm²
答案
C 解析:如图,等边三角形 $ABC$ 中, $∠ BAC=∠ B=∠ C=60°$,由三个筝形全等就可以得出 $AD=BE=BF=CG=CH=AK$,根据折叠后是一个无盖的直三棱柱就可以得出 $DO=PE=PF=QG=QH=OK$,四边形 $ODEP$、四边形 $PFGQ$、四边形 $QHKO$ 为矩形,且全等.连接 $AO$,易证明 $△ AOD≌△ AOK$,得到 $∠ OAD=∠ OAK=30°$,设 $OD=x$,则 $AO=2x$,由勾股定理就可以求出 $AD=\sqrt{3}\,x$,则纸盒侧面积 $=3x(6-2\sqrt{3}x)=-6\sqrt{3}x^2+18x=-6\sqrt{3}×(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{2}$,
∴ 当 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{ cm}$ 时,纸盒侧面积最大,最大值为 $\frac{9\sqrt{3}}{2}\mathrm{ cm}^2$.
归纳总结 在几何图形中,通常根据图形的特点,运用“面积法”和“勾股法”建立有关等式,进而转化为函数解析式.
