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13 将一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$变形为$(x + h)^2 = k$的形式为
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
。答案
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
14 若方程$x^2 - 2x -4=0$的两个实数根为α，β，则$α^3 +8β +1$的值为
25
。答案
25
15 若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$有实数根，则m的最大值为
9
。答案
9
16（2025·扬州邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，某市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元。设平均每次降价的百分率为x，则x的值为
10%
。答案
10%
17 已知关于$x$的方程$\frac{1}{4}x^2 - (m - 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的最大整数值是
1
。答案
1
18 如果关于x的方程$-2x + m\sqrt{2025 - x} + 4030 = 0$存在整数解，那么正整数m的所有取值的和为
三、解答题（第19、20题每题5分，其余每题
24
。三、解答题（第19、20题每题5分，其余每题
答案
24
二、解答题（第19、20题每题5分，其余每题6分，共46分）
19 用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 5(2x + 1) = 0$；
(3)$2x(x - 3) + x = 3$。
19 用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 5(2x + 1) = 0$；
(3)$2x(x - 3) + x = 3$。
答案
(1)$x^2 + 2x - 3 = 0,(x + 3)(x - 1) = 0,x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$,解得$x_1=-3,x_2=1$.
(2)$3x^2 + 5(2x + 1) = 0,3x^2 + 10x + 5 = 0$.
$\because b^2 - 4ac = 10^2 - 4×3×5 = 40 ＞ 0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}$,
解得$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.
(3)$2x(x - 3) + x = 3,2x(x - 3) + x - 3 = 0$,
$(x - 3)(2x + 1) = 0,x - 3 = 0$或$2x + 1 = 0$,
解得$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)$3x^2 + 5(2x + 1) = 0,3x^2 + 10x + 5 = 0$.
$\because b^2 - 4ac = 10^2 - 4×3×5 = 40 ＞ 0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}$,
解得$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.
(3)$2x(x - 3) + x = 3,2x(x - 3) + x - 3 = 0$,
$(x - 3)(2x + 1) = 0,x - 3 = 0$或$2x + 1 = 0$,
解得$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$.
20 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx +1 =0(a≠0)$有两个相等的实数根，求$\frac{ab^2}{(a-2)^2 + b^2 -4}$的值。
答案
$\because ax^2 + bx + 1 = 0(a≠0)$有两个相等的实数根，
$\therefore b^2 - 4a = 0$,即$b^2=4a$.
原式$=\frac{4a^2}{a^2 - 4a + 4 + 4a - 4}=\frac{4a^2}{a^2}=4$.
$\therefore b^2 - 4a = 0$,即$b^2=4a$.
原式$=\frac{4a^2}{a^2 - 4a + 4 + 4a - 4}=\frac{4a^2}{a^2}=4$.
21 已知关于$x$的一元二次方程$x^2=2(1-m)x - m^2$的两实数根为$x_1,x_2$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$y=x_1+x_2$,当$y$取得最小值时,求相应$m$的值,并求出最小值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$y=x_1+x_2$,当$y$取得最小值时,求相应$m$的值,并求出最小值.
答案
(1)$\because x^2=2(1-m)x - m^2$有两实数根，
$\therefore 4(1-m)^2 - 4m^2=4 - 8m≥0$,解得$m≤\frac{1}{2}$.
(2)$y=x_1+x_2=2(1-m)=-2m+2$.
$\because -2＜0$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,$y$取得最小值,最小值为1.
$\therefore 4(1-m)^2 - 4m^2=4 - 8m≥0$,解得$m≤\frac{1}{2}$.
(2)$y=x_1+x_2=2(1-m)=-2m+2$.
$\because -2＜0$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,$y$取得最小值,最小值为1.
22 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$。
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求$m$的值。
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求$m$的值。
答案
(1)$\because [-(m+5)]^2 - 4(3m+6)=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,$\therefore$不论实数$m$取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形的两邻边长为$a,b$. 根据根与系数的关系,得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0$.
$\because a^2+b^2=25$,$\therefore (a+b)^2-2ab=25$,
$\therefore (m+5)^2-2(3m+6)=25$,整理,得$m^2+4m-12=0$,
解得$m_1=-6$(舍去),$m_2=2$,$\therefore m$的值为2.
(2)设矩形的两邻边长为$a,b$. 根据根与系数的关系,得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0$.
$\because a^2+b^2=25$,$\therefore (a+b)^2-2ab=25$,
$\therefore (m+5)^2-2(3m+6)=25$,整理,得$m^2+4m-12=0$,
解得$m_1=-6$(舍去),$m_2=2$,$\therefore m$的值为2.
