1[中]如图,在△ABC中,AB=6,CA=4,点D为AC中点,点E在AB上,当AE的长为时,△ABC与以点A,D,E为顶点的三角形相似.

【解析】
∵ D 为 AC 中点,
∴ $AD=\frac{1}{2}CA=2.$ 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时,$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ AED∽△ ABC,\therefore AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{6× 2}{4}=3.$ 当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时,$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ADE∽△ ABC,\therefore AE=\frac{AC· AD}{AB}=\frac{4× 2}{6}=\frac{4}{3}.$ 综上,当$AE=3$或$\frac{4}{3}$时,$△ ABC$与以点$A,D,E$为顶点的三角形相似,故答案为$3$或$\frac{4}{3}.$

2[2025山东德州质检,中]如图,将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE//AC,EF//AB,AC=6,下列结论不正确的是 ()

A.AF=4
B.CF=2.4
C.DE=3.6
D.EF=4

【解析】由题意得 $AD = 4, BD = 6, AB = 10.$ $\because DE// AC,EF// AB,\therefore$ 四边形 $ADEF$ 为平行四边形,$\therefore AF=DE,EF=AD=4.$ $\because EF// AD,\therefore △ CEF∽△ CBA,\therefore \frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB},\therefore \frac{CF}{6}=\frac{4}{10},\therefore CF=2.4,\therefore AF=AC-CF=6-2.4=3.6,\therefore DE=3.6.$ 综上,A选项符合题意. 故选 A.

3[中]如图,在边长为$\sqrt{3}$的菱形$ABCD$中,$∠ B=30°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,现将$△ ABE$沿直线$AE$翻折至$△ AFE$的位置,$AF$与$CD$交于点$G$,则$CG$等于.

(第3题图)
(第4题图)

【解析】在 $Rt△ ABE$ 中,$∠ B=30°,AB=\sqrt{3}$,$\therefore AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,由勾股定理得 $BE=\frac{3}{2}.$ 根据折叠性质可得 $BF=2BE=3,\therefore CF=3-\sqrt{3}.$ 由题意得 $AD// CF$,$\therefore$ 易得 $△ ADG∽△ FCG$,$\therefore \frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}.$ 设 $CG=x$,则 $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$,解得 $x=\sqrt{3}-1$,故答案为 $\sqrt{3}-1.$

4[2025 山东日照期中,中]如图，$△ ABC$中，点D,E分别是AB,AC的中点，连结BE,CD，且BE,CD交于点O.若$∠ ACO=∠ EBC$，则$CD:BC$的值是.

【解析】如图所示,连结 $DE.$ $\because$ 点 $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点,$\therefore DE$ 为 $△ ABC$ 的中位线,$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,$\therefore$ 易得 $△ DOE∽△ COB$,$\therefore \frac{DO}{OC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}.$ 设 $DO=k$,则 $OC=2k,\therefore CD=3k.$ $\because DE// BC,\therefore ∠ EBC=∠ DEB.$ 又 $\because ∠ ACO=∠ EBC,\therefore ∠ DEB=∠ ACO.$ 又 $\because ∠ EDO=∠ CDE,\therefore △ DEO∽△ DCE$,$\therefore \frac{DE}{DC}=\frac{DO}{DE},\therefore DE^2=DC· DO$,即 $DE^2=3k· k=3k^2$,$\therefore DE=\sqrt{3}k$,$\therefore BC=2\sqrt{3}k$,$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

5[中]如图,在$Rt△ AOB$和$Rt△ COD$中,$∠ AOB=∠ COD=90°$,$∠ ABO=∠ CDO$,E为OA的中点,$OA=4,OB=6$.将$△ COD$绕点O旋转,直线AC,BD交于点F,连结EF,则EF的最小值是.

(第5题图)
(第6题图)

【解析】如图,取 $AB$ 的中点 $S$,连结 $ES,FS$,则 $FS-ES ≤ FE ≤ ES+FS.$ $\because ∠ AOB=90°,OA=4,OB=6$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{13}.$ $\because ∠ AOB=∠ COD=90°,∠ ABO=∠ CDO$,$\therefore △ AOB∽△ COD$,$\therefore OB:OD=OA:OC.$ $\because ∠ DOC-∠ BOC=∠ AOB-∠ BOC$,即 $∠ DOB=∠ COA$,$\therefore △ DOB∽△ COA$,$\therefore ∠ OBD=∠ OAC.$ $\because ∠ OBD+∠ FBO=180°$,$\therefore ∠ OAC+∠ FBO=180°$,$\therefore ∠ AOB+∠ AFB=180°$,$\therefore ∠ AFB=∠ AOB=90°.$ 又 $\because S$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore FS=\frac{1}{2}AB=\sqrt{13}.$ $\because E$ 为 $OA$ 的中点,$S$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore ES=\frac{1}{2}OB=3$,$\therefore EF$ 的最小值为 $FS-ES=\sqrt{13}-3.$ 故答案为 $\sqrt{13}-3.$

6[较难]如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O. 将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC'，当O'，C'，D三点共线时，O'A的长为.

【解析】①当 $O'C'$ 在 $BD$ 的上方时，由题意得 $△ O'C'B, △ ABD$ 是等腰直角三角形，$\therefore O'B:BC'=AB:BD.$ $\because ∠ ABO'+∠ ABC'=∠ DBC'+∠ ABC'=45°$,$\therefore ∠ ABO'=∠ DBC'$,$\therefore △ ABO'∽△ DBC'$,$\therefore AO':DC'=AB:BD.$ 由旋转得 $BC'=BC=2$,$\therefore$ 由勾股定理得 $O'C'=BO'=\sqrt{2},BD=2\sqrt{2}.$ $\because ∠ BO'D=90°$,$\therefore DO'^2=BD^2-BO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$,$\therefore DO'=\sqrt{6}$,$\therefore DC'=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,$\therefore AO':(\sqrt{6}-\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$,$\therefore AO'=\sqrt{3}-1.$
②当 $O'C'$ 在 $BD$ 的下方时,如图. 同理可证 $△ ABO'∽△ DBC'$,$\therefore AO':DC'=AB:BD.$ 由旋转得 $BC'=BC=2$,$\therefore$ 由勾股定理得 $O'C'=BO'=\sqrt{2},BD=2\sqrt{2}.$ $\because ∠ BO'C'=90°$,$\therefore ∠ BO'D=90°$,$\therefore DO'^2=BD^2-BO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$,$\therefore DO'=\sqrt{6}$,$\therefore DC'=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,$\therefore AO':(\sqrt{6}+\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$,$\therefore AO'=\sqrt{3}+1.$
综上所述,$AO'$ 的长为 $\sqrt{3}-1$ 或 $\sqrt{3}+1.$

7[中]如图,正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM=x.(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)当M点运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN?求此时x的值.

(1)【证明】在正方形 $ABCD$ 中,$AB=BC=CD=4$,$∠ B=∠ C=90°.$
$\because AM⊥ MN$,$\therefore ∠ AMN=90°$,$\therefore ∠ CMN+∠ AMB=90°.$
在 $Rt△ ABM$ 中,$∠ MAB+∠ AMB=90°$,$\therefore ∠ CMN=∠ MAB$,$\therefore Rt△ ABM∽ Rt△ MCN.$
(2)【解】$\because ∠ B=∠ AMN=90°$,$\therefore$ 要使 $Rt△ ABM∽ Rt△ AMN$,必须有 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BM}.$
由(1)知 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{MC}$,$\therefore BM=MC$,$\therefore$ 当点 $M$ 运动到 $BC$ 的中点时,$Rt△ ABM∽ Rt△ AMN$,此时 $x$ 的值为 $2.$