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13. 跨学科实践「2026吉林长春期末改编，★☆」生活中铝箔的应用非常广泛。如表是厨房中使用的某款厚质铝箔纸的厚度、宽度和长度等相关信息。（铝的密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）
(1)请你根据表中的数据,通过计算判断这卷纸所标质量是否含加赠的3 m。
(2)若该铝箔纸原材料的价格为20 000元/t,这卷纸加赠3 m后原材料成本增加多少元?(计算结果保留2位小数)
(3)某同学测出了整卷纸(不含纸芯)的质量为98 g,外径为3.95 cm,内径为3.75 cm,宽30.00 cm。请根据所测数据,通过计算初步判断这卷纸所用材质是否是铝。（π取3.14）
(1)请你根据表中的数据,通过计算判断这卷纸所标质量是否含加赠的3 m。
(2)若该铝箔纸原材料的价格为20 000元/t,这卷纸加赠3 m后原材料成本增加多少元?(计算结果保留2位小数)
(3)某同学测出了整卷纸(不含纸芯)的质量为98 g,外径为3.95 cm,内径为3.75 cm,宽30.00 cm。请根据所测数据,通过计算初步判断这卷纸所用材质是否是铝。（π取3.14）
答案
13.解析 (1)规格为$0.015\ \mathrm{mm}×30\ \mathrm{cm}×5\ \mathrm{m}$,加赠后的长度为8 m,体积为$V=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×800\ \mathrm{cm}=36\ \mathrm{cm}^3$;加赠后的质量为$m=\rho V=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×36\ \mathrm{cm}^3=97.2\ \mathrm{g}$,与所标质量相差较小,故这卷纸所标质量含加赠的3 m;
(2)加赠的铝箔纸的长度为3 m,加赠的铝箔纸的体积为$V_1=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×300\ \mathrm{cm}=13.5\ \mathrm{cm}^3$;加赠的铝箔纸的质量为$m_1=\rho V_1=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×13.5\ \mathrm{cm}^3=36.45\ \mathrm{g}$,加赠3 m后增加的原材料的成本为$20000\ \mathrm{元/t}×36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}=0.729\ \mathrm{元}≈0.73\ \mathrm{元}$;
(3)质量为98 g,外径为3.95 cm,内径为3.75 cm,宽30.00 cm,纸(不含纸芯)的体积$V'=SL=\frac{π}{4}(D^2-d^2)L=\frac{3.14}{4}×[(3.95\ \mathrm{cm})^2-(3.75\ \mathrm{cm})^2]×30.00\ \mathrm{cm}=36.267\ \mathrm{cm}^3$,这卷纸的密度$\rho'=\frac{m'}{V'}=\frac{98\ \mathrm{g}}{36.267\ \mathrm{cm}^3}≈2.7\ \mathrm{g/cm}^3$,与铝的密度大致相等,初步判断所用材质是铝。
(2)加赠的铝箔纸的长度为3 m,加赠的铝箔纸的体积为$V_1=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×300\ \mathrm{cm}=13.5\ \mathrm{cm}^3$;加赠的铝箔纸的质量为$m_1=\rho V_1=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×13.5\ \mathrm{cm}^3=36.45\ \mathrm{g}$,加赠3 m后增加的原材料的成本为$20000\ \mathrm{元/t}×36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}=0.729\ \mathrm{元}≈0.73\ \mathrm{元}$;
(3)质量为98 g,外径为3.95 cm,内径为3.75 cm,宽30.00 cm,纸(不含纸芯)的体积$V'=SL=\frac{π}{4}(D^2-d^2)L=\frac{3.14}{4}×[(3.95\ \mathrm{cm})^2-(3.75\ \mathrm{cm})^2]×30.00\ \mathrm{cm}=36.267\ \mathrm{cm}^3$,这卷纸的密度$\rho'=\frac{m'}{V'}=\frac{98\ \mathrm{g}}{36.267\ \mathrm{cm}^3}≈2.7\ \mathrm{g/cm}^3$,与铝的密度大致相等,初步判断所用材质是铝。
解析
【分析】
这道题围绕生活中的铝箔纸考查密度相关的综合计算，解题时需先统一单位再逐步计算：
(1) 判断所标质量是否含加赠3m：先将厚度、宽度、长度的单位统一，计算加赠后总长度对应的铝箔体积，再利用密度公式$m=\rho V$算出对应质量，和标称质量对比即可得出结论；
(2) 计算加赠3m的成本：先算出3m长铝箔的体积，再求出对应质量，将质量单位换算为t后乘以原材料单价即可；
(3) 判断材质是否为铝：先根据整卷铝箔的外径、内径、宽度算出铝箔的总体积（空心圆柱体积=圆环面积×宽度），再利用密度公式算出该材质的密度，和铝的密度对比，数值相近即可初步判断为铝。
【解析】
先统一单位：铝的密度$\rho=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铝箔厚度$0.015\ \mathrm{mm}=0.0015\ \mathrm{cm}$，$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$。
(1) 加赠后铝箔总长度$L_{\mathrm{总}}=5\ \mathrm{m}+3\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{cm}$
铝箔体积$V=\mathrm{厚}×\mathrm{宽}×\mathrm{长}=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×800\ \mathrm{cm}=36\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得，总质量$m=\rho V=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×36\ \mathrm{cm}^3=97.2\ \mathrm{g}$，与标称质量相差极小，因此所标质量含加赠的3m。
(2) 加赠的铝箔长度$L_1=3\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{cm}$
加赠部分体积$V_1=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×300\ \mathrm{cm}=13.5\ \mathrm{cm}^3$
加赠部分质量$m_1=\rho V_1=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×13.5\ \mathrm{cm}^3=36.45\ \mathrm{g}=36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}$
增加的成本$=20000\ \mathrm{元/t}×36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}≈0.73\ \mathrm{元}$。
(3) 整卷铝箔（不含纸芯）的体积为空心圆柱体积：
$V'=S_{\mathrm{圆环}}×\mathrm{宽度}=\frac{π}{4}(D^2-d^2)×\mathrm{宽}$
代入数据得：$V'=\frac{3.14}{4}×[(3.95\ \mathrm{cm})^2-(3.75\ \mathrm{cm})^2]×30.00\ \mathrm{cm}=36.267\ \mathrm{cm}^3$
该材质的密度$\rho'=\frac{m'}{V'}=\frac{98\ \mathrm{g}}{36.267\ \mathrm{cm}^3}≈2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，与铝的密度大致相等，因此初步判断所用材质是铝。
【答案】
(1) 这卷纸所标质量含加赠的3m；
(2) 加赠3m后原材料成本增加约0.73元；
(3) 初步判断这卷纸所用材质是铝。
【知识点】
密度公式应用，物质的鉴别，柱体体积计算
【点评】
本题结合生活中常见的铝箔纸设题，将密度计算与生活实际应用结合，考查学生单位换算、公式运用的能力，解题时需注意统一单位，空心圆柱体积的计算是第三问的关键，整体难度适中，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这道题围绕生活中的铝箔纸考查密度相关的综合计算，解题时需先统一单位再逐步计算：
(1) 判断所标质量是否含加赠3m：先将厚度、宽度、长度的单位统一，计算加赠后总长度对应的铝箔体积，再利用密度公式$m=\rho V$算出对应质量，和标称质量对比即可得出结论；
(2) 计算加赠3m的成本：先算出3m长铝箔的体积，再求出对应质量，将质量单位换算为t后乘以原材料单价即可；
(3) 判断材质是否为铝：先根据整卷铝箔的外径、内径、宽度算出铝箔的总体积（空心圆柱体积=圆环面积×宽度），再利用密度公式算出该材质的密度，和铝的密度对比，数值相近即可初步判断为铝。
【解析】
先统一单位：铝的密度$\rho=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，铝箔厚度$0.015\ \mathrm{mm}=0.0015\ \mathrm{cm}$，$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$。
(1) 加赠后铝箔总长度$L_{\mathrm{总}}=5\ \mathrm{m}+3\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{cm}$
铝箔体积$V=\mathrm{厚}×\mathrm{宽}×\mathrm{长}=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×800\ \mathrm{cm}=36\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得，总质量$m=\rho V=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×36\ \mathrm{cm}^3=97.2\ \mathrm{g}$，与标称质量相差极小，因此所标质量含加赠的3m。
(2) 加赠的铝箔长度$L_1=3\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{cm}$
加赠部分体积$V_1=0.0015\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×300\ \mathrm{cm}=13.5\ \mathrm{cm}^3$
加赠部分质量$m_1=\rho V_1=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×13.5\ \mathrm{cm}^3=36.45\ \mathrm{g}=36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}$
增加的成本$=20000\ \mathrm{元/t}×36.45×10^{-6}\ \mathrm{t}≈0.73\ \mathrm{元}$。
(3) 整卷铝箔（不含纸芯）的体积为空心圆柱体积：
$V'=S_{\mathrm{圆环}}×\mathrm{宽度}=\frac{π}{4}(D^2-d^2)×\mathrm{宽}$
代入数据得：$V'=\frac{3.14}{4}×[(3.95\ \mathrm{cm})^2-(3.75\ \mathrm{cm})^2]×30.00\ \mathrm{cm}=36.267\ \mathrm{cm}^3$
该材质的密度$\rho'=\frac{m'}{V'}=\frac{98\ \mathrm{g}}{36.267\ \mathrm{cm}^3}≈2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，与铝的密度大致相等，因此初步判断所用材质是铝。
【答案】
(1) 这卷纸所标质量含加赠的3m；
(2) 加赠3m后原材料成本增加约0.73元；
(3) 初步判断这卷纸所用材质是铝。
【知识点】
密度公式应用，物质的鉴别，柱体体积计算
【点评】
本题结合生活中常见的铝箔纸设题，将密度计算与生活实际应用结合，考查学生单位换算、公式运用的能力，解题时需注意统一单位，空心圆柱体积的计算是第三问的关键，整体难度适中，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
