25 新考法 构建模型 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式$x^2+4x+5$的最小值.
解：$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$. $\because (x+2)^2≥0,(x+2)^2+1≥1,\therefore x^2+4x+5≥1$，即$x^2+4x+5$的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知$y=x^2-6x+12$，求$y$的最小值；
(2)比较代数式$3x^2 - x + 2$与$2x^2 + 3x - 6$的大小，并说明理由；
(3)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=4\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}$，点$P$在边$AC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$向点$C$移动，点$Q$在边$CB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$C$向点$B$移动.若点$P,Q$同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形$APQB$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，运动时间为$t$秒，求$S$的最小值.

(1)$\because y=x^2-6x+12=(x-3)^2+3$,$(x-3)^2+3≥3$,$\therefore y$的最小值为3.
(2)$3x^2 - x + 2 ＞ 2x^2 + 3x - 6$. 理由如下：
$3x^2 - x + 2 - (2x^2 + 3x - 6) = 3x^2 - x + 2 - 2x^2 - 3x + 6 = x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4$.
$\because (x - 2)^2 + 4 ＞ 0$,$\therefore 3x^2 - x + 2 ＞ 2x^2 + 3x - 6$.
(3)根据题意,得$S=S_{△ ABC}-S_{△ PQC}=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}(4-2t)t=6-2t+t^2=(t-1)^2+5$,$\therefore$当$t=1$时,$S$取最小值为5.

26 新考法 满足条件的结论开放 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系。每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入多少株？
小明的解法如下：设每盆花苗增加$x$株，则每盆花苗有$(x+3)$株，平均单株盈利为$(3-0.5x)$元，
由题意，得$(x+3)(3-0.5x)=10$，
化简整理，得$x^2 -3x +2=0$，
解这个方程，得$x_1=1$，$x_2=2$。
故要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。
(1)本题涉及的主要数量有每盆花苗株数、平均单株盈利、每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系；
(2)请再用一种与小明不相同的方法求解上述问题。
视频学重难

(1)平均单株盈利×每盆花苗株数=每盆花苗的盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数；每盆花苗株数=3+每盆增加的株数.(写出2个即可)
(2)解法一(列表法):
|每盆植入株数|平均单株盈利/元|每盆盈利/元|
| ---- | ---- | ---- |
|3|3|9|
|4|2.5|10|
|5|2|10|
|6|1.5|9|
|7|1|7|
|...|...|...|
故要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株.
解法二(图象法):
从图象可知,每盆植入4株或5株时,相应长方形的面积都是10. 故要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株.
解法三(方程法):设每盆花苗增加$x$株时,每盆盈利10元,根据题意,得$\frac{10}{x+3}=3-0.5x$,解得$x_1=1,x_2=2$.
经检验,$x_1=1,x_2=2$是所列方程的解.
故要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株.