登录
10[2026浙江宁波期末]如图，$△ ABC$中，D是AC中点，过D作$DE ⊥ AB$于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且$FG=\frac{1}{2}BC$。若$AE=2$，$BE=5$，则DG的长为
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
。答案
10.$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$ 【解析】如图,延长ED至H,使得DH = ED,连结HC,GB,GC. 因为D是AC的中点,所以AD = DC. 又因为∠ADE = ∠CDH,ED = HD,所以△ADE ≌ △CDH ( SAS ),所以CH = AE = 2,∠A = ∠DCH,所以AB//CH. 因为DE ⊥ AB,所以∠DHC = ∠AED = 90°. 因为GF垂直平分BC,$FG = \frac{1}{2}BC$,所以∠GFB= ∠GFC = 90°,FB = FC,GB = GC,所以FG = FB = FC,所以△GFB,△GFC都是等腰直角三角形,所以∠BGF = ∠CGF = 45°,所以∠BGC = 90°. 又因为∠DHC = ∠BED = 90°,所以∠EGB = 90° - ∠HGC = ∠HCG,所以△EBG ≌ △HGC( AAS ),所以BE = GH = 5,EG = HC = 2. 因为$ED = DH = \frac{1}{2}EH = \frac{1}{2}(EG + GH) = \frac{7}{2}$,所以$GD = ED - EG = \frac{7}{2} - 2 = \frac{3}{2}$,故答案为$\frac{3}{2}$.
三、解答题(共50分)
11 [2026江苏南京质检]如图,已知线段a,求作△ABC,使得∠C=90°,AC+BC+AB=a.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
a
11 [2026江苏南京质检]如图,已知线段a,求作△ABC,使得∠C=90°,AC+BC+AB=a.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
a
答案
11.【解】如图所示,△ABC即为所求.
作法:作线段CE = a,在点C处作CG ⊥ CE,在CE上任取一点F,在CG上取一点A,使CA = EF,连结AF,作AF的垂直平分线DH,交CE于点B,此时AB = BF,连结AB,则△ABC即为所求. 因为DH垂直平分AF,所以AB = BF,所以AC+AB+BC = EF+BF+BC = a.
12[2025浙江宁波期中]小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其做了进一步的探究.在一个支架的横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图(1),OA表示小球静止时的位置.如图(2),当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作$BD ⊥ OA$于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直,过点C作$CE ⊥ OA$于点E(A,B,O,C,E在同一平面内),测得$CE = 14\ \mathrm{cm},OE = 8\ \mathrm{cm}.$
(1)判断CE与OD的数量关系,并证明;
(2)求DE的长.
(1)判断CE与OD的数量关系,并证明;
(2)求DE的长.
答案
12.【解】(1)CE = OD. 证明如下:
因为OB ⊥ OC,所以∠BOD + ∠COE = 90°.
因为BD ⊥ OA,CE ⊥ OA,所以∠ODB = ∠CEO = 90°,所以∠BOD + ∠OBD = 90°,
所以∠OBD = ∠COE.
在△COE 和 △OBD 中,$\begin{cases}∠CEO = ∠ODB,\\∠COE = ∠OBD,\\CO = OB,\end{cases}$
所以△COE ≌ △OBD,所以CE = OD.
(2)因为△COE ≌ △OBD,所以OE = BD = 8 cm,CE = OD = 14 cm,所以DE = OD - OE = 14 - 8 = 6(cm),所以DE的长为6 cm.
因为OB ⊥ OC,所以∠BOD + ∠COE = 90°.
因为BD ⊥ OA,CE ⊥ OA,所以∠ODB = ∠CEO = 90°,所以∠BOD + ∠OBD = 90°,
所以∠OBD = ∠COE.
在△COE 和 △OBD 中,$\begin{cases}∠CEO = ∠ODB,\\∠COE = ∠OBD,\\CO = OB,\end{cases}$
所以△COE ≌ △OBD,所以CE = OD.
(2)因为△COE ≌ △OBD,所以OE = BD = 8 cm,CE = OD = 14 cm,所以DE = OD - OE = 14 - 8 = 6(cm),所以DE的长为6 cm.
13[2026浙江杭州调研]已知:点A在射线CE上,∠C=∠D.
(1)如图(1),若AC//BD,求证:AD//BC;
(2)如图(2),若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,试探究∠DAE与∠C之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图(3),在(2)的条件下,过点D作DF//BC交射线CE于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
(1)如图(1),若AC//BD,求证:AD//BC;
(2)如图(2),若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,试探究∠DAE与∠C之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图(3),在(2)的条件下,过点D作DF//BC交射线CE于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
答案
13.(1)【证明】因为AC//BD,所以∠DBC + ∠C = 180°. 又因为∠C = ∠D,所以∠DBC + ∠D = 180°,所以AD//BC.
【解】(2)2∠C + ∠DAE = 90°. 理由如下:
设CE与BD交于点F. 因为∠BFA是△AFD的外角,所以∠BFC = ∠D + ∠DAE.
在△BCF中,∠BFC + ∠FBC + ∠C = 180°,所以∠D + ∠DAE + ∠FBC + ∠C = 180°.
因为BD ⊥ BC,所以∠FBC = 90°,所以∠D + ∠DAE + 90° + ∠C = 180°.
因为∠D = ∠C,所以2∠C + ∠DAE = 90°.
(3)因为∠DFE + ∠AFD = 180°,∠DFE = 8∠DAE,所以8∠DAE + ∠AFD = 180°.
设∠DAE = α,则∠AFD = 180° - 8α.
因为DF//BC,所以∠C = ∠AFD = 180° - 8α.
由(2)知2∠C + ∠DAE = 90°,所以2(180° - 8α) + α = 90°,所以α = 18°,所以∠C = 36°.
在△ADB 和 △ACB 中,$\begin{cases}∠BDA = ∠BCA,\\∠BAD = ∠BAC,\\AB = AB,\end{cases}$
所以△ADB ≌ △ACB,所以∠ABD = ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠DBC = 45°,所以∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 45° - 36° = 99°,所以∠BAD = ∠BAC = 99°.
【解】(2)2∠C + ∠DAE = 90°. 理由如下:
设CE与BD交于点F. 因为∠BFA是△AFD的外角,所以∠BFC = ∠D + ∠DAE.
在△BCF中,∠BFC + ∠FBC + ∠C = 180°,所以∠D + ∠DAE + ∠FBC + ∠C = 180°.
因为BD ⊥ BC,所以∠FBC = 90°,所以∠D + ∠DAE + 90° + ∠C = 180°.
因为∠D = ∠C,所以2∠C + ∠DAE = 90°.
(3)因为∠DFE + ∠AFD = 180°,∠DFE = 8∠DAE,所以8∠DAE + ∠AFD = 180°.
设∠DAE = α,则∠AFD = 180° - 8α.
因为DF//BC,所以∠C = ∠AFD = 180° - 8α.
由(2)知2∠C + ∠DAE = 90°,所以2(180° - 8α) + α = 90°,所以α = 18°,所以∠C = 36°.
在△ADB 和 △ACB 中,$\begin{cases}∠BDA = ∠BCA,\\∠BAD = ∠BAC,\\AB = AB,\end{cases}$
所以△ADB ≌ △ACB,所以∠ABD = ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠DBC = 45°,所以∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 45° - 36° = 99°,所以∠BAD = ∠BAC = 99°.
