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1. (2026·恩施期末)如图,抛物线$y=a(x+m)^2 + b$过点$(1,4)$($a,b,m$均为常数,且$a≠0$),与$x$轴两个交点的横坐标为$x_1$和$x_2$,下列说法:
①$m+1＜0$;②$x_1+x_2=-2m$;③抛物线$y=a(x+m+2)^2 + b -1$必过$(-1,3)$.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.0
①$m+1＜0$;②$x_1+x_2=-2m$;③抛物线$y=a(x+m+2)^2 + b -1$必过$(-1,3)$.其中正确的个数是 (
C
)A.1
B.2
C.3
D.0
答案
1. C 解析:
∵抛物线y=a(x+m)²+b,
∴抛物线的对称轴为直线x=-m.
∵抛物线y=a(x+m)²+b过点(1,4),
∴结合图象可得抛物线的对称轴-m＞1,
∴m＜-1,
∴m+1＜0,故①正确;
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标为x₁和x₂,
∴抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称,
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=-m$,
∴$x_1+x_2$=-2m,故②正确;抛物线$y=a(x+m+2)^2+b-1$由抛物线$y=a(x+m)^2+b$向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度得到,将点(1,4)向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度为(1-2,4-1),即(-1,3),
∵抛物线$y=a(x+m)^2+b$过点(1,4),
∴抛物线$y=a(x+m+2)^2+b-1$必过(-1,3),故③正确.综上所述,正确的有①②③,共3个,故选C.
∵抛物线y=a(x+m)²+b,
∴抛物线的对称轴为直线x=-m.
∵抛物线y=a(x+m)²+b过点(1,4),
∴结合图象可得抛物线的对称轴-m＞1,
∴m＜-1,
∴m+1＜0,故①正确;
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标为x₁和x₂,
∴抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称,
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=-m$,
∴$x_1+x_2$=-2m,故②正确;抛物线$y=a(x+m+2)^2+b-1$由抛物线$y=a(x+m)^2+b$向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度得到,将点(1,4)向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度为(1-2,4-1),即(-1,3),
∵抛物线$y=a(x+m)^2+b$过点(1,4),
∴抛物线$y=a(x+m+2)^2+b-1$必过(-1,3),故③正确.综上所述,正确的有①②③,共3个,故选C.
2. (2026·茂名期末)抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示，下列判断中：①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$a+b+c=0$；④$9a-3b+c=0$；⑤若点$(-0.5,y_1),(-2,y_2)$均在抛物线上，则$y_1＞y_2$；⑥对于任意实数$n,a-b≤an^2+bn$。其中正确结论的个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. C 解析:
∵抛物线对称轴是直线x = -1,经过(1,0),
∴$-\frac{b}{2a}=-1$,a+b+c=0,
∴b=2a,c=-3a.
∵a＞0,
∴b＞0,c＜0,
∴abc＜0,故①错误;
∵抛物线对称轴是直线x=-1,经过(1,0),可知抛物线与x轴还有另外一个交点为(-3,0),
∴抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴$b^2-4ac＞0$,故②正确;
∵抛物线与x轴交于(1,0),
∴a+b+c=0,故③正确;
∵抛物线与x轴交于(-3,0),
∴9a-3b+c=0,故④正确;
∵函数图象开口向上,
∴离对称轴越远,y的值越大,
∵|-0.5 - (-1)|=0.5,|-2-(-1)|=1,
∴$y_1＜y_2$,故⑤错误;
∵抛物线对称轴是直线x=-1,
∴对于任意实数n,$an^2+bn+c≥a-b+c$,即$a-b≤an^2+bn$,故⑥正确;
∴正确的有②③④⑥,共4个.故选C.
∵抛物线对称轴是直线x = -1,经过(1,0),
∴$-\frac{b}{2a}=-1$,a+b+c=0,
∴b=2a,c=-3a.
∵a＞0,
∴b＞0,c＜0,
∴abc＜0,故①错误;
∵抛物线对称轴是直线x=-1,经过(1,0),可知抛物线与x轴还有另外一个交点为(-3,0),
∴抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴$b^2-4ac＞0$,故②正确;
∵抛物线与x轴交于(1,0),
∴a+b+c=0,故③正确;
∵抛物线与x轴交于(-3,0),
∴9a-3b+c=0,故④正确;
∵函数图象开口向上,
∴离对称轴越远,y的值越大,
∵|-0.5 - (-1)|=0.5,|-2-(-1)|=1,
∴$y_1＜y_2$,故⑤错误;
∵抛物线对称轴是直线x=-1,
∴对于任意实数n,$an^2+bn+c≥a-b+c$,即$a-b≤an^2+bn$,故⑥正确;
∴正确的有②③④⑥,共4个.故选C.
3. (2026·淄博期末)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$.下列结论：①$4a+b=0$；②$9a+c＞3b$；③若点$A(-3,y_1)$、点$B(-\dfrac{1}{2},y_2)$、点$C(\dfrac{7}{2},y_3)$在该函数图象上，则$y_1＜y_2＜y_3$；④若方程$8a(x+1)(x-5)=-3$的根为$x_1$和$x_2$，且$x_1＜x_2$，则$x_1＜-1＜5＜x_2$.其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C 解析:
∵抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a,即4a+b=0,故①正确;由函数图象可知,当x=-3时,y＜0,即9a-3b+c＜0,
∴9a+c＜3b,故②错误;由函数图象可知,a＜0,则距离抛物线对称轴越近,y值越大.
∵点A、点B、点C到抛物线对称轴距离依次减小,
∴$y_1＜y_2＜y_3$,故③正确;
∵抛物线经过点(-1,0),对称轴为直线x=2,
∴抛物线经过点(5,0),
∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),
∴方程8a(x+1)·(x-5)=-3,即$a(x+1)(x-5)=-\frac{3}{8}$的两根为抛物线与直线$y=-\frac{3}{8}$的交点的横坐标.由图象可得$x_1＜-1＜5＜x_2$,故④正确.故正确的结论有①③④,共3个.故选C.
∵抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a,即4a+b=0,故①正确;由函数图象可知,当x=-3时,y＜0,即9a-3b+c＜0,
∴9a+c＜3b,故②错误;由函数图象可知,a＜0,则距离抛物线对称轴越近,y值越大.
∵点A、点B、点C到抛物线对称轴距离依次减小,
∴$y_1＜y_2＜y_3$,故③正确;
∵抛物线经过点(-1,0),对称轴为直线x=2,
∴抛物线经过点(5,0),
∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),
∴方程8a(x+1)·(x-5)=-3,即$a(x+1)(x-5)=-\frac{3}{8}$的两根为抛物线与直线$y=-\frac{3}{8}$的交点的横坐标.由图象可得$x_1＜-1＜5＜x_2$,故④正确.故正确的结论有①③④,共3个.故选C.
4. (2025·绥化中考)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$A(3,0)$,$B(-1,0)$,与y轴交于点$C(0,m)$,其中$-4＜m＜-3$.则下列结论:①$a-c＞0$;②方程$ax^2+bx+c-5=0$没有实数根;③$-\frac{8}{3}＜b＜-2$;④$\frac{a+b+c}{b-a}＞0$.其中错误的个数有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. A 解析:二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点A(3,0),B(-1,0),图象开口向上,
∴对称轴直线为$-\frac{b}{2a}=\frac{3-1}{2}=1$,a＞0,
∴b=-2a,当x=-1时,y=a-b+c=0,
∴a-(-2a)+c=0,
∴c=-3a,
∴a-c=a-(-3a)=4a＞0,故①正确;抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=5有两个不同的交点,
∴方程$ax^2+bx+c-5=0$有两个不相等的实数根,故②错误;
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与y轴交于点C(0,m),其中-4＜m＜-3,
∴当x=0时,y=c=m,
∴-4＜c＜-3.
∵c=-3a,b=-2a,
∴$c=\frac{3}{2}b$,
∴$-4＜\frac{3}{2}b＜-3$,解得$-\frac{8}{3}＜b＜-2$,故③正确;当x=1时,函数有最小值,最小值为y=a+b+c＜0,b=-2a,
∴b-a=-2a-a=-3a＜0,
∴$\frac{a+b+c}{b-a}＞0$,故④正确.综上,错误的有1个,故选A.
∴对称轴直线为$-\frac{b}{2a}=\frac{3-1}{2}=1$,a＞0,
∴b=-2a,当x=-1时,y=a-b+c=0,
∴a-(-2a)+c=0,
∴c=-3a,
∴a-c=a-(-3a)=4a＞0,故①正确;抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=5有两个不同的交点,
∴方程$ax^2+bx+c-5=0$有两个不相等的实数根,故②错误;
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与y轴交于点C(0,m),其中-4＜m＜-3,
∴当x=0时,y=c=m,
∴-4＜c＜-3.
∵c=-3a,b=-2a,
∴$c=\frac{3}{2}b$,
∴$-4＜\frac{3}{2}b＜-3$,解得$-\frac{8}{3}＜b＜-2$,故③正确;当x=1时,函数有最小值,最小值为y=a+b+c＜0,b=-2a,
∴b-a=-2a-a=-3a＜0,
∴$\frac{a+b+c}{b-a}＞0$,故④正确.综上,错误的有1个,故选A.
5. (2024·日照中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$($a≠0$)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$.对于下列结论：①$abc＜0$；②$a+c=b$；③多项式$ax^2+bx+c$可因式分解为$(x+1)(x-5)$；④当$m＞-9a$时，关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根.其中正确结论的个数有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. C 解析:由题图可知a＜0,c＞0,$-\frac{b}{2a}＞0$,
∴b＞0,
∴abc＜0,故①正确;当x=-1时,a-b+c=0,即a+c=b,故②正确;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1,对称轴为直线x=2,
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为5,
∴多项式$ax^2+bx+c=a(x+1)(x-5)$,故③错误;
∵$-\frac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a.
∵a+c=b,
∴c=-5a.
∵当x=2时,y有最大值,即y=4a+2b+c=4a-8a-5a=-9a,
∴当m＞-9a时,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=m无交点,即关于x的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根,故④正确.综上,①②④正确,共3个.
∴b＞0,
∴abc＜0,故①正确;当x=-1时,a-b+c=0,即a+c=b,故②正确;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1,对称轴为直线x=2,
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为5,
∴多项式$ax^2+bx+c=a(x+1)(x-5)$,故③错误;
∵$-\frac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a.
∵a+c=b,
∴c=-5a.
∵当x=2时,y有最大值,即y=4a+2b+c=4a-8a-5a=-9a,
∴当m＞-9a时,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=m无交点,即关于x的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根,故④正确.综上,①②④正确,共3个.
6. 如图所示是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象，该函数图象的对称轴是直线$x=1$，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①$2a+b=0$；②方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-2和-1之间；③方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根；④$b-a＜2$。其中，正确结论的个数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6. B 解析:
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴$-\frac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2,3之间,
∴与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-1和0之间,故②错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\frac{3}{2}$有两个交点,
∴方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴a-b+c＜0.
∵图象与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a-b+2＜0,
∴b-a＞2,故④错误.综上,①③正确,共2个.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴$-\frac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2,3之间,
∴与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-1和0之间,故②错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\frac{3}{2}$有两个交点,
∴方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴a-b+c＜0.
∵图象与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a-b+2＜0,
∴b-a＞2,故④错误.综上,①③正确,共2个.
