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10. 教材变式（福建中考）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.
(1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图①，求所利用旧墙AD的长；
(2)已知0＜a＜50，且空地足够大，如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值.
第二十六章
(1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图①，求所利用旧墙AD的长；
(2)已知0＜a＜50，且空地足够大，如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值.
第二十六章
答案
(1)设 $AD=x$ 米,则 $AB=\frac{100-x}{2}$ 米,依题意,得 $\frac{x(100-x)}{2}=450$,解得 $x_1=10$,$x_2=90$.
∵ $a=20$,且 $x≤ a$,
∴ $x=90$ 不合题意,应舍去,
∴ 利用旧墙 $AD$ 的长为 10 米.
(2)设 $AD=x$ 米,矩形 $ABCD$ 的面积为 $S$ 平方米.①如果按图①方案围成矩形菜园,依题意,得 $S=\frac{x(100-x)}{2}=-\frac{1}{2}(x-50)^2+1\ 250$,$0＜x＜a$.
∵ $0＜a＜50$,
∴ 当 $x＜a＜50$ 时,$S$ 随 $x$ 的增大而增大,当 $x=a$ 时,$S_{\mathrm{最大}}=50a-\frac{1}{2}a^2$.
②如果按图②方案围成矩形菜园,依题意,得 $S=\frac{x(100+a-2x)}{2}=-[x-(25+\frac{a}{4})]^2+(25+\frac{a}{4})^2$,$a≤ x＜50+\frac{a}{2}$,当 $a＜25+\frac{a}{4}＜50+\frac{a}{2}$,即 $0＜a＜\frac{100}{3}$ 时,$x=25+\frac{a}{4}$ 时,$S_{\mathrm{最大}}=(25+\frac{a}{4})^2=\frac{10\ 000+200a+a^2}{16}$;当 $25+\frac{a}{4}≤ a＜50$,即 $\frac{100}{3}≤ a＜50$ 时,$S$ 随 $x$ 的增大而减小,
∴ 当 $x=a$ 时,$S_{\mathrm{最大}}=\frac{a(100+a-2a)}{2}=50a-\frac{1}{2}a^2$.综合①②,当 $0＜a＜\frac{100}{3}$ 时,$\frac{10\ 000+200a+a^2}{16}-(50a-\frac{1}{2}a^2)=\frac{(3a-100)^2}{16}＞0$,即 $\frac{10\ 000+200a+a^2}{16}＞50a-\frac{1}{2}a^2$,此时,按图②方案围成的矩形菜园面积最大,最大面积为 $\frac{10\ 000+200a+a^2}{16}$ 平方米.当 $\frac{100}{3}≤ a＜50$ 时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.
∴ 当 $0＜a＜\frac{100}{3}$ 时,围成长和宽均为 $(25+\frac{a}{4})$ 米的矩形菜园时面积最大,最大面积为 $\frac{10\ 000+200a+a^2}{16}$ 平方米;当 $\frac{100}{3}≤ a＜50$ 时,围成长为 $a$ 米,宽为 $(50-\frac{a}{2})$ 米的矩形菜园时面积最大,最大面积为 $(50a-\frac{1}{2}a^2)$ 平方米.
11. (2026·武汉月考)郑钦文是我国网球运动员,她在一次击球过程中,在点O处发球,将网球从点O正上方n m的点A发出,球的运行轨迹是一条抛物线,网球运行的水平距离为8 m时,网球达到最大高度h m,以点O为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立如图平面直角坐标系.已知球网与原点O的水平距离约为12 m,球网高度为0.9 m,球场的边界距原点O的水平距离约为24 m.设网球运行的高度为y(m),运行的水平距离为x(m).
(1)当n=0.4,h=1.2时,
①求y与x的解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
②如果球能过网,求它的落点离边界的距离($\sqrt{6}≈2.45$,结果保留小数点后一位).
(2)第二局比赛时交换场地,若对手在距地面0.8 m处将球击打出去,网球运行的水平距离仍然为8 m时,达到最大高度h m.当h满足什么条件时,对手的球虽能越过球网(不接触球网),但出界(不可压边界)?直接写出h的取值范围.
(1)当n=0.4,h=1.2时,
①求y与x的解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
②如果球能过网,求它的落点离边界的距离($\sqrt{6}≈2.45$,结果保留小数点后一位).
(2)第二局比赛时交换场地,若对手在距地面0.8 m处将球击打出去,网球运行的水平距离仍然为8 m时,达到最大高度h m.当h满足什么条件时,对手的球虽能越过球网(不接触球网),但出界(不可压边界)?直接写出h的取值范围.
答案
(1)①当 $n=0.4$,$h=1.2$ 时,由题意可知点 $A$ 的坐标为 $(0,0.4)$,设 $y$ 与 $x$ 的关系式为 $y=a\ (x-8)^2+h(a≠0)$,且顶点坐标为 $(8,1.2)$,将点 $(0,0.4)$ 和 $h=1.2$ 代入解析式中,得 $0.4=a\ (0-8)^2+1.2$,解得 $a=-\frac{1}{80}$,
∴ $y$ 与 $x$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{80}(x-8)^2+1.2$.
②
∵ 当 $x=12$ 时,$y=-\frac{1}{80}(12-8)^2+1.2=1＞0.9$,
∴ 能过网,
令 $y=-\frac{1}{80}(x-8)^2+1.2=0$,整理得 $(x-8)^2=96$,解得 $x_1=8+4\sqrt{6}$,$x_2=8-4\sqrt{6}$(舍去),则 $24-(8+4\sqrt{6})=16-4\sqrt{6}\approx6.2(\mathrm{m})$.答:能过网,它的落点离边界的距离为 6.2 m.
(2)$\frac{14}{15}＜h＜\frac{16}{15}$. 解析:根据题意,$A(0,0.8)$ 在抛物线 $y=a\ (x-8)^2+h(a≠0)$ 的图象上,
∴ $0.8=a\ (0-8)^2+h$,解得 $a=\frac{0.8-h}{64}$,即 $y=\frac{0.8-h}{64}(x-8)^2+h$.若球一定能越过球网,则当 $x=12$ 时,$y＞0.9$,
∴ $\frac{0.8-h}{64}(12-8)^2+h＞0.9$,解得 $h＞\frac{14}{15}$;若出界(不可压边界),即抛物线与 $x$ 轴的右交点在 $(24,0)$ 的右侧,即当 $x=24$ 时,$y＞0$,
∴ $\frac{0.8-h}{64}(24-8)^2+h＞0$,解得 $h＜\frac{16}{15}$.
综上,若球能过网(不接触球网),但出界(不可压边界),$h$ 的取值范围为 $\frac{14}{15}＜h＜\frac{16}{15}$.
∴ $y$ 与 $x$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{80}(x-8)^2+1.2$.
②
∵ 当 $x=12$ 时,$y=-\frac{1}{80}(12-8)^2+1.2=1＞0.9$,
∴ 能过网,
令 $y=-\frac{1}{80}(x-8)^2+1.2=0$,整理得 $(x-8)^2=96$,解得 $x_1=8+4\sqrt{6}$,$x_2=8-4\sqrt{6}$(舍去),则 $24-(8+4\sqrt{6})=16-4\sqrt{6}\approx6.2(\mathrm{m})$.答:能过网,它的落点离边界的距离为 6.2 m.
(2)$\frac{14}{15}＜h＜\frac{16}{15}$. 解析:根据题意,$A(0,0.8)$ 在抛物线 $y=a\ (x-8)^2+h(a≠0)$ 的图象上,
∴ $0.8=a\ (0-8)^2+h$,解得 $a=\frac{0.8-h}{64}$,即 $y=\frac{0.8-h}{64}(x-8)^2+h$.若球一定能越过球网,则当 $x=12$ 时,$y＞0.9$,
∴ $\frac{0.8-h}{64}(12-8)^2+h＞0.9$,解得 $h＞\frac{14}{15}$;若出界(不可压边界),即抛物线与 $x$ 轴的右交点在 $(24,0)$ 的右侧,即当 $x=24$ 时,$y＞0$,
∴ $\frac{0.8-h}{64}(24-8)^2+h＞0$,解得 $h＜\frac{16}{15}$.
综上,若球能过网(不接触球网),但出界(不可压边界),$h$ 的取值范围为 $\frac{14}{15}＜h＜\frac{16}{15}$.
