1 如图，$∠ AOD = 90°$，$OA = OB = BC = CD$，以下结论成立的是（）


A.$△ OAB ∽ △ OCA$
B.$△ OAB ∽ △ ODA$
C.$△ BAC ∽ △ BDA$
D.以上结论都不成立

1. C 【解析】设 $OA = OB = BC = CD = x, \therefore OC = 2x$,$OD=3x, BD=2x, AB=\sqrt{2}x, AC=\sqrt{5}x, AD=\sqrt{10}x$,$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{AC}{DA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore \frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{DA}, \therefore △ BAC ∽ △ BDA.$ 故选 C.
易错警示
表述相似时,
若利用相似符
号“∽”表示,
则相似三角形
的对应边、对
应角是确定
的;若用文字
表述,则对应
边、对应角不
确定,注意分
类讨论.
关键点拨
本题考查相似
三角形的判
定,解题的关
键是根据题意
求出各边长,
再根据相似三
角形的判定进
行证明.

2 如图，$AB=3,AC=2,BC=4,AE=3,AD=4.5,DE=6,∠ BAD=20°$,则$∠ CAE$的度数为（）


A.$10°$
B.$20°$
C.$40°$
D.无法确定

2. B 【解析】由于$\frac{AC}{AE}=\frac{2}{3},\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3},\frac{BC}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE},\therefore △ ABC ∽ △ ADE,\therefore ∠ BAC=∠ DAE, \therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE- ∠ DAC$,$\therefore ∠ CAE = ∠ BAD=20°$.

3 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AM$和$DN$是$BC$和$EF$边上的中线，且$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AM}{DN}$，则下列结论中不正确的是（）

A.$\frac{AC}{DF}=\frac{AM}{DN}$
B.$∠ BAM=∠ CAM$
C.$△ ABC∽△ DEF$
D.$△ ABM∽△ DEN$

3. B 【解析】如图. $\because$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $AM$ 和 $DN$ 是 $BC$ 和 $EF$ 边上的中线, $\therefore BM=CM=\frac{1}{2}BC$,$EN=FN=\frac{1}{2}EF. \because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AM}{DN},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BM}{EN}=\frac{AM}{DN},\therefore △ ABM ∽ △ DEN$, 故 D 正确, 不符合题意,$\therefore ∠ B=∠ E. \because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF},\therefore △ ABC ∽ △ DEF$, 故 C 正确,不符合题意, $\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}. \because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AM}{DN}$,$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{AM}{DN}$,故 A 正确,不符合题意. 由已知条件无法证明 $AM$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ BAM$ 不一定等于 $∠ CAM$,故 B 错误,符合题意.

4 如图, 四边形 ABCD, 四边形 CDEF, 四边形 EFGH 都是相同的正方形, 则 ∠1+∠2 的度数为.

4. 45° 【解析】设正方形ABCD,正方形 CDEF,正方形 EFGH 的边长为 $a$,则 $△ ACF$ 的三边长分别为 $AC=\sqrt{2}a, CF=a, AF=\sqrt{5}a, △ ACG$ 的三边长分别为 $AC=\sqrt{2}a, CG=2a, AG=\sqrt{10}a, \therefore \frac{CF}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{AF}{AG}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore \frac{CF}{AC}=\frac{AC}{CG}=\frac{AF}{AG}$,$\therefore △ ACF ∽ △ GCA, \therefore ∠ 1 = ∠ CAF. \because AB = BC$,$∠ ABC=90°, \therefore ∠ BAC = ∠ ACB=45°, \therefore ∠ 1+ ∠ 2=∠ CAF+ ∠ 2= ∠ ACB=45°$.
易错警示
要将这两个三
角形各边的对
应情况考虑全
面,不要漏解.

5[2026 浙江衢州质检]已知$△ ABC$的三边长分别为$3,\sqrt{3},\sqrt{15}$,$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长分别为1和$\sqrt{5}$.当$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的第三边长为时,$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$相似.

5. $\sqrt{3}$ 【解析】设 $△ A_1B_1C_1$ 的第三边长为 $x$. 当$△ A_1B_1C_1$ 与 $△ ABC$ 相似时,分三种情况进行讨论:①若$\frac{\sqrt{3}}{x}=\frac{3}{1}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}, \because \frac{3}{1} ≠ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}, \therefore$ 该情况不成立;②若$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{x}, \because \frac{\sqrt{3}}{1} ≠ \frac{3}{\sqrt{5}}, \therefore$ 该情况不成立;③若$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{3}{x}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$, 则 $x=\sqrt{3}$. 故答案为$\sqrt{3}$.

6[2026浙江杭州调研]如图，$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}$，求证：$△ ABD ∽ △ CBE$

6. 【证明】$\because \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}=\frac{AC}{DE}, \therefore △ ABC ∽ △ DBE$,$\therefore ∠ ABC= ∠ DBE, \therefore ∠ ABC - ∠ DBC = ∠ DBE - ∠ DBC, \therefore ∠ ABD = ∠ CBE. \because \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}, \therefore \frac{AB}{CB}=\frac{DB}{EB}$,$\therefore △ ABD ∽ △ CBE$.

7[2026浙江嘉兴期末]如图(1),△ABC内有任意一点O,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点.
(1)求证:△ABC∽△DEF.
(2)如果点O在△ABC的外部(如图(2)),请仿照图(1)画出图形,并判断(1)中的结论是否仍成立(无需证明).

7. (1)【证明】$\because D,E,F$ 分别是 $OA,OB,OC$ 的中点,$\therefore ED,EF,DF$ 分别为 $△ AOB, △ OBC, △ AOC$ 的中位线, $\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=\frac{1}{2}, \therefore △ ABC ∽ △ DEF$.
(2)【解】如图,(1)中的结论仍成立.

思路分析
(2)同(1)利
用三角形中位
线定理得到对
应边的比例关
系,进而可判
断(1)中的结
论是否仍成立.