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7. (2026·宁波期末)如图①,小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上,并压缩弹簧(自然状态下,弹簧的初始长度为15 cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),小球的速度$v$(cm/s)和弹簧被压缩的长度$x$(cm)之间的函数关系可近似看作二次函数,图象如图②所示,根据图象,下列说法中正确的是 (
A.小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B.若$a=4$,则小球的最大速度为5 cm/s
C.当小球的速度最大时,弹簧的长度是12 cm
D.当弹簧的长度为8 cm时,小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
C
)A.小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B.若$a=4$,则小球的最大速度为5 cm/s
C.当小球的速度最大时,弹簧的长度是12 cm
D.当弹簧的长度为8 cm时,小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
答案
C 解析:A. 小球刚开始接触弹簧时速度并未开始减少,该选项错误,故不符合题意;B. 由题图,抛物线的对称轴为直线 $x=3$,
∴ $(9,0)$ 的对称点为 $(-3,0)$,假设抛物线的解析式为 $v=k(x-9)(x+3)$,将 $(0,4)$ 代入解析式得 $4=-27k$,解得 $k=-\frac{4}{27}$,
∴ 抛物线解析式为 $v=-\frac{4}{27}(x-9)(x+3)$,当 $x=3$ 时,函数值最大,最大值为 $v=-\frac{4}{27}×(3-9)×(3+3)=\frac{16}{3}$,
∴ 若 $a=4$,则在小球压缩弹簧的过程中,最大速度为 $\frac{16}{3}\mathrm{ cm/s}$,该选项错误,不符合题意;C. 由题图,可知当弹簧被压缩的长度为 3 cm 时,小球的速度最大,此时弹簧的长度为 $15-3=12(\mathrm{cm})$,该选项正确,符合题意;D. 当弹簧的长度为 8 cm 时,被压缩了 $15-8=7(\mathrm{cm})$,即 $x=7$,由题图可知,二次函数的对称轴是直线 $x=3$,则 $x=0$ 与 $x=6$ 对应的速度相等,
∴ $x=7$ 时,小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等,该选项错误,故不符合题意.故选 C.
∴ $(9,0)$ 的对称点为 $(-3,0)$,假设抛物线的解析式为 $v=k(x-9)(x+3)$,将 $(0,4)$ 代入解析式得 $4=-27k$,解得 $k=-\frac{4}{27}$,
∴ 抛物线解析式为 $v=-\frac{4}{27}(x-9)(x+3)$,当 $x=3$ 时,函数值最大,最大值为 $v=-\frac{4}{27}×(3-9)×(3+3)=\frac{16}{3}$,
∴ 若 $a=4$,则在小球压缩弹簧的过程中,最大速度为 $\frac{16}{3}\mathrm{ cm/s}$,该选项错误,不符合题意;C. 由题图,可知当弹簧被压缩的长度为 3 cm 时,小球的速度最大,此时弹簧的长度为 $15-3=12(\mathrm{cm})$,该选项正确,符合题意;D. 当弹簧的长度为 8 cm 时,被压缩了 $15-8=7(\mathrm{cm})$,即 $x=7$,由题图可知,二次函数的对称轴是直线 $x=3$,则 $x=0$ 与 $x=6$ 对应的速度相等,
∴ $x=7$ 时,小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等,该选项错误,故不符合题意.故选 C.
8. (2026·成都期中)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度$h$(米)与物体运动的时间$t$(秒)之间满足函数关系$h=-5t^2+mt+n$,其图象如图所示,物体运动的初始高度为15米,最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设$w$表示0秒到$t$秒时$h$的值的“极差”(即0秒到$t$秒时$h$的最大值与最小值的差),则$m$的值是
10
;当$2≤t≤3$时,$w$的取值范围是5≤w≤20
.答案
10 $5≤ w≤ 20$ 解析:
∵ 物体运动的初始高度为 15 米,物体从发射到落地的运动时间为 3 秒,
∴ 抛物线 $h=-5t^2+mt+n$ 经过 $(0,15)$,$(3,0)$ 点,
∴ $\begin{cases}n=15,\\-5×3^2+3m+n=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=10,\\n=15,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $h=-5t^2+10t+15$.
∵ $h=-5t^2+10t+15=-5\ (t-1)^2+20$,
∴ 抛物线的最高点的坐标为 $(1,20)$.当 $t=2$ 时,$h=15$,当 $t=3$ 时,$h=0$.
∵ $20-15=5$,$20-0=20$,
∴ 当 $2≤ t≤ 3$ 时,$w$ 的取值范围是 $5≤ w≤ 20$.
∵ 物体运动的初始高度为 15 米,物体从发射到落地的运动时间为 3 秒,
∴ 抛物线 $h=-5t^2+mt+n$ 经过 $(0,15)$,$(3,0)$ 点,
∴ $\begin{cases}n=15,\\-5×3^2+3m+n=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=10,\\n=15,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $h=-5t^2+10t+15$.
∵ $h=-5t^2+10t+15=-5\ (t-1)^2+20$,
∴ 抛物线的最高点的坐标为 $(1,20)$.当 $t=2$ 时,$h=15$,当 $t=3$ 时,$h=0$.
∵ $20-15=5$,$20-0=20$,
∴ 当 $2≤ t≤ 3$ 时,$w$ 的取值范围是 $5≤ w≤ 20$.
9. (2026·廊坊期末)【发现问题】
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化.
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分.
【解决问题】
(1)在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是
(2)求满足条件的二次函数的解析式.
(3)根据该市中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8 m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分？请说明理由.
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化.
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分.
【解决问题】
(1)在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是
2
m，实心球在空中的最大高度是3.6
m.(2)求满足条件的二次函数的解析式.
(3)根据该市中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8 m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分？请说明理由.
答案
(1)2 3.6 解析:由题意可知出手时实心球的竖直高度即为 $x=0$ 时 $y$ 的值,通过图表可得当 $x=0$ 时,$y=2$,得在淇淇投掷过程中,出手时实心球的竖直高度是 2 m.由当 $x=2$ 时,$y=3.2$,当 $x=6$ 时,$y=3.2$,可得对称轴为直线 $x=4$,则当 $x=4$ 时,实心球在空中达到最大高度,通过图表可得当 $x=4$ 时,$y=3.6$,得实心球在空中的最大高度是 3.6 m.
(2)设抛物线的解析式为 $y=a\ (x-h)^2+k$,由(1)得抛物线的顶点坐标为 $(4,3.6)$,则 $h=4$,$k=3.6$,得抛物线的解析式为 $y=a\ (x-4)^2+3.6$,把 $(0,2)$ 代入,得 $a\ (0-4)^2+3.6=2$,解得 $a=-0.1$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.1\ (x-4)^2+3.6$.
(3)淇淇在此次考试中能得到满分,理由如下:把 $y=0$ 代入 $y=-0.1\ (x-4)^2+3.6$,得$-0.1\ (x-4)^2+3.6=0$,解得 $x_1=10$ 或 $x_2=-2$(不符合题意,舍去),
∵ $10＞8$,
∴ 淇淇在此次考试中能得到满分.
(2)设抛物线的解析式为 $y=a\ (x-h)^2+k$,由(1)得抛物线的顶点坐标为 $(4,3.6)$,则 $h=4$,$k=3.6$,得抛物线的解析式为 $y=a\ (x-4)^2+3.6$,把 $(0,2)$ 代入,得 $a\ (0-4)^2+3.6=2$,解得 $a=-0.1$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-0.1\ (x-4)^2+3.6$.
(3)淇淇在此次考试中能得到满分,理由如下:把 $y=0$ 代入 $y=-0.1\ (x-4)^2+3.6$,得$-0.1\ (x-4)^2+3.6=0$,解得 $x_1=10$ 或 $x_2=-2$(不符合题意,舍去),
∵ $10＞8$,
∴ 淇淇在此次考试中能得到满分.
