1 现有长度分别为3 cm和5 cm的两根木棒，若从下列长度的木棒中选择一根与原有的两根木棒首尾相接围成一个三角形，则这根木棒的长度可以是（）

A.2 cm
B.3 cm
C.8 cm
D.9 cm

1.B 【解析】设第三根木棒的长为l cm,则5-3＜l＜5+3,即2＜l＜8. 观察选项,只有选项B符合题意. 故选B.

2 下列可以作为命题“若$x＞y$,则$x^2＞y^2$”是假命题的反例的是（）

A.$x=-2,y=-1$
B.$x=2,y=-1$
C.$x=-1,y=-2$
D.$x=2,y=1$

2.C 【解析】因为当x = - 1,y = - 2 时,(-2)² ＞ (-1)²,而-2＜-1,即x＞y时,x²＜y²,所以x = - 1,y = - 2符合要求. 其他选项不符合要求,故选C.

3 新考法[2026浙江温州调研]小新折叠一张三角形纸片，只能折叠出一条高。据此推断，这个纸片的形状是（）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形或钝角三角形

3.D 【解析】锐角三角形三条高都在三角形内部,所以折叠三角形纸片时,能折叠出三条高;直角三角形斜边上的高在三角形内部,其他两条高与直角边重合,所以折叠三角形纸片时,只能折叠出一条高;钝角三角形只有一条高在三角形内部,其他两条高都在三角形外部,所以折叠三角形纸片时,只能折叠出一条高. 综上所述,这个纸片的形状是直角三角形或钝角三角形. 故选D.

4[2026浙江杭州调研]如图,已知$△ ABC ≌ △ DEF$,CD平分$∠ BCA$,若$∠ D=30°$, $∠ CGF=88°$,则$∠ E$的度数是 ()


A.$50°$
B.$44°$
C.$34°$
D.$30°$

4.C 【解析】因为CD平分∠BCA,所以∠ACD = ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BCA. 因为△ABC ≌ △DEF,所以∠B = ∠E,∠D = ∠A = 30°. 因为∠CGF = ∠D + ∠BCD,所以∠BCD = ∠CGF - ∠D = 58°,所以∠BCA = 2∠BCD = 116°,所以∠B = 180° - 30° - 116° = 34°,所以∠E = ∠B = 34°. 故选C.

5[2026安徽合肥期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=5$,$AD$是$BC$边上的中线,则$AD$的取值范围是 ()


A.$1.5＜AD＜6.5$
B.$2＜AD＜6$
C.$1＜AD＜4$
D.无法确定

5.A 【解析】如图所示,延长AD至点E,使DE = AD,连结BE. 因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD. 又因为∠BDE = ∠CDA,DE = AD,所以△EDB ≌ △ADC ( SAS ),所以BE = AC = 5,所以AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE,所以8 - 5 ＜ AE ＜ 8 + 5,即3 ＜ AE ＜ 13. 因为AD = $\frac{1}{2}$AE,所以1.5 ＜ AD ＜ 6.5. 故选A.

6[2026江苏南京质检]如图,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,点M,N分别是OA,OB上的动点,且∠MPN与∠AOB互补,连结MN.以下结论:①$PM=PN$恒成立;②$OM+ON$的值不变;③四边形$PMON$的面积不变;④$MN$的长不变.其中正确的有 ()


A.①③
B.①②③
C.①②④
D.②③④

6.B 【解析】因为点P在∠AOB的平分线上,所以∠AOP = ∠BOP. 如图,过点P作PE ⊥ OA于点E,PF ⊥ OB于点F,连结EF,所以∠PEO = ∠PFO = 90°,PE = PF,所以∠AOB + ∠EPF = 180°. 因为OP = OP,所以△PEO ≌ △PFO,所以OE = OF. 又因为∠AOB + ∠MPN = 180°,所以∠MPN = ∠EPF,即∠MPE + ∠EPN = ∠EPN + ∠NPF,所以∠MPE = ∠NPF,所以△MPE ≌ △NPF,所以PM = PN,故①正确. 由△MPE ≌ △NPF可得ME = NF,所以OM + ON = OE + EM + OF - NF = 2OE = 2OF,故②正确. 由△MPE ≌ △NPF可得$S_{△MPE} = S_{△NPF}$,所以$S_{四边形PMON} = S_{△MPE} + S_{△EPO} + S_{△OPN} = S_{△EPO} + S_{△OPN} + S_{△NPF} = S_{四边形PEOF}$. 因为$S_{四边形PEOF} = 2 × \frac{1}{2} × OE · PE = OE · PE$,OE,PE的长均为定值,所以$S_{四边形PEOF}$为定值,所以四边形PMON的面积是定值,故③正确. 由上述结论可得,PM = PN,PE = PF,∠MPN = ∠EPF,PM＞PE,PN＞PF,所以MN≠EF,即MN的长度发生变化,故④错误. 综上所述,正确的有①②③. 故选B.

7 新考向 开放性试题 [2025 浙江金华期中]如图，已知$AB=BC$，要使$△ ABD ≌ △ CBD$，还需添加一个条件，你添加的条件是.（写出一个即可，不添加辅助线）

7.$\boldsymbol{∠ ABD = ∠ CBD}$(答案不唯一) 【解析】添加∠ABD = ∠CBD. 在△ABD 和 △CBD 中,
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以△ABD ≌ △CBD ( SAS ). 故答案为∠ABD = ∠CBD(答案不唯一).

8[2026浙江湖州期中]如图,在△ABC中,∠B=60°,点D,E分别在边AB,BC上,CD与AE交于点F,过点A作AG⊥CD于点G.若△ACE≌△CBD,则∠EAG的度数为.

8.$\boldsymbol{30°}$ 【解析】因为△ACE ≌ △CBD,所以AC = BC,∠EAC = ∠DCB,所以∠BAC = ∠B = 60°,所以∠ACB = 180° - 60° - 60° = 60°,所以∠AFG = ∠EAC + ∠ACD = ∠ECD + ∠ACD = ∠ACB = 60°. 在△AGF中,AG ⊥ CD,所以∠AGF = 90°,所以∠EAG = 180° - 90° - 60° = 30°. 故答案为30°.

9 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.
如图(1),在直角$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,BD是高线,E是$△ ABC$外一点,$BE=BA$,$∠ E=∠ C$,
若$DE=\frac{2}{5}BD$,$AD=16$,$BD=20$,求$△ BDE$的面积.小颖思考后认为可以这样添加辅助线:在BD上截取$BF=DE$,连结$AF$(如图(2)).根据小颖的提示求得$△ BDE$的面积为.

9.$\boldsymbol{64}$ 【解析】因为∠ABD = 180° - ∠BDA - ∠BAD = 90° - ∠BAD,∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAD = 90° - ∠BAD,所以∠ABD = ∠C. 因为∠E = ∠C,所以∠ABD = ∠E. 在△ABF 和 △BED 中, 因为$\begin{cases}AB=BE,\\∠ABF=∠BED,\\BF=DE,\end{cases}$所以△ABF ≌ △BED(SAS),所以$S_{△ABF} = S_{△BDE}$. 因为$BF = DE = \frac{2}{5}×20 = 8$,所以$S_{△AFB} = \frac{1}{2}×BF · AD = \frac{1}{2}×8×16 = 64$,所以$S_{△BDE} = S_{△ABF} = 64$. 故答案为64.