1. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，重叠的边落在射线OC上. 射线OD平分∠AOB，则∠COD的度数为 （）

A.$15°$
B.$12.5°$
C.$10°$
D.$7.5°$

由题意,得∠AOC=30°,∠BOC=45°,所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=30°+45°=75°. 因为射线 OD 平分∠AOB,所以∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=37.5°. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=45°-37.5°=7.5°.

2. [2024南京中考]如图,点A,O,B在同一条直线上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.若∠AOE=162°,则∠BOD=°.

因为 OD 是∠AOC 的平分线,所以∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC.因为 OE 是∠BOC 的平分线,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC.所以∠DOE=∠COD+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°. 因为∠AOE=162°,所以∠AOD=∠AOE-∠DOE=72°. 所以∠BOD=180°-∠AOD=108°.

3. 如图,点O在直线AB上,∠DOE=90°,∠AOC=140°,OD平分∠AOC.
(1) 求∠AOD的度数.
(2) 求∠BOE的度数.
(3) OE是否平分∠BOC? 请说明理由.

(1) 因为 OD 平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°.
(2) 因为∠AOD=70°,∠DOE=90°,所以∠AOE=160°. 所以∠BOE=180°-∠AOE=20°.
(3) OE 平分∠BOC. 理由:因为∠AOE=160°,∠AOC=140°,所以∠COE=20°.又因为∠BOE=20°,所以∠BOE=∠COE,即 OE 平分∠BOC.

4. 如图，O为直线AB上一点，$∠ DOC$为直角，OE平分$∠ BOC$，OF平分$∠ AOD$，OG平分$∠ AOC$。有下列结论：① $∠ GOF = 45°$；② $2∠ AOE - ∠ BOD = 90°$；③ $∠ EOD$与$∠ COG$互为补角；④ $∠ BOE - ∠ DOF = 45°$。其中，正确的是（）

A.①②③④
B.③④
C.②③
D.②③④

因为 OF 平分∠AOD,OG 平分∠AOC,所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD,∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOC. 所以∠GOF=∠AOF+∠AOG=$\frac{1}{2}$(∠AOD+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠DOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°.所以①正确.因为 OE 平分∠BOC,OG 平分∠AOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COG=$\frac{1}{2}$∠AOC.所以∠GOE=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°.所以∠EOF=∠GOF+∠GOE=135°.所以∠AOE=∠EOF-∠AOF=135°-$\frac{1}{2}$∠AOD.所以 2∠AOE=270°-∠AOD.所以 2∠AOE-∠BOD=270°-∠AOD-∠BOD=90°.所以②正确.因为∠DOC=∠GOE=90°,所以∠EOD+∠COG=∠DOC+∠COE+∠GOE-∠COE=∠DOC+∠GOE=180°.所以③正确.因为∠DOF+∠COG=∠DOC-∠GOF=45°,∠BOE+∠COG=∠COE+∠COG=90°,所以∠BOE-∠DOF=45°.所以④正确.综上所述,正确的是①②③④.

5. 已知∠AOB=70°,∠BOC与∠AOB互补,且OF平分∠AOB,OE平分∠BOC,则∠EOF的度数为.

如图①,当 OC,OA 在 OB 的同侧时,因为∠AOB=70°,∠BOC 与∠AOB 互补,所以∠BOC=110°.因为 OF 平分∠AOB,OE 平分∠BOC,所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°,∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°.所以∠EOF=∠BOE-∠BOF=20°.如图②,当 OC,OA 在 OB 的两侧时,因为∠AOB=70°,∠BOC 与∠AOB 互补,所以∠BOC=110°.因为 OF 平分∠AOB,OE 平分∠BOC,所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°,∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°.所以∠EOF=∠BOE+∠BOF=90°.综上所述,∠EOF=20°或 90°.