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23（2025·湖北宜昌期末）橙子丰收的季节到了，某市的橙子开始上市，嗅到商机的水果批发商用3500元向果农王大爷购进3000千克A，B两个不同品种的橙子来销售，单价分别为每千克1元和1.5元.
（1）问批发商分别购进两个品种的橙子多少千克？
（2）批发商在销售完后获得了60%的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了$\frac{1}{7}$，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元.
①第二次购进A，B两个品种的橙子各多少千克？
②销售第二批橙子时，A品种先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A品种销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求在销售第二批橙子时A品种第一次的标价是多少？
（1）问批发商分别购进两个品种的橙子多少千克？
（2）批发商在销售完后获得了60%的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了$\frac{1}{7}$，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元.
①第二次购进A，B两个品种的橙子各多少千克？
②销售第二批橙子时，A品种先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A品种销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求在销售第二批橙子时A品种第一次的标价是多少？
答案
(1)设购进A品种橙子$x$千克,则购进B种橙子$(3000-x)$千克,根据题意,得$x+1.5(3000-x)=3500$,
解得$x=2000$,$3000-x=3000-2000=1000$.
故批发商购进A品种橙子2000千克,B品种橙子1000千克.
(2)①设第二次购进A品种橙子的数量增加的百分数为$a$,则$2000(1+a)+1.5×(1-\frac{1}{7})×1000(1-a)=3500$,解得$a=0.3$,
$\therefore 2000×(1+0.3)=2600$(千克),
$1000×(1-0.3)=700$(千克).
故第二次购进A品种橙子2600千克,购进B品种橙子700千克.
②设A品种橙子每次提价的百分数为$m$,
第一次总利润为$3500×60\%=2100$(元),
由题意,得$1600(1+m)+1000(1+m)^2-2600+50=2100$,解得$m=0.5$或$m=-4.1$(舍去),
$1×(1+0.5)=1.5$(元/千克).
故A品种第一次标价为1.5元/千克.
解得$x=2000$,$3000-x=3000-2000=1000$.
故批发商购进A品种橙子2000千克,B品种橙子1000千克.
(2)①设第二次购进A品种橙子的数量增加的百分数为$a$,则$2000(1+a)+1.5×(1-\frac{1}{7})×1000(1-a)=3500$,解得$a=0.3$,
$\therefore 2000×(1+0.3)=2600$(千克),
$1000×(1-0.3)=700$(千克).
故第二次购进A品种橙子2600千克,购进B品种橙子700千克.
②设A品种橙子每次提价的百分数为$m$,
第一次总利润为$3500×60\%=2100$(元),
由题意,得$1600(1+m)+1000(1+m)^2-2600+50=2100$,解得$m=0.5$或$m=-4.1$(舍去),
$1×(1+0.5)=1.5$(元/千克).
故A品种第一次标价为1.5元/千克.
24 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式的一些问题，如 $a^2 + 2a - 4 = a^2 + 2a + 1^2 - 1^2 - 4 = (a + 1)^2 - 5$。
$\because (a + 1)^2 ≥ 0$，
$\therefore a^2 + 2a - 4 = (a + 1)^2 - 5 ≥ -5$，
因此，代数式 $a^2 + 2a - 4$ 有最小值 $-5$。
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式 $a^2 - 2a + 2$ 的最小值为
（2）试比较 $a^2 + b^2 + 11$ 与 $6a - 2b$ 的大小关系，并说明理由；
（3）已知 $a - b = 2$，$ab + c^2 - 4c + 5 = 0$，求代数式 $a + b + c$ 的值。
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式的一些问题，如 $a^2 + 2a - 4 = a^2 + 2a + 1^2 - 1^2 - 4 = (a + 1)^2 - 5$。
$\because (a + 1)^2 ≥ 0$，
$\therefore a^2 + 2a - 4 = (a + 1)^2 - 5 ≥ -5$，
因此，代数式 $a^2 + 2a - 4$ 有最小值 $-5$。
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式 $a^2 - 2a + 2$ 的最小值为
1
；（2）试比较 $a^2 + b^2 + 11$ 与 $6a - 2b$ 的大小关系，并说明理由；
（3）已知 $a - b = 2$，$ab + c^2 - 4c + 5 = 0$，求代数式 $a + b + c$ 的值。
答案
(1) $a^2-2a+2=(a-1)^2+1$.$\because (a-1)^2≥0$,$\therefore (a-1)^2+1≥1$,即代数式$a^2-2a+2$的最小值为1.
(2)$a^2 + b^2 + 11 ＞ 6a - 2b$. 理由如下：
$a^2 + b^2 + 11 - (6a - 2b) = a^2 + b^2 + 11 - 6a + 2b = (a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 2b + 1) + 1 = (a - 3)^2 + (b + 1)^2 + 1$.
$\because (a - 3)^2≥0,(b + 1)^2≥0$,
$\therefore a^2 + b^2 + 11 - (6a - 2b) ＞ 0$,$\therefore a^2 + b^2 + 11 ＞ 6a - 2b$.
(3)$\because a - b = 2$,$\therefore a = b + 2$.
$\because ab + c^2 - 4c + 5 = 0$,$\therefore b(b + 2) + c^2 - 4c + 5 = 0$,
$\therefore (b + 1)^2 + (c - 2)^2 = 0$,$\therefore b + 1 = 0$,$c - 2 = 0$,$\therefore b = -1$,$c = 2$,$\therefore a = -1 + 2 = 1$,$\therefore a + b + c = 1 - 1 + 2 = 2$.
(2)$a^2 + b^2 + 11 ＞ 6a - 2b$. 理由如下：
$a^2 + b^2 + 11 - (6a - 2b) = a^2 + b^2 + 11 - 6a + 2b = (a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 2b + 1) + 1 = (a - 3)^2 + (b + 1)^2 + 1$.
$\because (a - 3)^2≥0,(b + 1)^2≥0$,
$\therefore a^2 + b^2 + 11 - (6a - 2b) ＞ 0$,$\therefore a^2 + b^2 + 11 ＞ 6a - 2b$.
(3)$\because a - b = 2$,$\therefore a = b + 2$.
$\because ab + c^2 - 4c + 5 = 0$,$\therefore b(b + 2) + c^2 - 4c + 5 = 0$,
$\therefore (b + 1)^2 + (c - 2)^2 = 0$,$\therefore b + 1 = 0$,$c - 2 = 0$,$\therefore b = -1$,$c = 2$,$\therefore a = -1 + 2 = 1$,$\therefore a + b + c = 1 - 1 + 2 = 2$.
