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14.如图,在$△ ABC$中,D为边BC的中点,过点D分别作$DE// AB$交AC于点E,$DF// AC$交AB于点F.
(1)求证:$△ BDF≌△ DCE$;
(2)在原有条件不变的情况下,如果再给$△ ABC$添加一个条件,使四边形AFDE成为菱形,则该条件是
(1)求证:$△ BDF≌△ DCE$;
(2)在原有条件不变的情况下,如果再给$△ ABC$添加一个条件,使四边形AFDE成为菱形,则该条件是
$AB=AC$
;若使四边形AFDE成为矩形,则该条件是$∠ A=90°$
(均不再增添辅助线).请选择一个情况进行证明.答案
14.(1)证明:$\because DE// AB,\therefore ∠ EDC=∠ B$.
$\because DF// AC,\therefore ∠ FDB=∠ C$.
又$\because BD=DC,\therefore △ BDF≌△ DCE(\mathrm{ASA})$.
(2)$AB=AC\ \ \ ∠ A=90°$
以添加$AB=AC$为例进行证明:
$\because DE// AB,DF// AC$,
$\therefore$ 四边形$AFDE$为平行四边形.
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$,
$\therefore ∠ EDC=∠ C,\therefore ED=EC$.
由$△ BDF≌△ DCE$可得$FD=EC$,
$\therefore ED=FD,\therefore$ 四边形$AFDE$为菱形.
$\because DF// AC,\therefore ∠ FDB=∠ C$.
又$\because BD=DC,\therefore △ BDF≌△ DCE(\mathrm{ASA})$.
(2)$AB=AC\ \ \ ∠ A=90°$
以添加$AB=AC$为例进行证明:
$\because DE// AB,DF// AC$,
$\therefore$ 四边形$AFDE$为平行四边形.
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$,
$\therefore ∠ EDC=∠ C,\therefore ED=EC$.
由$△ BDF≌△ DCE$可得$FD=EC$,
$\therefore ED=FD,\therefore$ 四边形$AFDE$为菱形.
15.某校举办了一次运河知识竞赛,满分10分,学生得分均为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包括9分)为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生(每组10名学生)成绩分布的条形统计图如图.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表:
组别 平均分/分 中位数/分 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7
乙组
(2)李明同学说:"这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!"观察上表可知,李明是
(3)甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩更好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表:
组别 平均分/分 中位数/分 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7
7
3.41 90% 20%乙组
7.1
7.5 1.69 80% 10%(2)李明同学说:"这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!"观察上表可知,李明是
甲
组的学生(填"甲"或"乙").(3)甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩更好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
答案
15.(1)6 7.1 (2)甲 (3)略
16.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD边上的点,连接EF交对角线BD于点O,且EF垂直平分BD,连接BF,DE.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)过点A作AG//EF分别交DE,BD,CD于点M,N,G.已知$OB=2\sqrt{5},AB=8,$求MN的长.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)过点A作AG//EF分别交DE,BD,CD于点M,N,G.已知$OB=2\sqrt{5},AB=8,$求MN的长.
答案
16.(1)证明:由EF是BD的垂直平分线可知$BE=DE,BF=DF$.
$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AB// CD$,
$\therefore ∠ EBD=∠ FDB,\therefore ∠ EDB=∠ FDB$.
$\because EF⊥ BD,\therefore ∠ EOD=∠ FOD$.
在$△ DOE$和$△ DOF$中,
$\begin{cases}∠ EDB=∠ FDB,\\DO=DO,\\∠ EOD=∠ FOD,\end{cases}$
$\therefore △ DOE≌△ DOF(\mathrm{ASA}),\therefore DE=DF=BE$.
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形,
$\because BE=DE,\therefore$ 平行四边形$BEDF$是菱形.
(2)解:$\because AG// EF,EF⊥ BD,\therefore AG⊥ BD$.
$\because OB=2\sqrt{5},O$是BD的中点,
$\therefore DB=4\sqrt{5}.\because AB=8$,
$\therefore AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=4$.
设$BE=x$,则$DE=x,AE=8-x$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理可得
$x^2=(8-x)^2+16$,解得$x=5$,
$\therefore AE=8-5=3$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EOB$中, $EO=\sqrt{EB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$.
由$AG// EF$易知$MD=DG$,
$DN⊥ MG,AG=EF=2\sqrt{5},\therefore MN=GN$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,
$AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中, $DG=\sqrt{AG^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$.
$\because \frac{1}{2}AD· GD=\frac{1}{2}AG· DN$,
$\therefore DN=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中, $MN=\sqrt{MD^2-DN^2}=\sqrt{2^2-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AB// CD$,
$\therefore ∠ EBD=∠ FDB,\therefore ∠ EDB=∠ FDB$.
$\because EF⊥ BD,\therefore ∠ EOD=∠ FOD$.
在$△ DOE$和$△ DOF$中,
$\begin{cases}∠ EDB=∠ FDB,\\DO=DO,\\∠ EOD=∠ FOD,\end{cases}$
$\therefore △ DOE≌△ DOF(\mathrm{ASA}),\therefore DE=DF=BE$.
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形,
$\because BE=DE,\therefore$ 平行四边形$BEDF$是菱形.
(2)解:$\because AG// EF,EF⊥ BD,\therefore AG⊥ BD$.
$\because OB=2\sqrt{5},O$是BD的中点,
$\therefore DB=4\sqrt{5}.\because AB=8$,
$\therefore AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=4$.
设$BE=x$,则$DE=x,AE=8-x$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理可得
$x^2=(8-x)^2+16$,解得$x=5$,
$\therefore AE=8-5=3$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EOB$中, $EO=\sqrt{EB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$.
由$AG// EF$易知$MD=DG$,
$DN⊥ MG,AG=EF=2\sqrt{5},\therefore MN=GN$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,
$AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中, $DG=\sqrt{AG^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$.
$\because \frac{1}{2}AD· GD=\frac{1}{2}AG· DN$,
$\therefore DN=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中, $MN=\sqrt{MD^2-DN^2}=\sqrt{2^2-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
