8[中]如图, $△ ABC$ 的角平分线 $BD, CE$ 相交于点 $F$.
(1)若 $∠ A = 54°, ∠ ABC = 50°$, 求 $∠ CFD$ 的度数;
(2)证明:$2∠ BFC=∠ A+180°$.

8.(1)【解】因为∠A = 54°, ∠ABC = 50°, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠ACB=180°-50°-54°=76°.因为△ABC的角平分线BD,CE相交于点F,所以∠CBF=1/2∠ABC=25°,∠BCF=1/2∠ACB=38°,所以∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-25°-38°=117°,所以∠CFD=180°-117°=63°.
(2)【证明】因为△ABC的角平分线BD,CE相交于点F,所以∠CBF = 1/2 ∠ABC, ∠BCF = 1/2∠ACB,所以∠BFC = 180°-∠CBF-∠BCF = 180°-1/2∠ABC-1/2∠ACB = 180°-1/2(∠ABC+∠ACB).因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠ABC+∠ACB = 180°-∠A,所以∠BFC = 180°-1/2(180°-∠A) = 90°+ 1/2 ∠A, 即 2∠BFC=∠A+180°.

9[较难]如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与△ACB的外角(∠ACD)的平分线交于点A₁；∠A₁BC的平分线与△A₁CB的外角(∠A₁CD)的平分线交于点A₂,…,以此类推,则∠A₂₀₂₂=.(用含α的式子表示)

9.$\boldsymbol{\frac{1}{2^{2022}}α}$ 【解析】因为∠ACD = 180°-∠ACB，∠ABC的平分线与△ACB的外角(∠ACD)的平分线交于点A₁，所以∠A₁ = 180°-(∠A₁BC+∠ACB+∠ACA₁) = 180°-1/2∠ABC-∠ACB-1/2(180°-∠ACB) = 90°-1/2(180°-∠A) = 1/2∠A. 同理可得∠A₂=1/2∠A₁=1/2²∠A,∠A₃=1/2∠A₂=1/2³∠A,…,所以∠A₂₀₂₂=1/2²⁰²²∠A. 因为∠A=α,所以∠A₂₀₂₂=1/2²⁰²²α. 故答案为$\frac{1}{2^{2022}}α$.

10[2026湖北武汉期中,中](1)如图(1),在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,△ABC的两条外角平分线交于点D.猜想∠BOC与∠BDC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图(2),若△ABC的外角平分线的交点为D,E,F,请判断△DEF的形状,并说明理由.

10.【解】(1)∠BOC+∠BDC=180°. 理由如下：如图(1),因为∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,所以∠3 = 1/2 ∠ABC, ∠4 = 1/2 ∠ACB, 所以∠BOC=180°-(∠3+∠4)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB).因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,所以∠BOC=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1/2∠A.由三角形外角的性质可得∠EBC = ∠A + ∠ACB,∠FCB = ∠A+∠ABC.因为△ABC的两条外角平分线交于点D,所以∠1=1/2∠EBC=1/2(∠A + ∠ACB),∠2 = 1/2∠FCB=1/2(∠A+∠ABC),所以∠1+∠2=1/2(∠A+∠ACB)+1/2(∠A+∠ABC)=1/2∠A+1/2(∠A+∠ACB+∠ABC)=90°+1/2∠A,所以∠BDC=180°-(∠1+∠2)=90°-1/2∠A,所以∠BOC + ∠BDC = 90° + 1/2 ∠A + 90° - 1/2∠A = 180°.
(2)△DEF是锐角三角形. 理由如下：如图(2),由三角形外角的性质可得∠GBC = ∠BAC+∠ACB,∠HCB = ∠BAC+∠ABC.由题意可得,∠CBD = 1/2 ∠GBC = 1/2(∠BAC+∠ACB),∠BCD = 1/2 ∠HCB = 1/2(∠BAC + ∠ABC),所以∠CBD + ∠BCD = 1/2(∠BAC + ∠ACB)+1/2(∠BAC+∠ABC)=90°+1/2∠BAC,所以∠D = 180°-(∠CBD + ∠BCD) = 90°-1/2∠BAC. 同理可得∠E=90°-1/2∠ABC,∠F=90°-1/2∠ACB,所以∠D,∠E,∠F都是锐角,所以△DEF是锐角三角形.

11[2026河南信阳质检,中](1)如图,在$△ ABC$中,若$∠ A=60°$,AB,AC边上的高CE,BD交于点O,求$∠ BOC$的度数;
(2)在$△ ABC$中,若$∠ A$为钝角,AB,AC边上的高CE,BD所在直线交于点O,画出图形,求$∠ BAC+∠ BOC$的度数,并说明理由;
(3)由(1)(2)可以得到什么结论?请写出来.

11.【解】(1)因为AB,AC边上的高CE,BD交于点O,所以CE⊥AB,BD⊥AC,所以∠BEC=∠BDA=90°.在△ABD中,∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.因为∠BOC是△BOE的外角,所以∠BOC=∠BEC+∠ABD=90°+30°=120°.
(2)所画图形如图所示. ∠BAC+∠BOC=180°.理由如下:因为AB,AC边上的高CE,BD所在直线交于点O,所以∠ADO=∠AEC=90°,所以∠DAE=∠AEC+∠ACE=90°+∠ACE,所以∠DAE+∠BOC=90°+∠ACE+∠BOC=90°+90°=180°.因为∠DAE=∠BAC,所以∠BAC+∠BOC=∠DAE+∠BOC=180°.
(3)由(1)(2)可得,△ABC中,无论∠A是锐角还是钝角,当∠A两边上的高所在直线交于点O时,总有∠BAC+∠BOC=180°.