登录
12[较难]（1）探究：如图（1），在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，若$∠ B=30°$，则$∠ ACD$的度数是
（2）拓展：如图（2），$∠ MCN=90°$，射线$CP$在$∠ MCN$的内部，点$A$，$B$分别在$CM$，$CN$上，分别过点$A$，$B$作$AD ⊥ CP$，$BE ⊥ CP$，垂足分别为$D$，$E$，若$∠ CBE=70°$，求$∠ CAD$的度数；
（3）应用：如图（3），点$A$，$B$分别在$∠ MCN$的边$CM$，$CN$上，射线$CP$在$∠ MCN$的内部，点$D$，$E$在射线$CP$上，连结$AD$，$BE$，若$∠ ADP=∠ BEP=60°$，则$∠ CAD + ∠ CBE + ∠ ACB =$
30
°；（2）拓展：如图（2），$∠ MCN=90°$，射线$CP$在$∠ MCN$的内部，点$A$，$B$分别在$CM$，$CN$上，分别过点$A$，$B$作$AD ⊥ CP$，$BE ⊥ CP$，垂足分别为$D$，$E$，若$∠ CBE=70°$，求$∠ CAD$的度数；
（3）应用：如图（3），点$A$，$B$分别在$∠ MCN$的边$CM$，$CN$上，射线$CP$在$∠ MCN$的内部，点$D$，$E$在射线$CP$上，连结$AD$，$BE$，若$∠ ADP=∠ BEP=60°$，则$∠ CAD + ∠ CBE + ∠ ACB =$
120
°。答案
12.【解】(1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,所以∠A=60°.因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=30°.故答案为30.
(2)因为BE⊥CP,所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°,所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN=90°,所以∠ACD=90°-∠BCE=70°.因为AD⊥CP,所以∠CAD=90°-∠ACD=20°.
(3)因为∠ADP是△ACD的一个外角,所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°,同理,∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°,所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)=120°.故答案为120.
(2)因为BE⊥CP,所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°,所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN=90°,所以∠ACD=90°-∠BCE=70°.因为AD⊥CP,所以∠CAD=90°-∠ACD=20°.
(3)因为∠ADP是△ACD的一个外角,所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°,同理,∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°,所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)=120°.故答案为120.
13[2025浙江温州质检,中]如图,$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$AE$是$∠ BAC$的平分线,$∠ EAD=15°$,$∠ B=50°$,求$∠ C$的度数.
答案
13.【解】因为AD是BC边上的高,∠B=50°,所以∠ADB=90°,所以∠BAD=90°-50°=40°.因为∠EAD=15°,所以∠BAE=∠BAD-∠EAD=40°-15°=25°.因为AE是∠BAC的平分线,所以∠BAC=2∠BAE=50°.因为在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=50°,所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-50°=80°.
14[较难]综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
【操作判断】(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中，用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E，求∠DAE的度数；
②操作二:如图(2)，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3)，将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件不变，判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5)，在△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E，请求出∠DEF与α，β之间的数量关系.
【操作判断】(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中，用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E，求∠DAE的度数；
②操作二:如图(2)，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3)，将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件不变，判断∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5)，在△ABC中，∠ABC=α，∠ACB=β，AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E，请求出∠DEF与α，β之间的数量关系.
答案
14.【解】(1)①如图,AE即为所求.
因为在△ABC中,∠B=40°,∠C=70°,所以∠BAC=180°-40°-70°=70°.因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=1/2∠BAC=35°.因为∠ADC是△ABD的一个外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°.因为用三角尺作BC边上的高AE,垂足为点E,所以∠DAE=90°-75°=15°.
②∠DFE=15°.因为∠ADC是△ABD的一个外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°.因为FE⊥BC,所以∠DFE=90°-∠ADC=15°.
(2)不变.理由如下:因为∠BAD=1/2∠BAC=35°,∠B=40°,∠ADC是△ABD的一个外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°.因为FE⊥BC,所以∠DFE=90°-∠ADC=15°.
(3)如题图(4)所示,因为在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,所以∠BAC=180°-α-β.因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=1/2∠BAC=90°-(α+β)/2.因为∠ADC是△ABD的一个外角,所以∠ADC=∠ABC+∠BAD=α+90°-(α+β)/2=90°+(α-β)/2.因为FE⊥AD,所以∠DEF=90°-∠ADC=90°-(90°+(α-β)/2)=(β-α)/2.
如题图(5)所示,因为在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,所以∠BAC=180°-α-β.因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=1/2∠BAC=90°-(α+β)/2,所以∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-α-(90°-(α+β)/2)=90°-(α-β)/2.因为FE⊥AD,所以∠DEF=90°-∠ADB=90°-(90°-(α-β)/2)=(α-β)/2.
综上所述,∠DEF=(β-α)/2或∠DEF=(α-β)/2.
