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14. 核心素养 科学思维「2026河北石家庄新华期末，★★☆」如图所示，A、B两个完全相同的薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，分别装有相等质量的水和酒精，容器的底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，A容器内水的深度为$10\ \mathrm{cm}$。
(1)求A容器中水的质量$m_{水}$；
(2)求B容器中酒精的体积$V_{酒精}$；
(3)将质量为$890\ \mathrm{g}$的空心铜块浸没在水中，质量为$405\ \mathrm{g}$的实心铝块浸没在酒精中，发现两个容器中的液面一样高，且液体均没有溢出，求铜块空心部分的体积。(已知：$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{铜}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)求A容器中水的质量$m_{水}$；
(2)求B容器中酒精的体积$V_{酒精}$；
(3)将质量为$890\ \mathrm{g}$的空心铜块浸没在水中，质量为$405\ \mathrm{g}$的实心铝块浸没在酒精中，发现两个容器中的液面一样高，且液体均没有溢出，求铜块空心部分的体积。(已知：$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{铜}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
答案
14.解析 (1)A容器中水的体积为$V_{水}=Sh_{水}=100\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{cm}^3$,A容器中水的质量为$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×1000\ \mathrm{cm}^3=1000\ \mathrm{g}$;
(2)B容器中酒精的质量为$m_{酒精}=m_{水}=1000\ \mathrm{g}$,根据$\rho=\frac{m}{V}$可得酒精的体积为$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{1000\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=1250\ \mathrm{cm}^3$;
(3)根据$\rho=\frac{m}{V}$可得实心铝块的体积为$V_{铝}=\frac{m_{铝}}{\rho_{铝}}=\frac{405\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=150\ \mathrm{cm}^3$;两个容器中的液面一样高,则两个容器中液体和金属块的总体积相等,$V_{铝}+V_{酒精}=V_{铜}+V_{水}$,即$150\ \mathrm{cm}^3+1250\ \mathrm{cm}^3=V_{铜}+1000\ \mathrm{cm}^3$,解得$V_{铜}=400\ \mathrm{cm}^3$,890 g的空心铜块实心部分的体积为$V_{实}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{890\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$,则铜块空心部分的体积为$V_{空}=V_{铜}-V_{实}=400\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$。
(2)B容器中酒精的质量为$m_{酒精}=m_{水}=1000\ \mathrm{g}$,根据$\rho=\frac{m}{V}$可得酒精的体积为$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{1000\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=1250\ \mathrm{cm}^3$;
(3)根据$\rho=\frac{m}{V}$可得实心铝块的体积为$V_{铝}=\frac{m_{铝}}{\rho_{铝}}=\frac{405\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=150\ \mathrm{cm}^3$;两个容器中的液面一样高,则两个容器中液体和金属块的总体积相等,$V_{铝}+V_{酒精}=V_{铜}+V_{水}$,即$150\ \mathrm{cm}^3+1250\ \mathrm{cm}^3=V_{铜}+1000\ \mathrm{cm}^3$,解得$V_{铜}=400\ \mathrm{cm}^3$,890 g的空心铜块实心部分的体积为$V_{实}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{890\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$,则铜块空心部分的体积为$V_{空}=V_{铜}-V_{实}=400\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
本题围绕密度计算展开，各小问解题思路如下：
(1) 求水的质量：先利用圆柱体积公式$V=Sh$算出A容器中水的体积，再结合水的密度，通过密度公式变形$m=\rho V$即可求出水的质量；
(2) 求酒精的体积：已知水和酒精质量相等，可得酒精质量等于水的质量，再根据密度公式变形$V=\frac{m}{\rho}$代入酒精质量和密度即可算出酒精体积；
(3) 求铜块空心体积：首先根据密度公式算出实心铝块的体积；由于两个容器液面等高、底面积相同，因此“酒精体积+铝块体积=水体积+铜块总体积”，据此先算出铜块的总体积；再算出890g铜实心部分的体积，用铜块总体积减去实心部分体积就是空心部分的体积。
【解析】
(1) 先计算A容器中水的体积：
$V_{水}=Sh_{水}=100\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得，A容器中水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×1000\ \mathrm{cm}^3=1000\ \mathrm{g}$
(2) 由题意知酒精和水质量相等，故$m_{酒精}=m_{水}=1000\ \mathrm{g}$，$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
则酒精的体积：
$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{1000\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=1250\ \mathrm{cm}^3$
(3) 先计算实心铝块的体积，$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
$V_{铝}=\frac{m_{铝}}{\rho_{铝}}=\frac{405\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=150\ \mathrm{cm}^3$
两容器液面等高，底面积相同，因此液体与浸没物体的总体积相等，即：
$V_{酒精}+V_{铝}=V_{水}+V_{铜}$
代入数据得：$1250\ \mathrm{cm}^3+150\ \mathrm{cm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3+V_{铜}$，解得$V_{铜}=400\ \mathrm{cm}^3$
再计算铜块实心部分的体积，$\rho_{铜}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$
$V_{实}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{890\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$
则铜块空心部分的体积：
$V_{空}=V_{铜}-V_{实}=400\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{g}$；(2) $1250\ \mathrm{cm}^3$；(3) $300\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用，空心问题计算，体积等量分析
【点评】
本题是密度相关的综合计算题，侧重考查密度公式的灵活运用，解题的核心是抓住“液面等高时容器内液体与浸没物体的总体积相等”这一隐含条件，能够很好地锻炼逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕密度计算展开，各小问解题思路如下：
(1) 求水的质量：先利用圆柱体积公式$V=Sh$算出A容器中水的体积，再结合水的密度，通过密度公式变形$m=\rho V$即可求出水的质量；
(2) 求酒精的体积：已知水和酒精质量相等，可得酒精质量等于水的质量，再根据密度公式变形$V=\frac{m}{\rho}$代入酒精质量和密度即可算出酒精体积；
(3) 求铜块空心体积：首先根据密度公式算出实心铝块的体积；由于两个容器液面等高、底面积相同，因此“酒精体积+铝块体积=水体积+铜块总体积”，据此先算出铜块的总体积；再算出890g铜实心部分的体积，用铜块总体积减去实心部分体积就是空心部分的体积。
【解析】
(1) 先计算A容器中水的体积：
$V_{水}=Sh_{水}=100\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{cm}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得，A容器中水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×1000\ \mathrm{cm}^3=1000\ \mathrm{g}$
(2) 由题意知酒精和水质量相等，故$m_{酒精}=m_{水}=1000\ \mathrm{g}$，$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
则酒精的体积：
$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{1000\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=1250\ \mathrm{cm}^3$
(3) 先计算实心铝块的体积，$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
$V_{铝}=\frac{m_{铝}}{\rho_{铝}}=\frac{405\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=150\ \mathrm{cm}^3$
两容器液面等高，底面积相同，因此液体与浸没物体的总体积相等，即：
$V_{酒精}+V_{铝}=V_{水}+V_{铜}$
代入数据得：$1250\ \mathrm{cm}^3+150\ \mathrm{cm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3+V_{铜}$，解得$V_{铜}=400\ \mathrm{cm}^3$
再计算铜块实心部分的体积，$\rho_{铜}=8.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$
$V_{实}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{890\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$
则铜块空心部分的体积：
$V_{空}=V_{铜}-V_{实}=400\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $1000\ \mathrm{g}$；(2) $1250\ \mathrm{cm}^3$；(3) $300\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用，空心问题计算，体积等量分析
【点评】
本题是密度相关的综合计算题，侧重考查密度公式的灵活运用，解题的核心是抓住“液面等高时容器内液体与浸没物体的总体积相等”这一隐含条件，能够很好地锻炼逻辑分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
