1 新考向 传统文化 [中]在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,若使以“馬”“車”“炮”所在位置的格点为顶点的三角形与以“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点的三角形相似,则“馬”应该落在的位置是 ()


A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

1. B 【解析】设题图中每个小正方形的边长为 1,则以“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点的三角形的三边的长分别为 $2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$;“車”“炮”之间的距离为 1,“炮”和②之间的距离为$\sqrt{5}$,“車”和②之间的距离为 $2\sqrt{2}. \because \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}, \therefore$ “馬”应该落在②的位置,故选 B.
关键点拨
本题的关键是
利用网格求出
各边的长度,
再进行求解和
证明.

2 [2026 江苏南京期中，较难]定义:我们知道,凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个凸四边形叫作“自相似四边形”. ,点A,B,C是正方形网格中的格点,在网格中确定格点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是“自相似四边形”,符合条件的格点D的个数是 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

2. D 【解析】如图(1),由$\frac{AB}{D_1A}=\frac{AC}{D_1C}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,得$△ ABC ∽ △ D_1AC$,故 $D_1$ 符合; 如图 (2), 由 $\frac{AB}{D_2A}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{D_2B}=\sqrt{2}$,得 $△ ABC ∽ △ D_2AB$,故 $D_2$ 符合; 如图(3),由$\frac{BC}{AB}=\frac{CD_3}{BD_3}=\frac{BD_3}{AD_3}=\sqrt{2}$,得 $△ BCD_3 ∽ △ ABD_3$,故 $D_3$ 符合; 如图 (4), 由 $\frac{AB}{D_4C}=\frac{BC}{CA}=\frac{AC}{D_4A}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,得$△ ABC ∽ △ D_4CA$, 故 $D_4$ 符合; 如图 (5), 由 $\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD_5}=\frac{AC}{BD_5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 得 $△ ABC ∽ △ BCD_5$, 故 $D_5$ 符合.综上,符合条件的格点 $D$ 的个数是 5 个. 故选 D.

3[2026浙江杭州质检,中]如图,正方形ABCD中,E是BC的中点,DF=3CF.△AEF与△ECF是否相似?请说明理由.

3.【解】$△ AEF$ 与 $△ ECF$ 相似. 理由如下:
设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$. $\because E$ 是 $BC$ 的中点,$DF=3CF, \therefore BE=EC=2a, CF=a, DF=3a, \therefore$ 由勾股定理得 $AE=2\sqrt{5}a, EF=\sqrt{5}a, AF=5a, \therefore \frac{AE}{EC}=\frac{EF}{CF}=\frac{AF}{EF}=\sqrt{5}, \therefore △ AEF ∽ △ ECF$.

4[2025浙江绍兴期中，中]如图所示，在$5×8$的正方形网格中，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。

(1)填空：$∠ BAC=$，$EF=$；
(2)判断$△ ABC$与$△ DEF$是否相似，并证明你的结论。

4.【解】(1)如图所示,取格点 $G$, 连结 $GB,GA$.
由网格得, $G,A,C$ 三点共线. $\because GB^2=1^2+2^2=5$,$AB^2=1^2+2^2=5, AG^2=1^2+3^2=10, \therefore GB=AB, GB^2+AB^2=AG^2, \therefore △ ABG$ 是等腰直角三角形, $∠ ABG=90°, \therefore ∠ BAG=45°, \therefore ∠ BAC=180°-∠ BAG=135°$.
由勾股定理得, $EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 故答案为 $135°, \sqrt{10}$.
(2) $△ ABC ∽ △ DEF$. 证明如下: 在 $△ DEF$ 中, $DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, DF=2, EF=\sqrt{10}$, 在 $△ ABC$ 中, $AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}, AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}, BC=5, \therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{5}, \therefore △ ABC ∽ △ DEF$.

5 思想方法 数形结合 [2025 浙江嘉兴调研,难]如图,顶点为 D 的抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,直线 $y=-x+3$ 经过点 B,C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连结 AC,CD,BD,求证:$△ ACO ∽ △ DBC$;
(3)点 P 为抛物线对称轴上的一个动点,点 M 是平面直角坐标系内一点,求当以点 A,C,M,P 为顶点的四边形是菱形时点 P 的坐标.

5. (1)【解】在 $y=-x+3$ 中, 令 $x=0$, 则 $y=3$, 令 $y=0$, 则$x=3, \therefore B(3,0), C(0,3)$. 把 $B(3,0), C(0,3)$ 代入$y=-x^2+bx+c$ 中, 得 $\begin{cases}-9+3b+c=0, \\ c=3,\end{cases} \therefore \begin{cases}b=2, \\ c=3,\end{cases} \therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)【证明】$\because$ 抛物线表达式为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4, \therefore D(1,4)$.
在 $y=-x^2+2x+3$ 中, 令 $y=-x^2+2x+3=0$, 解得 $x=-1$ 或 $x=3, \therefore A(-1,0)$.
$\because A(-1,0), B(3,0), C(0,3), D(1,4), \therefore OA=1$,$OC=OB=3, AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}, BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,$CD=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}, BD=\sqrt{(3-1)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}, \therefore \frac{CD}{OA}=\frac{BC}{CO}=\frac{BD}{CA}=\sqrt{2}$,$\therefore △ ACO ∽ △ DBC$.
(3)【解】由(2)得抛物线对称轴为直线 $x=1$. 设点$P$ 的坐标为 $(1,m)$, 点 $M$ 的坐标为 $(s,t)$. 当 $AC$ 为对角线时, $(-1-1)^2+m^2=(0-1)^2+(3-m)^2, \therefore m=1, \therefore P(1,1)$.
当 $AM$ 为对角线时, $(-1-1)^2+m^2=10, \therefore m=\pm\sqrt{6}$,$\therefore P(1,\sqrt{6})$ 或 $P(1,-\sqrt{6})$.
当 $AP$ 为对角线时, $(1-0)^2+(m-3)^2=10, \therefore m=0$或 $m=6$(此时 $A,C,P$ 三点共线, 舍去), $\therefore P(1,0)$.
综上所述, 点 $P$ 的坐标为 $(1,1)$ 或 $(1,\sqrt{6})$ 或 $(1,-\sqrt{6})$ 或 $(1,0)$.